近世代數知識點第一章 基本概念1.1 集合l A的全體子集所組成的集合稱為A的冪集，記作2A.1.2 映射l 證明映射： l 單射：元不同，像不同；或者 像相同，元相同。l 滿射：像集合中每個元素都有原像。Remark： 映射滿足結合律！1.3 卡氏積與代數運算l （a,b）aA,bB 此集合稱為卡氏積，其中（a,b）為有序元素對，所以一般A*B不等于B*A.l 集合到自身的代數運算稱為此集合上的代數運算。1.4 等價關系與集合的分類 等價關系：1 自反性：aA,aa; 2 對稱性：a,bR, ab=baR; 3 傳遞性：a,b,cR,ab,bc =acR.Remark：對稱+傳遞自反 一個等價關系決定一個分類，反之，一個分類決定一個等價關系 不同的等價類互不相交，一般等價類用a表示。第二章 群2.1 半群1. 半群=代數運算+結合律，記作（S, ）Remark: i.證明代數運算：任意選取集合中的兩個元素，讓兩元素間做此運算，觀察運算后的結果是否還在定義的集合中。 ii.若半群中的元素可交換，即ab=ba,則稱為交換半群。2. 單位元i. 半群中左右單位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，則左單位元=右單位元=單位元。ii. 單位元具有唯一性，且在交換半群中：左單位元=右單位元=單位元。iii. 在有單位元的半群中，規定a0=e.3. 逆元i. 在有單位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,則a為可逆元。ii. 逆元具有唯一性，記作a-1且在交換半群中，左逆元=右逆元=可逆元。iii. 若一個元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，則a1=a2,且為a的逆元。4. 子半群i. 設S是半群，TS,若T對S的運算做成半群，則T為S的一個子半群ii. T是S的子半群a,bT,有abT2.2 群 1群=半群+單位元+逆元=代數運算+結合律+單位元+逆元 Remark：i. 若代數運算滿足交換律，則稱為交換群或Abel群. ii. 加群=代數運算為加法+交換群 iii.單位根群Um=C |m=1,數域P上全體n階可逆（滿秩）矩陣集合GL(n,P),數域P上全體n階的行列式為1的矩陣集合SL(n,p). 2. 群=代數運算+結合律+左（右）單位元+左（右）逆元 =代數運算+結合律+單位元+逆元 =代數運算+結合律+a,bG,ax=b,ya=b有解3. 群的性質i. 群滿足左右消去律 ii.設G是群，則a,bG,ax=b,ya=b在G中有唯一解 iii. e是G單位元 e2=e iv.若G是有限半群，滿足左右消去律，則G是一個群 4. 群的階 群G的階，即群G中的元素個數，用|G|表示。若為無限群，則|G|=。 Remark：i.克萊因四元群是一個Abel群 ii.四階群只有克萊因四元群和模4的剩余類群 2.3元素的階 1. 定義：設G是一個群，aG,使得am=e成立的最小正整數m稱為元素a的階，記作|a|=m;若m不存在，則a= 2. 階的性質 G是一個群，aG, |a|=m,i. an=em|n;ii. ah=akm|h-k;iii. e=a0,a1,a2,am-1兩兩不同；iv. rZ, |ar|= mr,mRemark: i. rZ, |ar|=m(m,r)=1; ii.若m=st,s,tN,則|as|=t. a=，i. an=en=0;ii. ah=akh=k;iii. a-2,a-1,a0,a1,a2兩兩不等iv. rZ0, |ar|=. Remark: 若|a|, |b|, 則|ab|？（）l 定理：有限群中的元素的階均有限。Remark：定理的逆不成立，即群中所有的元素的階都有限，但群不一定是有限群，例如n次單位根群。單位根群是一個無限交換群。 3. 循環群 定義：設G是群，若在G中存在一個元素a，使得G中的任意元素都是a的冪，則稱該群為循環群，a為該循環群的生成元。記G=(a).Remark:生成元不一定唯一，例如（Z,+）,1，-1都是生成元。l 定理：設G=（a）是一個循環群，（1） 若a=m,則G是含m個元素的有限群，且G=a0,a1,a2am-1；（2） 若a=，則G是無限群，且G=a-2,a-1,a0,a1,a2.l 定理：設G=（a）是一個循環群，（1） 若a=m,則G有(m)個生成元：ar ,(r,m)=1（2） 若a=，則G有兩個生成元：a,a-1（3） 若a=m,ar是G的生成元 |ar|=m;（4） 設p是素數，則P階循環群G=(a)有p-1個生成元：a,a2ap-1Remark：(m)表示小于m，且與m互素的非負整數的個數素數階群一定是循環群。l 定理：設G是m階群,則 G是循環群G有m階元2.4 子群 定義：設G是半群，HG,若H對G的運算構成群，則稱H是G的子群，記為HG.1. 子群的性質（