北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 數學寶典 數學寶典 目錄 目錄 第一章 排列組合與二項式定理 2 第一節 基本概念與知識點 2 第二章 充分性判斷題解題技巧 5 第一節 充分條件基本概念 一 5 第二節 充分條件基本概念 二 5 第三節 解題步驟及套路 10 第四節 條件充分性判斷題的解題技巧 12 第三章 初等數學基本概念 16 第一節 絕對值 16 一 基本概念與知識點 16 第二節 比和比例 18 一 基本概念與知識點 18 二 知識點評述 19 第三節 平均值 23 一 基本概念與知識點 23 第四章 整式運算與二項式定理 24 第一節 基本概念與知識點 24 第二節 知識點評述 24 第五章 方程與不等式 28 第一節 方程與方程組 28 一 基本概念與知識點 28 二 知識點評述 30 第二節 不等式 31 一 基本概念與知識點 31 第六章 數 列 34 第一節 基本概念與知識點 34 第二節 定義 定理和公式 34 第三節 數列無敵解法 35 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 第一章第一章 排列組合與二項式定理排列組合與二項式定理 第一節 基本概念與知識點 第一節 基本概念與知識點 1 加法原理 如果完成一件事有 n 類辦法 只要選擇其中一類辦法中的任何一種方法 就可以完成這件事 若第一類辦法中有 1 m種不同的方法 第二類辦法中有 2 m種不同的方法 第 n 類辦法中有 n m 種不同的辦法 那么完成這件事共有 n mmmN 21 種不同的方法 2 乘法原理 如果完成一件事 必須依次連續地完成n個步驟 這件事才能完成 若完成第一個步驟有 1 m 種不同的方法 完成第二個步驟有 2 m種不同的方法 完成第n個步驟有 n m種不同的方法 那么 完成這件事共有 n mmmN 21 種不同的方法 3 排列 1 排列的定義 從n個不同元素中 任意取出 nmm 個元素 按照一定順序排成一列 稱 為從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列 2 排列數 從n個不同元素中取出m個元素 m n 的所有排列的種數 稱為從n個不同元素 中取出m個不同元素的排列數 記作nmPm n 當 時 n n P稱為全排列 3 排列種數公式 規定 1 0 n P 1 2 1 mn n mnnnnPm n 123 2 1 nnnnPn n mkPPP km kn k n m n 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 4 組合 1 組合的定義 從 n 個不同元素中 任意取出 nmm 個元素并為一組 叫做從 n 個不同元素 中取出 m 個元素的一個組合 2 組合數 從n個不同元素中 取出 nmm 個元素的所有組合的個數 稱為從n個不同元素 中 取出 m 個不同元素的一個組合數 記作 m n C 規定 1 0 n C 12 1 1 1 mm mnnn C m n m P mnm n m n 中所反映出的排列與組合數的關系 也可以表示為 m m m n m n PCP 3 組合數的性質 mn n m n CC 1 1 m n m n m n CCC 4 常用組合恒等式 nn nnnn CCCC2 210 2 1420 為偶數nCCCC nn nnnn 2 1531 為奇數nCCCC nn nnnn 由 兩恒等式說明 式中奇數項和與偶數項和的值相等均為 1 2 n 1321 232 nn nnnn nnCCCC 0 1 32 1321 n n n nnn nCCCC 1 11 m nm m nm m m m m CCCC 5 元素可重復的排列 從 n 個不同元素中 每次取出 m 個元素 其中允許元素重復出現 再按照一定的順序排成一列 那么第一 第二 第 m 位上選取的方法都是 n 個 所以從 n 個不同元素中 每次取出 m 個可重復元 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 素的排列種數是 nm個 N 個元素中若有 m 個相同元素 則這 n 個元素的全排列的種數是 m m n n P P 6 二項式定理 二項式定理是多項式乘冪定理的最簡單的形式 主要研究 n ba 的各元素 a b n 與其展開 式中各項系數 指數之間的關系 以及展開式本身所具有的性質 我們可以用排列與組合的方法 真接推導出展開式的任何一項或整體 1 11110nn n nn n kknk n n n n n n bCabCbaCbaCaCba 