中國校長網 中國校長網資源頻道 20092009 年普通高等學校招生全國統一考試年普通高等學校招生全國統一考試 山東山東卷卷 理理科數學科數學 本試卷分第 卷和第 卷兩部分 共 4 頁 滿分 150 分 考試時間 120 分鐘 考試結束 后 將本試卷和答題卡一并交回 注意事項 注意事項 1 1 1 1 答題前 考生務必用 答題前 考生務必用 0 50 50 50 5 毫米黑色簽字筆將自己的姓名 座號 準考證號 縣區和科類毫米黑色簽字筆將自己的姓名 座號 準考證號 縣區和科類 填寫在答題卡和試卷規定的位置上填寫在答題卡和試卷規定的位置上 并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置 并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置 2 2 2 2 第第 卷每小題選出答案后卷每小題選出答案后 用用 2B2B2B2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑 如需改動如需改動 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標號 答案不能答在試卷上 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標號 答案不能答在試卷上 3 3 3 3 第 第 卷必須用卷必須用 0 50 50 50 5 毫米黑色簽字筆在答題卡各題的答題區域內作答毫米黑色簽字筆在答題卡各題的答題區域內作答 不能寫在試題卷上不能寫在試題卷上 如需改動 先畫掉原來的答案如需改動 先畫掉原來的答案 然后再寫上新的答案然后再寫上新的答案 不能使用涂改液 膠帶紙不能使用涂改液 膠帶紙 修正帶修正帶 不按以上要求作答的答案無效 不按以上要求作答的答案無效 4 4 4 4 填空題請直接填寫答案 填空題請直接填寫答案 解答題應寫出文字說明解答題應寫出文字說明 證明過程或演算步驟證明過程或演算步驟 參考公式 參考公式 柱體的體積公式 V Sh 其中 S 是柱體的底面積 h 是錐體的高 錐體的體積公式 V 1 3 Sh 其中 S 是錐體的底面積 h 是錐體的高 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B R 如果事件 A B 獨立 那么 P AB P A P B 事件 A 在一次試驗中發生的概率是p 那么n次獨立重復試驗中事件 A 恰好發生k次的概 率 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn L 第第 卷卷 共共 60606060 分分 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12121212 小題 每小題小題 每小題 5 5 5 5 分 共分 共 60606060 分 在每小題給出的四個選項中 只分 在每小題給出的四個選項中 只 有一項是符合題目要求的 有一項是符合題目要求的 1 集合 0 2 Aa 2 1 Ba 若 0 1 2 4 16AB U 則a的值為 A 0 B 1 C 2 D 4 解析 0 2 Aa 2 1 Ba 0 1 2 4 16AB U 2 16 4 a a 4a 故選 D 答案 D 命題立意 本題考查了集合的并集運算 并用觀察法得到相對應的元素 從而求得答案 本題 中國校長網 中國校長網資源頻道 屬于容易題 2 復數 3 1 i i 等于 A i21 B 1 2i C 2i D 2i 解析 2 2 3 3 1 3242 2 1 1 1 12 iiiiii i iiii 故選 C 答案 C 命題立意 本題考查復數的除法運算 分子 分母需要同乘以分母的共軛復數 把分母 變為實數 將除法轉變為乘法進行運算 3 將函數sin2yx 的圖象向左平移 4 個單位 再向上平移 1 個單位 所得圖象的函數解 析式是 A cos2yx B 2 2cosyx C 4 2sin 1 xy D 2 2sinyx 解析 將函數sin2yx 的圖象向左平移 4 個單位 得到函數sin2 4 yx 即 sin 2 cos2 2 yxx 的圖象 再向上平移 1 個單位 所得圖象的函數解析式為 2 1 cos22sinyxx 故選 D 答案 D 命題立意 本題考查三角函數的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析 式的基本知識和基本技能 學會公式的變形 4 一空間幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 解析 該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的 圓柱的底面半徑為 1 高為 2 體積為2 四棱錐的底面 邊長為2 高為3 所以體積為 2 12 3 23 33 2 2 側 左 視圖 2 2 2 正 主 視圖 俯視圖 中國校長網 中國校長網資源頻道 所以該幾何體的體積為 2 3 2 3 答案 C 命題立意 本題考查了立體幾何中的空間想象能力 由三視圖能夠想象得到空間的立體圖 并能準確地 計算出 幾何體的體積 5 已知 表示兩個不同的平面 m 為平面 內的一條直線 則 是 m 的 