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直觀地表示算法的圖形 第65講 知識梳理 程序框 流程線 文字說明 2 構成程序框圖的圖形符號及作用 第65講 知識梳理 4 算法的三種基本邏輯結構和框圖表示 1 順序結構是由若干個 的步驟組成的 這是任何一個算法都離不開的基本結構 其結構形式為 第65講 知識梳理 依次執行 2 條件結構是在一個算法中 經常會遇到一些條件的判斷 算法的流程根據 有不同流向的結構 其結構形式為 第65講 知識梳理 條件是否成立 3 循環結構是指從某處開始按一定條件反復執行某些步驟 反復執行的處理步驟稱為 循環結構又分為 和 其結構形式為 第65講 知識梳理 循環體 當型 直到型 5 程序框圖繪制流程圖的一般過程 首先 用自然語言描述流程步驟 其次 分析每一步驟是否可以直接表達 或需要借助于邏輯結構來表達 再次 分析各步驟之間的關系 最后 畫出流程圖表示整個流程 鑒于用自然語言描述算法所出現的種種弊端 人們開始用流程圖來表示算法 這種描述方法避免了自然語言描述算法的拖沓冗長 且能清晰準確地表述該算法的每一步驟 因而深受歡迎 設計算法解決問題的主要步驟 第一步 用自然語言描述算法 算法可以用自然語言來描述 但為了使算法的程序或步驟表達得更為直觀 我們更經常地用圖形方式來表示它 第二步 畫出程序框圖表達算法 第三步 寫出計算機相應的程序并上機實現 第65講 知識梳理 探究點1算法及其含義 第65講 要點探究 例1一個算法如下 第一步 S取值0 i取值1 第二步 若i不大于10 則執行下一步 否則執行第六步 第三步 計算S i且將結果代替S 第四步 用i 2結果代替i 第五步 轉去執行第二步 第六步 輸出S 則運行以上步驟輸出的結果為 第65講 要點探究 例1 思路 只要按照算法的含義有步驟地描述解決的過程 便可得到該題的結果 25 解析 此算法用于計算1 3 5 7 9 25 點評 算法通常是指可以用計算機來解決某一類問題的程序或步驟 其基本要求有 步驟有限步完成 步驟確定有效 步驟有順序 但要注意 一類問題的算法往往不唯一 算法要體現其概括性 邏輯性 有窮性 不唯一性和普遍性 算法不僅僅能解決一些純數學問題 還能解決很多實際問題 如下面的變式題 第65講 要點探究 變式題 求兩底面半徑分別為1和4 且高為4的圓臺的表面積及體積 寫出解決該問題的算法并畫出程序框圖 第65講 要點探究 第65講 要點探究 程序框圖如下 探究點2算法的三種邏輯結構 第65講 要點探究 例2 1 算法共有三種邏輯結構 即順序結構 條件結構和循環結構 下列說法正確的是 A 一個算法只能含有一種邏輯結構B 一個算法最多可以包含兩種邏輯結構C 一個算法必須含有上述三種邏輯結構D 一個算法可以同時含有上述三種邏輯結構 第65講 要點探究 2 在算法邏輯結構中 要進行邏輯判斷 并根據結果進行不同處理的是 A 順序結構B 條件結構和循環結構C 順序結構和條件結構D 順序結構和循環結構 第65講 要點探究 例2 思路 從三種邏輯結構的概念入手 很容易對題作出正確的選擇 1 D 2 B 解析 1 一個算法至少含有順序結構 但不一定只含有一種邏輯結構 也不一定必須含有三種邏輯結構 故選D 2 條件結構和循環結構都必須進行邏輯判斷 故選B 探究點3程序框圖 第65講 要點探究 第65講 要點探究 例3 解答 相應的算法 第一步 輸入物品重量 第二步 如果 50 那么f 0 53 否則 f 50 0 53 50 0 85 第三步 輸出托運費f 第65講 要點探究 程序框圖如下 第65講 要點探究 點評 解決分段函數的求值問題時 一般采用條件結構設計算法 利用條件結構解決算法問題時 要引入判斷框 要根據題目的要求引入一個或多個判斷框 判斷框內的條件不同 