其中第 kknk nk baCTk 1 1項稱為通項 可以作為公式來使用 式 1 是一個恒等式 即對任何 a b 的取值 等式恒成立 在式 1 中 若令 a b 1 則得到 2 2 210 n nnnn CCCC 0 n C 1 n C n n C稱為展開式中的二項式系數 式 2 是個重要公式 即二項式系數之和等于 2n 二項式系數還有如下性質 1 距首末等距離的兩項的二項式系數相等 或稱二項式系數具 對稱性 2 二項式系數的奇數項和等于偶數項和 3 n 為偶數時中項值最大 n 為奇數時雙中項等值且最大 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 第二章 充分性判斷題解題技巧 第二章 充分性判斷題解題技巧 第一節 充分條件基本概念 一 第一節 充分條件基本概念 一 1 定義 對兩個命題A和B而言 若由命題A成立 肯定可以推出命題B也成立 即BA 為真命題 則稱命題A是命題B成立的充分條件 2 條件與結論 兩個數學命題中 通常會有 條件 與 結論 之分 若由 條件命題 的成立 肯定可以推出 結論命題 也成立 則稱 條件 充分 若由 條件命題 不一定能推 出 或不能推出 結論命題 成立 則稱 條件 不充分 例如 不等式065 2 xx能成立 1 31 x 2 7 x 3 5 x 4 6 x 4 61 x 此例中 題干 065 2 xx能成立 這個命題是 結論 下面分別給出了 5 個命題都 是不同的 條件 現在我們可以把它們按充分與否分為兩類 條件 1 3 5 充分 條件 2 4 不充分 3 知識點評述 1 充分條件的判斷 從給定的條件出發去分析 在此條件下 結論是否一定 成立 若是 則條件充分 若否 則條件不充分 我們在做充分性判斷的試題時 不可從 結論 入手 去求解 那樣只能得出 條件 對 結論 的 必要性 而與充分性判斷相背離 如 在此例中 由結論命題 065 2 xx能成立 可解得61 x 這只證明條件 5 是必要的 事實上 條 件 5 是結論065 2 xx能成立的充分必要條件 才 歪打正著 被你找到了一個充分條件 第二節 充分條件基本概念 二 第二節 充分條件基本概念 二 本書中 所有充分性判斷題的 A B C D E 五個選項所規定的含義 均以下列呈述為準 即 A 條件 1 充分 但條件 2 不充分 B 條件 2 充分 但條件 1 不充分 C 條件 1 和 2 充分單獨都不充分 但條件 1 和 2 聯合起來充分 D 條件 1 充分 條件 2 也充分 E 條件 1 和 2 單獨都不充分 條件 1 和 2 聯合起來也不充分 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 上述 5 個選項 把條件 1 和 2 以及兩條件聯立起來 同時都滿足即 2 1 的充分性的所有情 況都包括了 但其中 聯合 不是數學名詞 沒有準確的定義 改為 聯立 與原題意比較貼切 比如 不等式4 56 xx成立 1 1 x 2 3 1 x 分析 由題干4 56 xx 解上述不等式 得 2 1 3 4 x 顯然 1 2 單獨都不滿足 即立 1 和 2 得出 3 1 1 x 從而原不等式成立 因此 答案是 C 常用的求解方法有以下幾種 解法一解法一 直接法 即由A推導B 若由A可推導出出B 則A是B的充分條件 若由A推導出與B矛盾的結論 則A不是B的充 分條件 解法一是解 條件充分性判斷 型題的最基本的解法 應熟練掌握 例 1例 1 要保持某種貨幣的幣值不變 1 貶值 10 后又升值 10 2 貶值 20 后又升值 20 分析 分析 設該種貨幣原幣值為 0 aa元 由條件 1 經過一次貶值又一次升值后的幣值為 99 01 19 0 101 101 aaa 顯然與題干結論矛盾 所以條件 1 不充分 由條件 2 經過一次貶值又一次升值后的幣值為 aaa 4 5 5 4 251 201 即 題干中的結論成立 所以條件 2 充分 故應選擇 B 例 2例 2 等差數列 n a中可以確定 250 10021100 aaaS 1 10 999832 aaaa 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 2 10 989752 aaaa 解解 據等差數列性質有 由條件 1 由條件 1 Maaaaaa2 9839921001 250100 4 10 100 100 MS 條件 1 充分 由條件 2 5197550982 2 2aaaaaa 5 2 10 5150 aa 又 5 51501001 aaaa 250100 2 5 100 2 1001 100 aa S 所以條件 2 也充分 