A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 解析 由平面與平面垂直的判定定理知如果 m 為平面 內的 一條直線 m 則 反過來則不一定 所以 是 m 的必要不充分條 件 答案 B 命題立意 本題主要考查了立體幾何中垂直關系的判定和充分必要條件的概念 6 函數 xx xx ee y ee 的圖像大致為 解 析 函數 有意義 需使0 xx ee 其定 義域為 0 xx 排除 C D 又因 為 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 所以當0 x 時函數為減函數 故選 A 答案 A 命題立意 本題考查了函數的圖象以及函數的定義域 值域 單調性等性質 本題的難點 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O A B C P 第 7 題圖 中國校長網 中國校長網資源頻道 在于給出的函數比較復雜 需要對其先變形 再在定義域內對其進行考察其余的性質 7 設 P 是 ABC 所在平面內的一點 2BCBABP uuu ruuu ruuu r 則 A 0PAPB uu u ruuu rr B 0PCPA uuu ruuu rr C 0PBPC uuu ruuu rr D 0PAPBPC uu u ruuu ruuu rr 解析 因為2BCBABP uuu ruu u ruuu r 所以點 P 為線段 AC 的中點 所以應該選 C 答案 C 命題立意 本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則 可以借助圖形解答 某工廠對一批產品進行了抽樣檢測 有圖是根據抽樣檢測后 的產品凈重 單位 克 數據繪制的頻率分布直方圖 其中產 品凈重的范圍是 96 106 樣本數據分組為 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知樣本中產品凈重小于 100 克的個數是 36 則樣本中凈重大于或等于 98 克并且小于 104 克 的產品的個數是 A 90 B 75 C 60 D 45 解析 產品凈重小于100克的概率為 0 050 0 100 2 0 300 已知樣本中產品凈重小于 100 克的個數是 36 設樣本容量為n 則300 0 36 n 所以120 n 凈重大于或等于 98 克并且小于 104 克的產品的概率為 0 100 0 150 0 125 2 0 75 所以樣 本中凈重大于或等于 98 克并且小于 104 克的產品的個數是 120 0 75 90 故選 A 答案 A 命題立意 本題考查了統計與概率的知識 讀懂頻率分布直方圖 會計算概率以及樣本中有 關的數據 9 設雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線與拋物線 y x 2 1 只有一個公共點 則雙曲線的 離心率為 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 96 98 100 102 104 106 0 150 0 125 0 100 0 075 0 050 克 頻率 組距 第 8 題圖 中國校長網 中國校長網資源頻道 解析 雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線為x a b y 由方程組 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故選 D 答案 D 命題立意 本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念 以及直線與拋物線的位置 關系 只有一個公共點 則解方程組有唯一解 本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技 能 10 定義在 R 上的函數 f x 滿足 f x x x x 0 2 1 0 1 log2 xxfxf xx 則f 2009 的值為 A 1 B 0 C 1 D 2 解析 由已知得 2 1 log 21f 0 0f 1 0 1 1fff 2 1 0 1fff 3 2 1 1 1 0fff 4 3 2 0 1 1fff 5 4 3 1fff 6 5 4 0fff 所以函數 f x 的值以 6 為周期重復性出現 所以 f 2009 f 5 1 故選 C 答案 C 命題立意 本題考查歸納推理以及函數的周期性和對數的運算 11 在區間 1 1 上隨機取一個數 x cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之間的概率為 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 解析 在區間 1 1 上隨機取一個數 x 即 1 1 x 時 222 x 0cos1 2 x 區間長度為 1 而cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之間的區間長度為 2 1 所以概率為 2 1 故選 C 答案 C 命題立意 本題考查了三角函數的值域和幾何概型問題 由自變量 x 的取值范圍 得到函數 值cos 2 x 的范圍 