對應下一框圖中執行的操作要進行相應的變化 第65講 要點探究 變式題 第65講 要點探究 第65講 規律總結 1 三種基本邏輯結構的主要作用順序結構是最簡單的算法結構 它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構 條件結構主要用在一些需要依據條件進行判斷的算法中 如分段函數的求值 數據的大小關系等問題 循環結構主要用在一些有規律的重復計算的算法中 如累加求和 累乘求積等問題 第65講 規律總結 2 循環結構的程序框圖的運用 1 循環結構的循環過程是由兩個變量控制 一個是計數變量 一個是累加變量 2 循環的結束由判斷條件決定 因此 解決帶有循環結構的程序框圖時要注意三看 一看開始時設定的變量 二看變量的變化規律 三看循環終止的條件 第65講 規律總結 3 給出一個問題 設計其算法時應注意 1 認真分析問題 思考解決問題的一般的數學方法 2 綜合考慮此類問題中可能涉及的各種情況 3 借助有關變量或參數對算法加以表述 4 將解決問題的過程劃分為若干個步驟 5 用簡練的語言將各個步驟表述出來 第65講 規律總結 4 畫程序框圖應注意的問題 1 畫程序框圖之前應先對問題設計出合理的算法 然后分析算法的邏輯結構 根據邏輯結構畫出相應的程序框圖 2 畫程序框圖時 注意不要混淆了不同的程序框圖 3 畫程序框圖時 一般按從上到下 從左到右的方法畫 一般以中間一條從上到下的線為主線 有些步驟在處理完后需返回到前面某一步 這樣的流程線常畫在主線的兩側 第66講 基本算法語句及算法案例 第66講基本算法語句及算法案例 1 基本算法語句的格式要求 1 任何一種程序設計語言中都包含五種基本的算法語句 它們分別是 2 輸入語句的一般格式是 INPUT 提示內容 輸出語句的一般格式是 PRINT 提示內容 賦值語句的一般格式是 第66講 知識梳理 輸入語句 輸出語句 賦值語句 條件語句 循環語句 變量 表達式 變量 表達式 3 條件語句有兩種 一種是IF THEN ELSE語句 其格式是 第66講 知識梳理 對應的程序框圖為 第66講 知識梳理 另一種是IF THEN語句 其一般格式是 第66講 知識梳理 第66講 知識梳理 對應的程序框圖為 第66講 知識梳理 4 循環語句分WHILE語句和UNTIL語句 WHILE語句的一般格式為 第66講 知識梳理 對應的程序框圖為 第66講 知識梳理 UNTIL語句的一般格式為 第66講 知識梳理 其對應的程序框圖為 2 基本算法語句的含義及用法 1 和 是任何算法程序必不可少的基本算法語句 2 當算法程序按條件進行分析 比較 判斷 并按判斷后的不同情況進行不同處理時 需用 來實現 3 當處理一些需要反復執行的運算任務 如累加求和 累乘求積等問題時 常用到循環語句 若先考慮判斷 再進行循環 則使用 循環 若先進行循環 再判斷 可使用 循環 循環語句至少執行一次循環體 而 循環語句則可能一次也不執行循環體 二者本質上是相同的 可以相互轉化 第66講 知識梳理 輸入 輸出語句 賦值語句 條件語句 當型 WHILE型 直到型 UNTIL型 直到型 當型 3 求最大公約數的常用方法 1 輾轉相除法 輾轉相除法是用于求最大公約數的一種方法 這種算法由歐幾里得在公元前300年左右首先提出 因而又叫 所謂輾轉相除法 就是對于給定的兩個數 用 除以 若余數不為零 則將 構成新的一對數 繼續上面的除法 直到大數被小數除盡 則這時的 就是原來兩個數的最大公約數 2 更相減損術 更相減損術也是求兩數最大公約數的方法 其基本過程是 對于給定的兩數 用d 接著把所得的 與 比較 并以大數減小數 繼續這個操作 直到所得的數 為止 則這個數就是所求的最大公約數 第66講 知識梳理 歐幾里得算法 較大的數 較小的數 較小的數和余數 