故應選擇 D 解法二解法二 定性分析法 由題意分析 得出正確的選擇 當所給題目比較簡單明了 又無定量的結論時 可以分析當條件成立時 有無結論成立的可 能性 從而得出正確選擇 而無需推導和演算 例 1 例 1 對于一項工程 丙的工作效率比甲的工作效率高 1 甲 乙兩人合作 需 10 天完成該項工程 2 乙 丙兩人合作 需 7 天完成該項工程 解解 條件 1 中無甲與丙間的關系 條件 2 中亦無甲與丙間的關系 故條件 1 和 2 顯然 單獨均不充分 將兩條件聯合起來分析 在完成相同工作量的前提下 甲與乙合作所需時間比乙與丙合作所 需時間多 故甲的工作效率當然比丙的工作效率低 題干結論成立 所以條件 1 和 2 聯合起來充 分 故應選擇 C 例 2 例 2 在一個宴會上 每個客人都免費獲得一份冰淇淋或一份水果沙拉 但不能同時獲得二 者 可以確定有多少客人能獲得水果沙拉 1 在該宴會上 60 的客人都獲得了冰淇淋 2 在該宴會上 免費提供的冰淇淋和水果沙拉共 120 份 解 解 由于條件 1 中不知客人總數 所以無法確定獲得水果沙拉的客人的人數 而由于條件 2 中只給出客人總數 所以仍無法確定獲得水果沙拉的客人的人數 故條件 1 和 2 單獨顯然均 不充分 由條件 2 知客人總數 由條件 1 可獲得水果沙拉的客人點總客人數的百分比 必可確定獲 水果沙拉的客人的人數 所以條件 1 和 2 聯合起來充分 故應選擇 C 解法三解法三 逆推法 由條件中變元的特殊值或條件的特殊情況入手 推導出與題干矛盾的結論 從而得出條件不充分的選擇 注意注意 此種方法絕對不能用在條件具有充分性的肯定性的判斷上 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 例 1例 1 要使不等式axx 11的解集為R 1 3 a 2 32 a 解 由條件 1 3 a 取4 a 原式即411 xx 此不等式化為 42 1 42 11 42 1 x x x x x x 或或 所以 22 xxx或或 所以不等式的解為22 xx或 所解集為R矛盾 所以條件 1 不充分 由條件 2 32 a 取2 a 不等式化為211 xx 此不等式化為 22 1 22 11 22 1 x x x x x x 或或 所以11 xxx或或 所以不等式的解為11 xx或與解集為 R 矛盾 所以條件 2 也不充分 條件 1 和 2 聯合 得 32 3 a a 所以 a 顯然條件 1 和 2 聯合起來也不充分 故應選擇 E 例例 2 三個球中 最大球的體積是另外兩個球體積之和的 3 倍 1 三個球的半徑之比為 1 2 3 2 大球半徑是另兩球半徑之和 解解 由條件 1 設三球半徑分別為 3 2 rrr 所以大球體積 36 3 3 4 33 rrV 大 兩小球體積和 3 36 2 3 4 3 4 333 21 rrrVV 顯然 3 21 VVV 大 所以條件 1 充分 由條件 2 設兩小球的半徑分別為3 1 21 rr 大球半徑4 r 所以 3 256 4 3 4 3 大 V 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 3 112 3 3 4 1 3 4 33 21 VV 顯然 3 21 VVV 大 所以條件 2 不充分 故應選擇 A 注意注意 條件 1 的充分性 是用解法一判斷的 只有當條件不充分時 才可用解法三 如對條件 2 不充分的判斷 解法四解法四 一般分析法 尋找題干結論的充分必要條件 即 要判斷 A 是否是 B 的充分條件 可找出 B 的充要條件 C 再判斷 A 是否是 C 的充分條件 例例 1 要使 6 2 x a x的展開式中的常數項為 60 1 a 1 2 a 2 解解 設 6 2 x a x展開式的常數項為 1 r T 因為 rrr r rr r xaC x a xCT 36 6 2 6 61 所以 2 036 rr 因為 60 22 6 aC 所以 2 6015 2 aa 所以題干中結論的充要條件是2 a 所以條件 1 1 a不充分 條件 2 2 a充分 故應選擇 B 此題用解法一需要將1 a和2 a代入 推算兩次 而用此種方法只推算一次得出2 a即 可 例例 2 要使關于 x 的一元方程02 24 kxx有四個相異的實根 1 2 1 0 k 2 21 k 解 方程02 24 kxx有四個相異的實根 設0 2 txt 則方程02 2 ktt應有 兩個不等正實根0 0 21 tt 所以 0 0 02 21 21 tt tt 即 0 044 k k 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 所以 10 0 1 