再由長度型幾何概型求得 中國校長網 中國校長網資源頻道 12 設 x y 滿足約束條件 0 0 02 063 yx yx yx 若目標函數 z ax by a 0 b 0 的是最大值為 12 則 23 ab 的最小值為 A 6 25 B 3 8 C 3 11 D 4 解析 不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分 當 直線 ax by z a 0 b 0 過直線 x y 2 0 與直線 3x y 6 0 的交點 4 6 時 目標函數 z ax by a 0 b 0 取 得 最 大 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 故選 A 答案 A 命題立意 本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題 要求能準 確地畫出不等式表示的平面區域 并且能夠求得目標函數的最值 對于形如已知 2a 3b 6 求 23 ab 的最小值常用乘積進而用基本不等式解答 第第 卷 共卷 共 90909090 分 分 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 4 4 4 小題 每小題小題 每小題 4 4 4 4 分 共分 共 16161616 分 分 13 不等式0212 xx的解集為 解析 原不等式等價于不等式組 2 21 2 0 x xx 或 1 2 2 21 2 0 x xx 或 1 2 21 2 0 x xx 不等式組 無解 由 得 1 1 2 x 由 得 1 1 2 x 綜上得 11x 所以原不等式的解集為 11 xx 答案 11 xx 0 且 a 1 有兩個零點 則實數 a 的取值范圍是 解析 設函數 0 x yaa 且1 a 和函數yxa 則函數 f x a x x a a 0 且 a 1 有兩個零點 就是函數 0 x yaa 且1 a 與函數yxa 有兩個交點 由圖象可知當 10 a時 因為函數 1 x yaa 的圖象過點 0 1 而直線yxa 所過的點一定在點 0 1 的上方 所以一定有兩個交點 所以實數 a 的取 值范圍是1 a 答案 1 a 命題立意 本題考查了指數函數的圖象與直線的位置關 系 隱含著對指數函數的性質的考查 根據其底數的不同取值 范圍而分別畫出函數的圖象解答 15 執行右邊的程序框圖 輸入的 T 解析 按照程序框圖依次執行為 S 5 n 2 T 2 S 10 n 4 T 2 4 6 S 15 n 6 T 6 6 12 S 20 n 8 T 12 8 20 S 25 n 10 T 20 10 30 S 輸出 T 30 答案 30 命題立意 本題主要考查了循環結構的程序框圖 一般都 可以反復的進行運算直到滿足條件結束 本題中涉及到三個 變量 注意每個變量的運行結果和執行情況 16 已知定義在 R 上的奇函數 xf 滿足 4 f xf x 且在區間 0 2 上是增函數 若 方 程f x m m 0 在 區 間 8 8 上 有 四 個 不 同 的 根 1234 x x x x 則 1234 xxxx 解析 因為定義在 R 上的奇函數 滿足 4 f xf x 所以 4 f xfx 所以 由 xf為奇函數 所以函數圖象關于直線2x 對稱且 0 0f 由 4 f xf x 知 8 f xf x 所以函數是以8為周期的周期函數 又因為 xf在區間 0 2 上是增函數 所 開始 S 0 T 0 n 0 T S S S 5 n n 2 T T n 輸出 T 結束 是 否 中國校長網 中國校長網資源頻道 以 xf在區間 2 0 上也是增函數 如圖所示 那么方程 f x m m 0 在區間 8 8 上有四個 不同 的 根 1234 x x x x 不妨 設 1234 xxxx 0 E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D 中國校長網 中國校長網資源頻道 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中點 F1 連接 A1D C1F1 CF1 因為 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CD A 1F1 A1F1CD 為平行四邊形 所以 CF1 A1D 又因為 E E1分別是棱 AD AA1的中點 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因為 1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直線 EE1 平面 FCC1 2 因為 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中點 所以 BF BC CF BCF 為正三角形 取 CF 的中點O 則OB CF 又因為直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 CC1 平面ABCD 所以CC1 BO 所以 OB 平面 CC1F 過 O 在平面 CC1F 內作 OP C1F 垂足為P 連接BP 則 OPB 為二面角 B FC1 C 的一個平面角 在 BCF 為正三角形中 3OB 