除數 去較小的數 較大的數減 差 較小的數 相等 4 進位制間的轉換方法 1 進位制是人們為了計數和運算方便而約定的記數系統 滿k進一 就是 k進制的基數是 2 將s 100進制的數化為十進制數的方法是 先將k進制數寫成用 的形式 再按照十進制數的運算規則計算出結果 3 將十進制數化為k進制數的方法是 除k取余法 即用k連續去除該十進制數或所得的商 直到商為零為止 然后 就是相應的k進制數 第66講 知識梳理 k進制 k 各位上的數字與k的冪的乘積之和 把每次所得的余數倒著排成一個數 第66講 知識梳理 第66講 知識梳理 探究點1輸入 輸出和賦值語句 第66講 要點探究 例1圖66 9所示的算法程序 若輸入6 18 32 則輸出結果是 A 6 18 32B 18 6 32C 18 32 18D 32 18 6 第66講 要點探究 例1 思路 理解賦值語句的一般格式 變量 表達式 C 解析 先把b的值18賦給a a 18 再把c的值32賦給b b 32 最后把a的值18賦給c c 18 故選C 探究點2條件語句和循環語句 第66講 要點探究 例2分析下面的程序 當輸入的x值為3時 程序的輸出結果為 第66講 要點探究 例2 思路 明確兩種條件語句的區別 將條件語句轉化為程序框圖 按步驟解決問題 第66講 要點探究 8 解析 第一個ELSE指的是x 1的情況 第二個ELSE指的是x 1的情況 那么當x 3時 應執行第二個ELSE后的語句 如右邊的程序框圖 即y 2 x 2 3 8 第66講 要點探究 例3讀下面兩段程序語句 對甲 乙程序和輸出結果判斷正確的是 A 程序不同 結果不同B 程序不同 結果相同C 程序相同 結果不同D 程序相同 結果相同 第66講 要點探究 例3 思路 從直到型循環結構和當型循環結構入手 分析它們各自的特點 容易得出正確結論 B 解析 程序甲屬當型結構 計算變量i從1開始逐步遞增到i 1000時終止 累加變量從0開始 這個程序計算的是1 2 3 1000 程序乙屬直到型結構 計算變量i從1000開始逐步遞減到i 1時終止 累加變量從0開始 這個程序計算的是1000 999 998 1 但這兩段程序是不同的 輸出的結果都是1 2 3 1000 500500 故選B 第66講 要點探究 點評 同一問題可以有不同的程序 解決這類試題的關鍵是分析程序是用哪種算法語句編制的 根據循環語句討論其執行結果時 首先要分清是屬于直到型循環結構還是當型循環結構 通常根據循環語句所表達的意義 具體執行程序 明確程序功能 就可以得到其輸出結果 一般情況下 要善于將程序語句轉化成程序框圖再作進一步分析 第66講 要點探究 例4用輾轉相除法求264與168的最大公約數 并用更相減損術檢驗所得結果 探究點3最大公約數 第66講 要點探究 例4 思路 根據輾轉相除法步驟和更相減損術步驟求得 解答 用輾轉相除法 第一步 264 1 168 96 第二步 168 1 96 72 第三步 96 1 72 24 第四步 72 3 24 0 第66講 要點探究 或第一步 264 8 33 168 8 21 第二步 33 21 12 第三步 21 12 9 第四步 12 9 3 第五步 9 3 6 第六步 6 3 3 故24是264與168的最大公約數 第66講 要點探究 用更相減損術檢驗 第一步 264 168 96 第二步 168 96 72 第三步 96 72 24 第四步 72 24 48 第五步 48 24 24 故24是264與168的最大公約數 第66講 要點探究 點評 輾轉相除法以除法為主 更相減損術以減法為主 計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少 輾轉相除法是當大數被小數整除時停止除法運算 