k k k 所以題干中結論的充要條件是 10 k 所以條件 1 充分 條件 2 不充分 故應選擇 A 一道條件充分性判斷試題有時可以用多種方法求解 如上面的例 2 也可求解如下 又解又解 設0 2 txt 所以原方程化為 02 2 ktt 原方程有四個相異實根 即 有兩個不等正實根 因為 1 444kk 由條件 1 2 1 k 所以0 又因為兩根之和為 2 兩根之積為 k 由條件 1 0 k所以這兩根 一定是不等正實根 題干結論成立 所以條件 1 充分 由條件 2 21 k 取 2 3 k 則 化為 0 2 3 2 2 tt 02 2 3 44 方程無實根 題干結論不成立 所以條件 2 不充分 故應選擇 A 第三節 解題步驟及套路 第三節 解題步驟及套路 步驟之一 步驟之一 首先認真閱讀解題說明的每個字 特別是 A B C D E5 個選擇項的含義 與自己 平時練習時樣題中的 A B C D E5 個選擇項的含義與順序是否一致 然后畫出金字塔判斷圖 根據上面的金字塔由上到下 對應于題目中給出的條件 即 1 和 2 由強及弱 依次排列 這樣可使 得考生不至于對于本來會做的題目因為看錯 A B C D E 而搞錯 步驟之二 步驟之二 具體在解題時 考慮使用如下記號標記 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 如G 1 則在該題的 1 前打 如G 1 則在該題的 1 前標 對條件 2 同樣處理 而對 2 1 的標記標有 1 與 2 的兩個標號前面用大括號括起來 現打 或 即可 將上面的金字塔圖補充完整為 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 步驟之三 步驟之三 有時候可能只標了 1 而怎么也確定不了 2 前面應該是 還是 此 時應該先放過去 等其他簡單題做完之后再回來補 若實在沒有時間 還可以有限度地猜一下 比如 若已確定 1 充分 2 無法確定 可以推出結果只有可能為 D 或 A 選擇范圍大大縮小 成功率也高達 50 步驟之四 步驟之四 在第一遍做題時不要匆忙將每道題的選擇答案 A 或 B 直接填上 這樣最容易填 錯 應該在第一遍時只標 或 其他等這 18 道小題全部看完后再把 或 翻 譯成標準答案中的 A 或 B 并涂到答題紙上 這樣效率高 而且不容易錯 步驟之五 步驟之五 考生如認為這一套解條件充分性判斷題的步驟適合自己的話 不妨從現在備考開 始 解這類題型時都嚴格按這套流程來訓練 把這個套路練熟 達到爛熟于心 熟能生巧 這樣 有了充分的準備 考場上面對充分性判斷這類新題型 考生就不會怵頭了 第四節 條件充分性判斷題的解題技巧 第四節 條件充分性判斷題的解題技巧 解題技巧之一 直接檢驗法 解題技巧之一 直接檢驗法 將滿足條件 1 和 2 分別代入結論 C 中檢驗 根據檢驗結果來判別 也可以抽幾個樣本試算 代入檢驗法 是直接檢驗法中最簡單的一種 還有樣本檢驗法無法直接從條件出發代 人 而是從滿足條件的集合中抽取有代表性的樣本 再代入題干檢驗 應該說明的是 樣本檢驗屬于 不完全檢驗 不能嚴格證明 考生應作為輔助辦法使用 或實在沒轍了可以試一試 解題技巧之二 直接邏輯推理法 解題技巧之二 直接邏輯推理法 有時條件 1 2 及結論 C 都是描述性的判斷 實際上該類題屬于純邏輯題 可能會有點繞 但比起 MBA 聯考正宗的邏輯題目來說 也是 小巫見大巫 了 因此考生在復習邏輯時要認真準 備 因為數學部分的充分性判斷題本身就非常需要考生加強在邏輯方面的知識和素養 筆者建議 大家看一下 MBA 聯考 300 分奇跡 的邏輯分冊 很有特色 對解這一類的數學題會有意想不到 的幫助 例 1例 1 小李比小張年齡大 1 小張的哥哥今年剛滿 18 歲 可以參加選舉了 2 小李昨天剛度過了自己的 30 歲生日 題干中涉及到小李和小張的年齡比較問題 而條件 1 完全不涉及小李 條件 2 完全不涉及 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 小張 因此單獨使用 1 或 2 都不能獨立推出結論 根據條件 1 的表述 我們可以由小張年齡 小張哥哥年齡 18 歲推出小張年齡 18 歲 根據條件 2 的表述 得到小李年齡 30 歲 這兩個判 斷聯在一起 由小張年齡 18 歲 30 歲 小李年齡可以得到小李年齡比小張年齡大 即此題應選 C 解題技巧之三 化繁就簡法 解題技巧之三 化繁就簡法 有時或者是條件 1 2 或者是結論G 可能表述或形式上比較復雜 不容易看清楚 這 時候應該考慮用一些辦法化繁就簡 更易于比較和推理 事實上 化簡以后 題目答案甚至一目 了然了 例 2例 