二次函數中相關的面積問題 教學目標 1 掌握利用二次函數的解析式求出相關點的坐標 從而得出相關線段的長度 求出圖形的面積 2 體會數形結合思想和轉化思想在二次函數中的應用 3 分類討論的思想與方程思想的運用 教學重點 用點的坐標表示面積 轉化為方程求解 教學難點 分類討論 教學過程 主題升華 1 2013 長沙中考 二次函數y ax2 bx c的圖象如圖所示 則下列關系式錯誤的是 A a 0B c 0C b2 4ac 0D a b c 0 解析 選D 方法技巧 二次函數比較大小的三種方法1 代入數值計算函數值比較大小 2 在對稱軸的同側根據函數的增減性比較大小 3 在對稱軸的異側根據開口方向和距對稱軸距離的遠近比較大小 3 2013 綿陽中考 二次函數y ax2 bx c的圖象如圖所示 給出下列結論 2a b 0 b a c 若 1 m n 1 則m n 3 a c 2 b 其中正確的結論是 寫出你認為正確的所有結論序號 解析 對稱軸x 1 所以b 2a 即2a b 0 故 正確 拋物線開口向下 a 0 與y軸交于負半軸 c 0 對稱軸x 0 b 0 根據圖象無法確定a與c的大小 故 不正確 因為 1 m n 1 1 而對稱軸x 1 所以 即m n 故 正確 因為x 1時 a b c 0 而2a b 0 2a b a b c 0 所以3 a 2 b c 3a 2b c 3a 2b c 0 即3 a c 2 b 故 正確 答案 例 如圖 已知拋物線y x2 bx c與直線AB相交于點A 3 0 B 0 3 兩點 與x軸的另一個交點為C 1 求拋物線及直線AB的解析式 及交點C的坐標 解 y x2 bx c過A 3 0 B 0 3 9 3b c 0 c 3 b 2 y x2 2x 3 與x軸的交點 x2 2x 3 0 x1 3 x2 1 C 1 0 設直線AB y kx b過 3 0 0 3 y x 3 A B C O x y 2 在x軸上方的拋物線上 是否存在一點G 使S ACG 2 若存在 求G點的坐標 若不存在 說明理由 解 設G m m2 2m 3 過G作GH x軸交于H點 S ACG A B C G H O x y H m 0 GH m2 2m 3AC 1 3 4 A B C G H O x y 變式 其他條件不變 將G改為在x軸下方 求G點坐標 解 設G m m2 2m 3 過G作x軸的垂線交x軸于H點 GH 0 m2 2m 3 m2 2m 3 A B C G H O x y 變式 其它條件不變 將G改為在拋物線上能否求出G點坐標 A B C G O x y 分析 G在拋物線上 但位置并未確定 所以一定分情況討論 這就是分類思想 要求點的坐標 用坐標表示面積的表達式 根據面積間的等量關系確定方程 然后求解 G 方法總結 利用二次函數解析式設出相關點坐標 從而得出相關線段長度表達式 建立方程求解 強調 分類討論1 分類討論 點處于不同的位置時表達式不同 所以分不同情況討論 2 方程思想 求點的坐標 關鍵是用坐標表示出面積關系式 然后建立方程求解 3 在拋物線上是否存在點M 使S AMB S ABC 若存在 求M點的坐標 若不存在 說明理由 M A B C O x y 當M在AB上方時 設M n n2 2n 3 過M作MN x軸交AB于N 交x軸于H點 M N A B C H O x y 解 N n n 3 H n 0 MN n2 2n 3 n 3 n2 3n 當M在AB上方時 3 n 0 此方程無解 不存在這樣M點 M N A B C H O x y S AMB S ABC 當M在AB下方時 設M a a2 2a 3 連接MB交x軸于N點 思路一 以AN為底 將 ABM分為 AMN和 ABN A B C M N O x y 與x軸交點y 0 a 2 x 3 0 4 5 思路二 過C作CM AB的平行線交拋物線于M點 利用等底等高 平行線間距離相等 解 MC AB 直線MC y x b過C 1 0 y x 1 4 5 A B C M O x y 4 點N是線段AB上一點 作NM x軸 試確定N點的位置 使ABC的面積被直線NM分為1 2的兩部分 M N A B C O x y 課堂小結 對于二次函數中面積的倍分問題 1 利用數形結合利用二次函數解析式設出相關點坐標 從而得出相關線段長度表達式 建立方程求解 2 分類討論的思想 3 正確構建數學模型 練習題 拋物線與直線交C D兩點 其中點C在y軸上 點D的坐標 3 點P是y軸右