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP 在 Rt OPF 中 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 所以 二面角 B FC1 C 的余弦值為 7 7 解法二 1 因為 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中點 所以 BF BC CF BCF 為正三角形 因為 ABCD 為 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中點 M 連接 DM 則 DM AB 所以 DM CD 以 DM 為 x 軸 DC 為 y 軸 DD1為 z 軸建立空間直角坐標系 則 D 0 0 0 A 3 1 0 F 3 1 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 3 2 1 2 0 E1 3 1 1 所以 1 31 1 22 EE uuur 3 1 0 CF uuu r 1 0 0 2 CC uuu u r 1 3 1 2 FC uuuu r 設平面 CC1F 的法 E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D F1 O P E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D x y z M 中國校長網 中國校長網資源頻道 向 量 為 nx y z r 則 1 0 0 n CF n CC r uuu r r uuuu r所 以 30 0 xy z 取 1 3 0 n r 則 1 31 131 00 22 n EE r uuur 所以 1 nEE ruuur 所以直線 EE1 平面 FCC1 2 0 2 0 FB uuu r 設 平 面 BFC1的 法 向 量 為 1111 nx y z ur 則 1 11 0 0 nFB nFC ur uuu r ur uuu u r所 以 1 111 0 320 y xyz 取 1 2 0 3 n ur 則 1 2 130032n n r u r 2 1 3 2n r 22 1 20 3 7n ur 所以 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n r ur r u r ruu r 由圖可知二面角 B FC 1 C 為銳角 所以二面角 B FC1 C 的余弦值為 7 7 命題立意 本題主要考查直棱柱的概念 線面位置關系的判定和二面角的計算 考查空間 想象能力和推理運算能力 以及應用向量知識解答問題的能力 19 本小題滿分 12 分 在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中 規定每人最多投 3 次 在 A 處每投進一球得 3 分 在 B 處每投進一球得 2 分 如果前兩次得分之和超過 3 分即停止投籃 否則投第三次 某同學在 A 處的命中率 q1為 0 25 在 B 處的命中率為 q2 該同學選擇先在 A 處投一球 以后都在 B 處投 用 表示該同學投籃訓練結束后所得的總分 其分布列為 02345 p0 03P1P2P3P4 1 求 q 2的值 2 求隨機變量 的數學期望E 3 試比較該同學選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分與選擇上述方式投籃得分超過 3 分的 概率的大小 解 1 設該同學在 A 處投中為事件 A 在 B 處投中為事件 B 則事件 A B 相互獨立 且 中國校長網 中國校長網資源頻道 P A 0 25 0 75P A P B q 2 2 1P Bq 根據分布列知 0 時 2 2 0 75 1 P ABBP A P B P Bq 0 03 所以 2 10 2q q 2 0 2 2 當 2 時 P1 BBAPBBAPBBABBAP BPBPAPBPBPAP 0 75 q2 2 1q 2 1 5 q 2 2 1q 0 24 當 3 時 P2 2 2 0 25 1 P ABBP A P B P Bq 0 01 當 4 時 P3 2 2 0 75P ABBP A P B P Bq 0 48 當 5 時 P4 P ABBABP ABBP AB 222 0 25 1 0 25P A P B P BP A P Bqqq 0 24 所以隨機變量 的分布列為 02345 p0 030 240 010 480 24 隨機變量 的數學期望0 0 032 0 243 0 014 0 485 0 243 63E 3 該同學選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分的概率為 P BBBBBBBB P BBBP BBBP BB 22 222 2 1 0 896q qq 該同學選擇 1 中方式投籃得分超過 3 分的概率為 0 48 0 24 0 72 由此看來該同學選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分的概率大 命題立意 本題主要考查了互斥事件的概率 相互獨立事件的概率和數學期望 以及運用概 率知識解決問題的能力 20 本小題滿分 12 