此時的小數就是兩者的最大公約數 更相減損術是當大數減去小數的差等于小數時減法停止 較小的數 或與約簡的數的乘積 就是最大公約數 以上兩種算法要弄清運算結束的條件 輾轉相除法是到達余數為0結束 更相減損術是到達減數和差相等結束 求最大公約數是算法在數學應用中非常典型的案例 在此基礎上我們還可以求得最小公倍數 第66講 要點探究 例5用秦九韶算法求多項式f x 1 x 0 5x2 0 16667x3 0 04167x4 0 00833x5在x 0 2的值 探究點4秦九韶算法 第66講 要點探究 例5 思路 可根據秦九韶算法原理 將所給多項式改寫 然后由內到外逐次計算即可 解答 f x 1 x 0 5x2 0 16667x3 0 04167x4 0 00833x5 0 00833x 0 04167 x 0 16667 x 0 5 x 1 x 1 而x 0 2 所以有v0 a5 0 00833 v1 v0 x a4 0 040004 v2 v1x a3 0 1586692 v3 v2x a2 0 46826616 v4 v3x a1 0 906346768 v5 v4x a0 0 818730646 即f 0 2 0 818730646 第66講 要點探究 點評 利用秦九韶算法計算多項式值關鍵是能正確地將所給多項式改寫 然后由內到外逐次計算 由于后項計算需用到前項的結果 故應認真 細心 確保中間結果的準確性 第66講 規律總結 1 輸入 輸出和賦值語句是任何一個算法中必不可少的語句 一個語句可以輸出多個表達式 在賦值語句中 一定要注意其格式要求 如 的右側必須是表達式 左側必須是變量 一個語句只能給一個變量賦值 變量的值始終等于最近一次賦給它的值 先前的值將被替換 第66講 規律總結 2 條件語句的主要功能是來實現算法中的條件結構 經常需要計算機按照條件進行分析 比較 判斷 并且按照判斷后的不同情況進行不同的操作和處理 如果是要解決像 判斷一個數的正負 比較數之間的大小 對一組數進行排序 求分段函數的函數值 等問題 計算機就需要用到條件語句 有時還要用到條件語句的嵌套 第66講 規律總結 3 解決算法問題里的累加 累乘等問題 需用循環語句編寫程序 注意合理設計計數變量 累積變量和判斷條件 4 求三個以上 含三個數 的數的最大公約數時 可依次通過求兩個數的最大公約數與第三個數的最大公約數來求解 第67講 復數的概念與運算 第67講復數的概念與運算 1 復數的有關概念 1 復數的定義 形如a bi a b R 的數叫復數 其中i叫做虛數單位 滿足i2 1 a叫復數的 b叫復數的 全體復數所成的集合叫做 用字母C表示 2 復數的分類 對于復數a bi a b R 當且僅當 時 復數a bi a b R 是實數 當 時 復數z a bi叫做虛數 當a 0且b 0時 z 叫做純虛數 第67講 知識梳理 實部 虛部 復數集 b 0 b 0 bi 3 相等的復數 如果兩個復數的實部和虛部分別相等 那么我們就說這兩個復數相等 這就是說 如果a b c d R 那么a bi c di 4 共軛復數 如果兩個復數的 而虛部互為 則這兩個復數互為共軛復數 即復數z a bi a b R 的共軛復數為 第67講 知識梳理 a c b d 實部相等 相反數 a bi 2 復數的四則運算 1 in的周期性 i1 i i2 1 i3 i i4 1 i4n 1 i4n 2 i4n 3 i4n n Z 2 復數和的運算法則 z1 z2 a bi c di 3 復數差的運算法則 z1 z2 a bi c di 第67講 知識梳理 i 1 i 1 a c b d i a c b d i 第67講 知識梳理 ac bd ad bc i 第67講 知識梳理 實軸 虛軸 實數 純虛數 探究點1復數的有關概念 第67講 要點探究 例1下面四個命題