2 2 6116 1243 23 23 xxx xxx 成立 1 20 2 xx 2 2 32 2 2 xx xx 由題目看出 這幾個式子都比較繁雜 難以看出彼此關系 通過化簡將 6656 3 4 3 6116 1243 23 2 23 23 xxxx xxx xxx xxx 12 3 2 1 2 3 2 1 3 2 2 65 1 3 2 2 1 6 5 1 3 2 2 1 6 56 3 4 2 2 2 xxx x x xxx xxx xxx xxx xxxx xxx xxxx xx 且其中 進一步得 x 4 對條件 1 化簡為54 0 5 4 020 2 xxxxxx或得 對條件 2 化簡為 10 33422 22 xxxxxx且其中進一步得0 4 1 xx 由于1 x 所以4 x 則 1 不充分 2 充分 解題技巧之四 直觀畫圖法 解題技巧之四 直觀畫圖法 有些題目涉及到集合的相互關系 涉及到空間關系 還有彼此之間循環的邏輯關系等 這類題 通常都比較繞 光在腦子里想著想著就亂了 又得重來 實際上這類題的難度并不大 要養成在紙 上畫圖的習慣 把邏輯關系 空間關系等各種紛繁復雜的關系畫出來 就可清楚地找出規律來了 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 例 3例 3 設 A B 為隨機事件 A B成立 1 0 BAP 2 0 BAP 本題如果用計算或推理都很難下手 我們考慮作圖 先考慮條件 1 陰影部分為A 而 0 BAP即指A與 B 不相交 則 B 只能躲藏于 A 的內部 這樣可以得到AB 同理根據條件 2 可以得到BA 顯然由BA 且AB 可以得到 A B 即可選 C 這就是畫圖的妙用 腦子里很難想明白的 關系 紙上一畫圖 有豁然開朗的感覺 考生們不妨一試 解題技巧之五 證偽排除法 解題技巧之五 證偽排除法 數學上的證偽就是舉反例 比如證明條件 1 充分需要數學上嚴格的證明 但如果我們能找出 某個例子滿足條件 1 但不滿足結論 G 就可以說條件 1 充分是錯誤的 可以立刻把 A 和 D 排除 掉 這樣考生的選擇范圍大大縮小 進一步可以用其他方法從剩下的 3 個答案中選出正確答案 實 在不行的話 從 3 個答案中猜一個 猜中的概率也大大增加了 例 4 例 4 不等式034 2 xx成立 1 52 yx 2 2 x 對于條件 2 2 x 直接代入不等式0132422 成立 條件 2 充分 對 于 條 件 1 不 好 直 接 解 答 可 考 慮 舉 反 例 令2 5 yx 代 入 原 不 等 式 035452 不成立 則 1 不充分 最后結果應選 B 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 第三章 初等數學基本概念 第三章 初等數學基本概念 第一節 絕對值 第一節 絕對值 一 基本概念與知識點一 基本概念與知識點 1 定義 實數 a 的絕對值記作 a 其文字敘述的定義的數學表達式如下 0 0 aa aa a 2 幾何意義 一個實數在數軸上所對應的點 到原點的距離值 就是這個實數的絕對值 3 絕對值的性質 1 對稱性 互為相反數的兩個實數的絕對值相等 即 aa 2 等價性 任何實數的平方的算術平方根就是這個實數的絕對值 2 Raaa 其中 3 自比性 任意實數的絕對值不小于它自身 而絕對值的相反數不大于它自身 即 aaa 當且僅當0 a時 右邊等號成立 而0 a時 左邊等號成立 4 非負性 任何實數 a 的絕對值非負 即0 a 推而廣之 應當有 0 2 a 0 baf 0 2 a 0 2 xf 00Nnaa n 時 5 基本絕對值不等式 1 0 aaxaax 2 0 aaxaax 3 bababa 右邊等號成立充要條件是0 ab 而左邊等號成立的充要 條件是 0 ba ab 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 4 2121nn aaaaaa 即有限個實數之和的絕對值不大于它們的絕對值之和 例如 等式 8 3 12 xxx成立的條件是 A 83 x B 8 x C 0 8 3 xx D 3 x E 38 x 解 解 由 8 3 8 3 12 xxxxx這一基本絕對值不等式中 等號成立 的充要條件為0 8 3 xx 可以得知 當3 x或8 x時等式都能成立 應先 C 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 第二節 比和比例 第二節 比和比例 一 基本概念與知識點一 基本概念與知識點 兩數相除稱為兩數之比 0 b b a ba稱為 a 比 b 稱 a 為比的前項 b 為比的后項 b a 稱為 比值 記作 b a ba 1 比的性質比的性質 1 kbakba 2 0 cbcacba 2 比例的定義比例的定義 相等的比稱為比例 記為 d c b a dcBa 或 又如 p c n b m a 等等 3 比例基本性質比例基本性質 1 bcaddcba 即兩外項積與兩內項積相等 2 若cbba 稱 b 為 a 和 c 的比例中項 恒有acb 2 成立 3 若xykxy與稱 成正比例 xy x k y與稱 成反比例 其中 k 為非零常數 稱為比例系數 4 解應用題的有關基本知識解應用題的有關基本知識 1 解百分數的應用題時 一定要準確找到每一個百分比的標準量是什么 尤其是在同一題中 不同百分比各自有不同標準量時要多加小心 2 此考點試題以應用題為主 在應用問題求解時 最主要的是準確理解題意 在反復閱讀的基 礎上 合理選擇正確的方法 盡量較簡捷地得出答案 3 常用應用題解法有 轉化法 改變思考的方式或角度 使復雜問題 轉化為熟悉的 簡單的基本問題 或將題中條件 加以轉化 或重新組合 以便于得到明確的解題思路 另外把復雜的數量關系中不同的單位制 轉化 為統一單位制下的簡單數量關系 窮舉法 這是樸素且實用的方法 對討論對象加以分類 使問題簡化 圖解法 以圖形表達命題 幫助我們理解題意 發現隱含條件 找到解題途徑 代數法 設未知量找等量關系分列方程 除這幾種常用解法外還有逆推法 綜合法 歸納法等等 可依據題目的類型和特點選擇使用 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 二 知識點評述二 知識點評述 1 比和比例與比和比例與 MBA 數學聯考數學聯考 比和比例這部分內容屬于算術 但在 MBA 聯考的數學試題中 都占有很重的比例 是必考的知 識點 例如 2002 年聯考第 5 題 設6 5 4 1 1 1 zyx 則使74 zyx成立的 y 值是 A 24 B 36 C 74 3 D 37 2 這是典型的比例問題 題型較新穎 但仍可利用比例系數 像一般比例問題一樣去求解 由已知 有k z y x 6 1 5 1 4 1 即 k z kkkk y k x 6 1 74 6 1 5 1 4 1 5 1 4 1 24 5 120 5 1 120 1 k yk代入 此題應選 A 同一份試題的第 4 題也是一道比和比例的應用題 原題是 某廠生產的一批產品經檢驗 優等 品與二等品的比是 5 2 二等品與次品的比例是 5 1 則該批產品的合格率 合格品包括優等品與二 等品 為 A 92 B 92 3 C 94 6 D 96 此題給出了兩個比 但卻必須知道3種不同等級的產品在這批產品中 各自所占的比例 這就需 要利用比例中項和比例的性質定理 求出同一個量在不同的比中的數值的最小公倍數 再利用比的 性質 把它們化為比例式 如 優質品 二級品 10 25 2 5 二級品 次品 2 10 1 5 則可得到 優質品 二級品 次品 25 10 2 946 100 21025 1025 合格率 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 應選 C 2 關于比例系數關于比例系數0 k 一般地說 比例的有關試題 都可通過設出比例系數的方法得到解決 否則解題過程隨試題難 度的增大 將變得越來越復雜 繁瑣 比如 已知 yx yx y x 23 23 5 3 那么的值是 A 19 B 19 C 6 D 6 解解 由已知有 5 3 y x 則 yx 5 3 19 2 5 3 3 2 5 3 3 23 23 yy yy yx yx 又如 若 5 3 y x 要求出 yx yx 93 72 的值 這里再告訴你一個簡單有效的計算方法 那就是將上式 中的 x y 分別以 3 和 5 代換直接計算即 54 29 5933 5732 93 72 yx yx 就是正確答案 要證明不難 請看下面的過程 535 3yx y x 因此設比例系數 0 53 k yx k ky kx 5 3 代入求值原式 即 kk kk yx yx 5933 5732 93 72 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 54 29 54 29 k k 2003 年聯考條件充分性判斷第 1 小題是 某公司得到一筆貸款共 68 萬元 用于下屬三個工廠的設備改造 結果甲 乙 丙三個車間 按比例分別得到 36 萬元 24 萬元和 8 萬元 1 甲 乙 丙三個工廠按 9 1 3 1 2 1 的比例分配貸款 2 甲 乙 丙三個工廠按 9 6 2 的比例分配貸款 解 由條件 1 9 1 3 1 2 1 9 6 2 即條件 1 與條件 2 等價 從而可能的選項只有D 或E 設比例系數K 則依題意有 68269 KKK 4 K 甲 乙 丙三廠分別分配得 842 2446 3649萬元 萬元萬元 即結論成立 條件 1 2 都充分 選 D 3 百分比問題 3 百分比問題 1 MBA 聯考數學試題 每年都會出有關百分比的應用題 并且相對較難 同時 還存在著百分 比的標準量不明確 或同一題中不同百分比各自有不同標準量 使應試者難于判斷 失誤率高于其 他應用題的實際情況 也說明百分比問題是應用類題型的一個難點 2 百分比問題對策 百分比問題的解題規律 有經驗的小學老師半個世紀前就已經總結出規律 其口訣是 求標準 量 求部分量 增長了時 1 百分比 或 1 百分比 減縮時 1 百分比 或 1 百分比 文字描述為 求標準量用除 求部分量用乘 增長了時乘 除 一加 減 縮了時乘 除 一減 百分比問題的解題關鍵必然是標準量的確認 比如 1998 年聯考第 1 題 一種貨幣貶值 15 一 年后需增值百分之幾才能保持原幣值 A 15 B 15 25 C 16 78 D 17 17 E 17 65 分析分析 解此題的關鍵在于所求的百分比是比貶值后的幣值為標準量的 只要明確了這個概念 不難得出正確的解法 應設需增值 x 并假定原幣值為 a 依題意有 65 17 85 15 1 151 x axa 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 應選 E 又比如1999年10月MBA聯考數學第4題 某商店將每套服裝按原價提高50 后 再做七折 優 惠 的廣告宣傳 這樣每售出一套服裝可獲利 625 元 已知每套服裝的成本是 2000 元 該店按 優 惠價 售出一套服裝比原價 A 多賺 100 元 B 少賺 100 元 C 多賺 125 元 D 少賺 125 元 E 多賺 155 元 解 解 解題之關鍵是要分清成本價 原銷售價 優惠價 和利潤這幾個概念 有些題目還會給出 利潤所占的百分比 此時要注意 通常情況下毛利率這一百分比的標準量是銷售價而不是成本價 這是在工商管理學的教材上明確定義的 但具體題目還是會有指明以成本價計算利潤率的情況 只能具體問題具體分析了 此題是已知最終售價即 優惠價 由此逆推 依所給條件去求原價 即 可知盈虧 依題意 優惠價 為 2 000 625 2 625 元 所以原價是 2 625 70 1 50 2 500 元 多賺 2 625 2 500 125 元 應選 C 2001 年聯考第一題所給利潤率就是以標價而不是以實際的打折售價為標準量 也不是以成 本價為標準量的 原題是這樣的 一商店把某商品按標價的九折出售 仍可獲利 20 若該商品的 進價為每件 21 元 則該商品每件的標價為 A 26 元 B 28 元 C 30 元 D 32 元 分析 可設標價為 x 元 則打折后的實售價為 9x 10 而標價的 20 為利潤 即 x20 依題意有 9x 10 20 x 21 x 30 元 應選 C 解法中用到的一個概念 即 實售價 成本 利潤 這是顯而易見的 此題所涉及的商家的打折是真誠的讓利行為 將原定價 時的 30 的利潤率 降至 20 即從獲利 9 元降到 6 元 此題若以成本價為標準量得 28 10 9 201 21 元 將得到錯誤答案 B 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 第三節 平均值 第三節 平均值 一 基本概念與知識點一 基本概念與知識點 1 n 個數 n xxx 21 稱 n xxx n 21 為這 n 個數的算術平均值 記作 n i i x n xx 1 1 2 n 個正數 n xxx 21 稱 n nn xxxx 121 為這 n 個正數的幾何平均值 記作n n i i x 1 3 對 n 個正數 n xxx 21 而言 它們的算術平均值永遠不小于它們的幾何平均值 即 n xxx n 21 n n xxx 21 或 n i i x n 1 1 n n i i x 1 當且僅當 n xxx 21 時 等號成立 特別地當n 2 時 稱兩正數 21 x x的幾何平均值 21x x為 1 x與 2 x的比例中項 即 221211 xxxxxx 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 第四章 整式運算與二項式定理 第四章 整式運算與二項式定理 第一節 基本概念與知識點 第一節 基本概念與知識點 1 雖然 2004 年新大綱對整式和分式的考察不作要求 但整式的運算是代數學的基本 本書 仍作相應的介紹 2 二項式定理是 2004 年大綱繼續要求的內容 