分 等比數列 n a 的前 n 項和為 n S 已知對任意的nN 點 n n S 均在函數 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數 的圖像上 1 求 r 的值 11 當 b 2 時 記 2 2 log1 nn banN 中國校長網 中國校長網資源頻道 證明 對任意的nN 不等式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 解 因為對任意的nN 點 n n S 均在函數 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數的圖像 上 所以得 n n Sbr 當1n 時 11 aSbr 當2n 時 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因為 n a 為等比數列 所以 1r 公比為b 1 1 n n abb 2 當 b 2 時 11 1 2 nn n abb 1 22 2 log1 2 log 21 2 n nn ban 則 121 2 n n bn bn 所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn L 下面用數學歸納法證明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn L成立 1當1n 時 左邊 3 2 右邊 2 因為 3 2 2 所以不等式成立 2假設當nk 時不等式成立 即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk L成立 則當1nk 時 左邊 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk L 22 23 23 4 1 4 1 11 1 1 1 1 1 224 1 4 1 4 1 kkkk kkk kkkk 所以當1nk 時 不等式也成立 由 可得不等式恒成立 命題立意 本題主要考查了等比數列的定義 通項公式 以及已知 n S求 n a的基本題型 并運 用數學歸納法證明與自然數有關的命題 以及放縮法證明不等式 21 本小題滿分 12 分 兩縣城 A 和 B 相距 20km 現計劃在兩縣城外以 AB 為直徑的半圓弧上選擇一點 C 建造 垃圾處理廠 其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關 對城 A 和城 B 的總影響 度為城 A 與城 B 的影響度之和 記 C 點到城 A 的距離為 x km 建在 C 處的垃圾處理廠對 城 A 和城 B 的總影響度為y 統計調查表明 垃圾處理廠對城 A 的影響度與所選地點到城 A 中國校長網 中國校長網資源頻道 的距離的平方成反比 比例系數為 4 對城 B 的影響度與所選地點到城 B 的距離的平方成 反比 比例系數為 k 當垃圾處理廠建在的中點時 對城 A 和城 B 的總影響度為 0 065 I 將 y 表示成 x 的函數 討論 I 中函數的單調性 并判斷弧上是否存在一點 使建在此處的垃圾處理廠 對城 A 和城 B 的總影響度最小 若存在 求出該點到城 A 的距離 若不存在 說明理由 解 1 如圖 由題意知 AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中當10 2x 時 y 0 065 所以 k 9 所以 y 表示成 x 的函數為 22 49 020 400 yx xx 設 22 400mxnx 則400mn 49 y mn 所以 494914911 13 13 12 40040040016 mnnm y mnmnmn 當 且僅 當 49nm mn 即 240 160 n m 時取 下面證明函數 49 400 y mm 在 0 160 上為減函數 在 160 400 上為增函數 設 0 m1 m2 160 則 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 4499 400400mmmm 2112 1212 4 9 400 400 mmmm m mmm 21 1212 49 400 400 mm m mmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因為 0 m1 m24 240 240 9 m1m2 所 以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy 函 數 49 400 y mm 在 0 160 上為減函數 同 理 函 數 49 400 y mm 在 160 400 上 為 增 函 數 設 160 m1 m2 400 則 A B C x 中國校長網 中國校長網資源頻道 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因為 1600 m1 m2 400 所以 4 12 400 400 mm 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所 以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy