叮叮小文庫1引言“數學廣角”是人教版小學數學教材中特有的單元。是教材的一個亮點，也是一種新的嘗試。它的呈現是為了進一步集中向學生浸透數學思維方法。那么如何掌握“數學廣角”這一事物所出現的全新的教學內容、教學目標、教學方法？已經成為對每一個數學老師的應戰，事實上在實踐教學中許多教師也的確產生了不少的困惑：目標如何定位，如何創設數學活動讓學生體驗數學思想方法，教材的編排特點能給我們什么啟示。本論文通過對“數學廣角”的教學目標、教學內容進行梳理，試圖結合一些教學實踐對這一內容的編排體系與學生智力發展的關系進行分析。2“數學廣角”知識的教學目標數學課程標準在教材編寫建議中明確提出：“根據學生已有經驗、心理發展規律以及所學內容的特點，一些重要的數學概念與數學思想應采用逐步滲透、深化、螺旋上升的方式編排。”基于這樣的指導意義，人教版教材對于“數學廣角”單元的編排思緒，主要是經過一些比較簡單的事例滲透一些重要的數學思想方法，讓學生在解決問題的過程中主動嘗試從數學的角度尋求解決問題的策略，經歷猜想、實驗、推理等數學探索活動的過程，逐步增加學生解決實際問題的經驗和能力，體會一些重要的數學思想方法。數學廣角是面向全體學生滲透數學思想方法的，意圖是讓每一個學生受到數學思維訓練的同時，逐步形成探索數學問題的興趣與欲望，發現、欣賞數學美的意識。數學廣角的教學定位于通過猜想、實驗、觀察、操作、推理等數學活動，讓學生感受數學的思想方法，學會運用數學思想方法嘗試解決問題，體驗解決問題的策略、方法，發展思維能力，促進學生數學素養的提升。數學思想方法是數學知識的重要組成部分，也是數學素養的基本內容。因此，使每位學生能初步感受一些基本的數學思想方法是“數學廣角”的主要教學目標之一。數學知識和技能是學生進一步學習的基礎，同時更是學生思維發展和終身學習的重要基礎。要讓學生在獲得數學知識的同時，了解知識的來龍去脈，掌握解決問題的基本方法，形成基本的數學思想方法。使學生感受到數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，初步培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。培養學生團結協作的精神及動手操作的能力。指導學生精細地觀察事物，增長知識，培養觀察力，啟發雪上思考問題，加強思維訓練，逐步發展思維力。3“數學廣角”的內容體系數學課程標準中指出：“重要的數學概念與數學思想宜逐級遞進、螺旋上升。”教材在“數學廣角”內容的編排上注意體現了這一要求，系統而有步驟地滲透數學思想方法。嘗試把重要的數學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，采用生動有趣的事例呈現出來。第一學段，數學廣角出現了簡單的排列組合、簡單的推理、集合思想、等量代換等內容，讓學生通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，初步感受數學思想方法的奇妙與作用，受到數學思維的訓練，逐步形成有順序、全面思考問題的意識，同時培養他們探索數學問題的興趣與欲望，發現、欣賞數學美的意識，進而達到數學課程標準第一學段的要求：使學生“在解決問題的過程中，能進行簡單的、有條理的思考”。第二學段滲透了優化思想、對策論、解決由植樹引發出來的問題、數字編碼、假設法、抽屜原理等數學思想方法，一方面繼續讓學生感悟數學思想方法，感受數學的魅力，培養學生分析、推理的能力，逐步形成探索數學問題的興趣與欲望，另一方面加強了綜合運用知識解決問題和解決問題策略多樣化的教學，使學生逐步提高數學思維能力和解決問題的能力。3.1“數學廣角”案例解析3.1.1四年級上冊 ”優化問題”本單元主要是通過日常生活中的一些簡單事例，讓學生嘗試從優化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優的方案，初步體會運籌思想在實際生活中的應用以及對策論方法在解決問題中的運用。在日常生活中，解決問題的方法學生很容易找到，而且會找到解決問題的不同的策略，這里的關鍵是讓學生理解優化的思想，形成從多種方案中尋找最優方案的意識，提高學生的解決問題的能力。例1討論烙餅時怎樣操作最省時間，讓學生體會在解決問題中優化思想的應用。教材首先給出一幅生動有趣的情境圖，讓學生探索發現：3張餅的烙法，最好的方法是先烙1，2號餅的正面，接著烙1號餅的反面和3號餅的正面，最后烙2，3號餅的反面，這種方法只需9分鐘。然后還可以讓學生在實驗的基礎上獨立完成：如果要烙的是4張餅，5張餅10張餅，怎樣安排最節省時間？再通過小組討論交流發現：如果要烙的餅的張數是雙數，2張2張的烙就可以了，如果要烙的餅的張數是單數，可以先2個2個的烙，最后3張餅按上面的最優方法烙，最節省時間。例2分析家里來客人需要沏茶時，怎樣安排各種事情能讓客人盡快喝上茶；繼續討論如何用優化的思想選擇合理、快捷的解決問題的方法。教材在情境圖下給出了沏茶所要做的各種工序，以及做每件事情所需的時間。然后呈現學生們討論怎樣安排的場面。在這些內容中包含了解決這一問題的思考方法：首先要明確沏茶的大致順序，也就是說哪些事情要先做，然后再考慮還有哪些事情可以同時做，能同時做的事盡量同時做，這樣才能節省時間。教材還提示可以用流程圖的方式表示解決問題的順序或方案，教給學生設計方案的具體方法。例3安排的是在碼頭卸貨時，按照怎樣的順序卸貨能讓三艘船總的等候時間最少；讓學生從中體會運籌思想在解決問題中的作用。教材沒有給出答案，而是讓學生自己來解決。這里卸貨順序的種數是一個排列問題，一共有6種不同的方案，方案卸貨順序船1的等候時間（時）船2的等候時間（時）船3的等候時間（時）等候時間的總和（時）1船1船2船388+48+4+1332船1船3船288+1+48+1303船2船1船34+844+8+1294船2船3船14+1+844+1225船3船1船21+81+8+41236船3船2船11+4+81+4119學生可以計算出每種方案中三艘貨船的等候時間的總和各是多少，從而找出最優的卸貨順序。然后引導學生思考發現：依次從等候時間較少的船開始卸貨，就能使總的等候時間最少。例4呈現了“田忌賽馬”的故事。這個故事學生可能已經了解，但是并不是從數學的角度去理解的。在這里，通過這個故事讓學生體會對策論方法在實際中的應用。教材首先引導學生回憶這個故事，并讓學生把田忌在賽馬中使用的方法通過表格的形式列出來，齊王田忌本場勝者第一場上等馬下等馬齊王第二場中等馬上等馬田忌第三場下等馬中等馬田忌通過比較讓學生看到：雖然在同等級的馬中，田忌的馬都不如齊王的馬；如果拿同等級的馬進行比賽田忌一定會輸，但是田忌所采用的策略卻讓他贏了。從而讓學生體會到對策論的方法在這場比賽中的重要性。接下來讓學生思考：田忌所用的這種策略是不是唯一能贏齊王的方法？并讓學生把田忌所有可以采用的策略列出來，通過對照來找到答案。田忌可以采用的策略一共有6種，但只有一種也就是他所使用的方法是唯一可以獲勝的。第一場第二場第三場獲勝方齊王上等馬中等馬下等馬齊王田忌1上等馬中等馬下等馬齊王田忌2上等馬下等馬中等馬齊王田忌3中等馬上等馬下等馬齊王田忌4中等馬下等馬上等馬齊王田忌5下等馬上等馬中等馬田忌田忌6下等馬中等馬上等馬齊王（田忌1代表他的第一種策略）最后，教材讓學生說一說田忌的這種策略在生活中還有哪些應用，讓學生體會對策論方法在生活中的應用。（比如乒乓球團體比賽）教學目標1使學生通過簡單的事例，初步體會運籌思想和對策論方法在解決實際問題中的應用。2使學生認識到解決問題策略的多樣性，形成尋找解決問題最優方案的意識。3讓學生感受到數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，初步培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。4使學生逐漸養成合理安排時間的良好習慣。建議：運籌思想和對策方論的理論都是比較系統、抽象的數學思想方法，在這里只是讓學生通過簡單的事例，初步體會運籌思想和對策方法在解決實際問題中的應用，初步培養學生的應用意識，提高解決實際問題的能力。學生只要能從解決問題的多種方案中尋找出最優的方案，初步體會優化思想的應用就可以了，并不要求學生一看到問題就能從優化的角度給出最優的方案。另外老師在教學中也不要使用運籌、優化和對策等數學化的語言進行描述。3.1.2四年級下冊 “雞兔同籠問題”由于“雞兔同籠”原題的數據較大，不便于學生進行探究，所以教材以化繁為簡的思想為指導，先在例1中安排一道數據較小的“雞兔同籠”問題讓學生探索解決的方法。在分析解答部分，教材首先呈現了學生最“樸素”的想法猜測。分別猜測雞、兔各有多少只，然后驗證腳的只數是否對應，通過這種不斷地猜測、嘗試最終找到答案，例1的表格可幫助學生按順序尋找答案，雖然也可以解決問題，但當數據較大時過程頗為繁瑣。因此引導學生思考更具有邏輯性和一般性的解法，教材中主要呈現了最典型的“假設法”和列方程的解法。“假設法”是一種算術方法，但有其獨特的特點，是一個假設計算推理解答的過程。例1中就是通過假設籠子里都是雞，然后通過計算實際與假設情況下總腳數之差，進而推理出雞、兔的只數。實際上“假設法”可以有很多巧妙的思路，“閱讀資料”中介紹的“抬腿法”也是其中之一。列方程則是一種代數解法，通過假設雞或兔任何一個量為x，然后根據只數與腳數之間的數量關系列出方程并求解即可。在日常生活中，“雞兔同籠”問題有很多的變式，教材在“做一做”中安排的日本民間流傳的“龜鶴問題”以及租船、植樹等實際問題均與“雞兔同籠”本質相同。教學目標1. 了解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。2. 嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題（羅列的方法、假設的方法、列方程的方法），并使學生體會代數方法的一般性。3. 在解決問題的過程中培養學生的邏輯推理能力。建議1. 注意滲透化繁為簡的思想。教材先編排了例1，通過化繁為簡的思想，幫助學生先探索出解決該類問題的一般方法后，再解決孫子算經中數據較大的原題。教學時，教師應注意使學生體會這一點。2. 適當把握教學要求。解決“雞兔同籠”問題時，教材展示了學生逐步解決問題的過程，即猜測、列表假設或方程解。其中假設和列方程解是解決該類問題的一般方法。“假設法”有利于培養學生的邏輯推理能力，列方程解則有助于學生體會代數方法的一般性。因此在解決“雞兔同籠”問題時，學生選用哪種方法均可，不強求用某一種方法。四下數學廣角“*植樹問題”例1是探討關于一條線段的植樹問題并且兩端都要栽樹的情況，讓學生先通過畫線段圖來發現：在一條路上植樹，如果兩端都要栽的話，栽樹的棵樹都比平均分的份數也就是間隔數多1,正好與間隔點的個數相同，再用發現的規律解決實際問題。例2是在例1的基礎上繼續探討關于一條線段的植樹問題的另一種情況。教材給出動物園里綠化隊在大象館和猩猩館之間的小路兩旁栽樹的問題，根據實際情況在這條小路的兩端都不栽樹。通過探索讓學生發現：當兩端都不栽樹時，植樹的棵數比間隔數少1。例2討論的是兩端都不栽樹的情形。3.1.3五年級下冊 “植樹問題”例3是植樹問題的另一種情況關于一個封閉圖形的植樹問題。這里借助圍棋盤的最外層每邊都能放19個棋子，求圍棋盤最外層一共可以擺多少個棋子的問題，介紹如何解決類似的植樹問題。教材用直觀圖的形式展示了兩個學生解決問題的方法。一種方法是：先看上下兩個邊，每邊是19個棋子，然后再看左右兩邊，由于上下兩邊已經包括了兩個端點，所以左右兩邊每邊都少了2個棋子，只有17個，把四邊上的棋子加起來就可得到最外層總共的棋子數，即19+19+17+17=72。另一種想法是：每邊都只算一個端點，這樣每邊正好都是18個棋子，184=72得出結果。教材這里沒有給出解決關于封閉圖形植樹問題的規律，而是用這種直觀的方式來解決問題，體現了不同的學生在數學學習上有不同的發展。如果學生可以接受的話，也可以讓他們自主探索這種植樹問題中包含的規律，即栽樹的棵數正好等于間隔數。例如，圍棋盤最外層擺放的棋子數等于最外層每兩個棋子間的間隔數，最外層每邊有18個間隔，最外層總共擺放的棋子數是184=72。教學目標：1使學生通過生活中的事例，初步體會解決植樹問題的思想方法。2初步培養學生從實際問題中探索規律、找出解決問題的有效方法的能力。3讓學生感受數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。建議：本單元就是讓學生通過生活中的簡單事例，初步體會解決植樹問題的思想方法和它在解決實際問題中的應用，教學時，應從實際問題入手，引導學生在解決問題的分析、思考過程中，逐步發現隱含于不同的情形中的規律，經歷抽取出數學模型的過程，體驗數學思想方法在解決實際問題中的應用。但是，也要注意不要對例題進行過多的變式、提高問題的難度，造成教學要求過高。3.2“數學廣角”知識的編排特點在滲透排列和組合的數學思想方法時，實驗教材先在二年級上冊教材中，安排學生初步接觸一點排列與組合知識，讓學生通過觀察、猜測以及實驗的方法可以找出最簡單的事物的排列數和組合數。如用兩個數字卡片組成兩位數的排列數，三個小朋友兩兩握手的組合數等。而在三年級上冊教材中又繼續學習排列與組合的內容。但目標定位為在學生已有知識和經驗的基礎上，繼續讓學生通過觀察、猜測、實驗等活動找出事物的排列數和組合數。如兩件上裝和三件下裝有多少種不同的搭配等數學問題。與二年級上冊教材相比，三年級教材的內容則更加系統和全面，分別介紹排列以及組合。綜觀整個十二冊教材中的“數學廣角”，從簡單的分類思想到較為抽象的運籌思想、對策論以及最后一冊更為復雜的抽屜原理，無不體現了思維層次是從低到高，從具體到抽象，逐級遞進、螺旋上升，向學生逐步滲透這些數學思想方法，以符合數學認知規律。它們各個內容之間又存有一定的聯系，準確把握各冊教材的聯結點有助于解讀教材。譬如，第七冊的運籌問題、第十冊的找次品問題以及第十二冊的抽屜原理，解決問題時都要考慮“至少”的問題，都在多種解決策略中尋找最佳最優的策略，都要運用推理能力和滲透優化思想。學習“數字編碼”的時候，自然地要同“找規律”這一個知識點進行嫁接；解決“封閉方陣中的植樹問題”時需要用“重疊問題”來詮釋；植樹問題和雞兔同籠問題都很注重數學模型的構建，一般都得經歷“問題模型構建模型解釋應用模型”的學習過程。為了便于研究，本論文把全套人教版教材中“數學廣角”教學內容及滲透的數學思想方法整理出來，呈現為如下表格，以便于優化教學過程，抓住教材中的數學思想方法的滲透點，在教學中加以提升，用足、用好，以提高課堂教學效率和學生的數學素質。冊數單元內容數學思想方法二上第八單元簡單的排列：1，2能組成幾個兩位數?排列組合思想方法二下第九單元簡單的邏輯推理：猜一猜他們拿的是什么書?邏輯推理思想方法三上第九單元1.重疊問題：參加跳繩、踢毽比賽的學生名單?集合的思想方法三下第八單元1簡單的組合:有幾種不同的穿法?踢幾場球?2.簡單的排列:3個數字能擺成幾個三位數?排列組合思想四上第八單元1.運籌問題：烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問題2.對策問題：田忌賽馬。運籌思想、對策論方法、優化思想四下第九單元雞兔同籠問題假設法思想方法五上第七單元植樹問題：兩端都種、兩端都不種、封閉方陣 中種樹等。植樹問題的思想方法化歸的思想方法數學建模思想五下第八單元找次品：5件、9件物品中找次品優化思想方法六上第八單元1. 數與形：圖形和算式的關系2. 找規律數形結合思想有序思維六下第五單元1.抽屜原理：4支鉛筆放入3個文具盒、5本書放入2個抽屜2.鴿巢問題：5只鴿子飛進3個籠子抽屜原理數學建模思想梳理了整套教材，讓我們更深入地去準確把握體系中各個知識點之間的聯系點，我們也不難發現教材編排的特點是從注重形象具體思維逐步過渡到注重抽象思維，很多數學思想方法也是螺旋上升，逐步深入的。它們各個內容之間又存有一定的聯系，準確把握各冊教材的聯結點有助于解讀教材。我們不難發現“數學廣角”在每一個學段都有不同的要求。在第一學段要求以“操作實踐”為主題，考慮到這一階段學生儲備的數學知識比較零碎，已有的生活經驗不夠豐富，因此引導學生通過“操作實踐”的活動來展開探究，使他們體驗到現實生活中隱含著數學知識，同時初步培養他們觀察、操作及歸納推理的能力。第二學段要求以“抽象建模”為主題，考慮到學生經過第一階段的學習，已有了一定的數學知識和解決簡單問題的經驗。也有了一定的邏輯思維能力，因此在繼續強調實踐與經驗的基礎上，增強“抽象建模”的要求。這樣，不僅使學生理解并初步掌握一些數學思想與模型，而且提高了他們用數學知識解決實際問題的能力，逐步形成有序、嚴密抽象思考問題的意識和習慣。從對數學廣角內容的梳理中我們可以看出兩點：每一個數學廣角的內容認知目標相當明確；數學思想方法的滲透是與解決問題緊密聯系的。數學廣角立足數學思想方法的滲透，應該明確三點：數學思想是我們進行數學廣角教學的指導思想；不能只滿足于數學問題的解決，還要有數學思想的飛躍和創造；數學思想不可能像數學知識那樣一步到位，它需要有一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深的過程。4“數學廣角”教學策略4.1準確定位教學目標和要求“數學廣角”是人教版教材中的一個亮點，也是一種新的嘗試。因此它的教學目標的定位上與我們的數學常規課和數學實踐活動有所不同，它更重視通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，感受數學思想方法的奇妙與作用，學會運用數學思想方法解決問題的策略、方法。所以在教學“數學廣角”時，我們老師應該準確定位教學目標和要求，切不可走入下面兩種誤區。誤區一：一味地提高要求，不小心把“數學廣角”上成奧數培訓課，特別是有些公開課時，上課老師一味追求教學深度，卻讓不少學生“淹死”其中。誤區二：一味地追求解決問題的結果，甚至一節課下來只停留在直觀的實驗操作，而忽視了從直觀上升上抽象的過程，從而也就忽視了數學思想方法的感悟，出現了目標定位偏低。例如教學搭配問題，有的老師出示的內容（如兩件上衣和兩件下裝有幾種搭配）都是讓學生畫一畫來解答，從課的開始到課的結束，解決問題的策略都是停留在直觀狀態。這樣做，只有直觀，沒有抽象，就缺少數學思想方法的滲透。策略三：體驗感悟，經歷抽象。數學思想方法其特點是呈隱蔽形式，它比數學知識更抽象。而“數學廣角”的內容都是把這些抽象的數學思想方法以學生可以理解的直觀形式，采用生動有趣的事例呈現出來。所以“數學廣角”的教學難點在于如何讓學生從直觀的解決問題去感悟其中抽象的數學思想方法。解決這個難點的關鍵就是讓學生主動參與，因為沒有主動參與就不可能對數學知識、數學思想方法產生體驗；沒有了體驗，那數學思想方法的滲透只能是一句空話。因此在課堂上必須充分暴露思維過程，讓學生參與教學實踐活動，充分發揮他們的主體作用。在動腦、動手、動口的過程中領悟體驗數學思想方法的形成，揭示其中隱含的數學思想方法，并逐步掌握運用。4.2提升數學教師自身的數學素養有人說，要給學生一杯水，教師必須有一桶水。有人說，要給學生一杯水，教師必須有長流不息的小溪水。做一名有較高數學素養的教師，是時代的要求，也是促進每一個學生發展的迫切需求。因此要想能通過有效的教學“數學廣角” ，把這些數學思想方法