本節一并講解 二項式定理的試題是 MBA 聯考 每年必考的內容 不可掉以輕心 3 綜合除法 余數定理和因式定理是多項式理論的精要部分 在此我們不必去深入了解和掌 握這些理論 只要求考生能利用其結論 簡化運算和推理 快速求解某些稍難一點的試題 就可以 了 第二節 知識點評述 第二節 知識點評述 1 同底的冪的運算 其規律是指數的運算比冪的運算低一級 例如 0 mnnmnmnmnmnm aaaaaaaaa 上一級的運算對本級運算是滿足分配律的 故有 mmm yxxy 就你ayaxyxa 一樣 我們規定 1 任何非零實數的零次冪等于 1 即 0 1 0 xx 2 0 1 x x x m m 2 常用基本公式 1 22 bababa 2 222 2 bababa 3 3322 babababa 4 nnnnn babbaaba 121 5 abccbacabcabcbacba3 333222 6 222 2222 bcacabcbacba 上面所列公式從左推向右 是乘法公式 而從右推向左則是因式分解公式 因為它們都是恒等 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 93 777 2 x xx 式 對所含字母的任意實數值 原式均成立 3 多項式的乘法 比如byayaxbayx263 2 3 其法則是展開一個多項式 以其中每一個單項去 乘另一多項式中的各項 可得乘積中的各項 然后把同類項合并 可得乘積多項式 換言之 乘積中的 任一項 都是每個因式多項式中各取一項相乘 再合并同類項后的結果 這一法則對我們理解二項 式定理 和解某些較難的二項式定理的試題大有裨益 比如 求 62 1 1 x x展開式中不含x的項時 就可以將原式看成是編號不同的 6 個相同因式的乘積 只需考慮如何選取各因式中的項 才能得到 常數項的各種取法 就可以直接得到結果 而無需多次展開多項式了 例中的展開式不含 x 的項為 4411560 1 1 66 6 4 4 2 6 33 3 2 5 1 6 CCCCCC 4 多項式除法 1 豎式除法和待定系數法 比如 1 2432 2234 xxxxxx 752 2432 2 2342 xx xxxxaxx 1 2432 2234 xxxxxx 1 93 752 2 2 xx x xx 也可以表示為 93 1 752 2432 22 234 xxxxx xxxx 上式的一般形式是 xkxQxxf 其中 xf是多項式除法中被除式 1 2 xx是除式 記作752 2 xxx 是商式 xxx xxx 23 234 25 222 247 555 2 23 xx xxx 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 www Chinatg org 93 xxQ是余式記為 R x 余式至少比除式低一次 當除式為一次因式時 余式 R x r 為常 數 5 余數定理和因式定理 1 如果 n nn axaxaxf 1 00 除以一次因式 x a 所得的余數一定是 f a rafaxrxQaxxf 則必有令 2 因式定理 多項式 xf含有因式 x a 即 xf被 x a 整除 的充要條件是0 af也就 是 0 0 rafaxxf即整除被 6 待定系數法 利用兩個多項式恒等的充要條件是同類項的系數相等 可求出預設的待定系數 例如前例中可設 edxcbxaxxxxxxx 余式為的商式為 1 2232 22234 則有 ecxdcbxcbaxabax edxcbxaxxx xxxx 1 2232 234 22 234 9 3 7 5 2 2 1 4 3 2 e d c b a ec dcb cba ab a 應有 7 綜合除法 利用綜合除法來求商式 余式非常方便快捷 結合因式定理和余數定理來解決整除的判斷 求余數 高次方程的求解 高次多項式的因式分解等 有著廣泛的應用 這里只介紹用法 不必了解 它的來龍去脈 例如已知多項式6512325583 2234 xxxxxx能被整數 試用綜合除法求商式 1 6 65 2 xxxx 原多項式也一定能被 x 6 和 x 1 所整除 由因式定理可知多項式 xf至少含有兩個根 6 和 1 且必有 f 6 f 1 0 由綜合除法可證實這一結論 6 3 8 55 32 12 中國團購網 北京運營中心 北京網際通聯科技有限公司 北京市宏達北路 10 號 707 室 電話 01067876870 上海運營中心 上海鯤鵬商務咨詢有限公司 上海市武東路 198 號 1205 室 電話 02165165124 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