2012-2013學年江蘇省淮安市盱眙縣馬壩中學高三（下）期初數學試卷參考答案與試題解析一、填空題1（3分）（2010鹽城二模）已知全集U=1，2，3，4，集合P=1，2，Q=2，3，則P（UQ）=1考點：交、并、補集的混合運算專題：計算題分析：根據題意，由補集的運算可得CUQ，再由交集的運算可得答案解答：解：根據題意，由補集的運算可得，CUQ= 1，4，已知集合P=1，2，由交集的運算可得，P（CUQ）=1點評：本題考查集合的交、并、補的運算，注意運算結果是集合的形式2（3分）已知等差數列）=考點：等差數列的通項公式；誘導公式的作用專題：計算題分析：由等差數列中，知，由此能求出tan（a1+a2009）的值解答：解：等差數列中，tan（a1+a2009）=點評：本題考查等差數列的通項公式，解題時要認真審題，注意三角函數誘導公式的靈活運用3（3分）已知邊長為a的等邊三角形內任意一點到三邊距離之和為定值，這個定值為，推廣到空間，棱長為a的正四面體內任意一點到各個面的距離之和也為定值，則這個定值為：a考點：類比推理專題：計算題；閱讀型分析：三角形內任意一點到三邊距離和為定值是利用三角形面積相等得到的，類彼此可利用四面體的體積相等求得棱長為a的正四面體內任意一點到各個面的距離之和解答：解：邊長為a的等邊三角形內任意一點到三邊距離之和是由該三角形的面積相等得到的，由此可以推測棱長為a的正四面體內任意一點到各個面的距離之和可由體積相等得到方法如下，如圖，在棱長為a的正四面體內任取一點P，P到四個面的距離分別為h1，h2，h3，h4四面體ABCD的四個面的面積相等，均為，高為由體積相等得：所以故答案為點評：本題考查了類比推理，考查了學生的空間想象能力，訓練了等積法求點到面的距離，是基礎題4（3分）（2012黃山模擬）函數f（x）的導函數為f（x），若對于定義域內任意x1、x2（x1x2），有恒成立，則稱f（x）為恒均變函數給出下列函數：f（x）=2x+3；f（x）=x22x+3；f（x）=；f（x）=ex；f（x）=lnx其中為恒均變函數的序號是（寫出所有滿足條件的函數的序號）考點：導數的運算；命題的真假判斷與應用專題：計算題；新定義分析：對于所給的每一個函數，分別計算和的值，檢驗二者是否相等，從而根據恒均變函數”的定義，做出判斷解答：解：對于f（x）=2x+3，=2，=2，滿足，為恒均變函數對于f（x）=x22x+3，=x1+x22=22=x1+x22，故滿足，為恒均變函數對于；，=，=，顯然不滿足，故不是恒均變函數對于f（x）=ex ，=，=，顯然不滿足，故不是恒均變函數對于f（x）=lnx，=，=，顯然不滿足 ，故不是恒均變函數故答案為 點評：本題主要考查函數的導數運算，“恒均變函數”的定義，判斷命題的真假，屬于基礎題5（3分）定義方程f（x）=f（x）的實數根x0叫做函數f（x）的“新駐點”，如果函數g（x）=x，h（x）=ln（x+1），（x）=cosx（）的“新駐點”分別為，那么，的大小關系是考點：函數的零點與方程根的關系專題：新定義分析：分別對g（x），h（x），（x）求導，令g（x）=g（x），h（x）=h（x），（x）=（x），則它們的根分別為，即=1，ln（+1）=，31=32，然后分別討論、的取值范圍即可解答：解：g（x）=1，h（x）=，（x）=sinx，由題意得：=1，ln（+1）=，cos=sin，ln（+1）=，（+1）+1=e，當1時，+12，+12，1，這與1矛盾，01；cos=sin，1故答案為：點評：函數、導數、不等式密不可分，此題就是一個典型的代表，其中對對數方程和三次方程根的范圍的討論是一個難點6（3分）設a，b為正數，且a+b=1，則的最小值是 考點：基本不等式；平均值不等式專題：整體思想分析：因為a+b=1，所以可變形為（）（a+b），展開后即可利用均值不等式求解解答：解：a，b為正數，且a+b=1，=（）（a+b）=+1+2=，當且僅當，即b=a時取等號故答案為點評：本題考查了利用均值不等式求最值，靈活運用了“1”的代換，是高考考查的重點內容7（3分）（2009遼寧）若函數f（x）=在x=1處取極值，則a=3考點：利用導數研究函數的極值專題：計算題；壓軸題分析：先求出f（x），因為x=1處取極值，所以1是f（x）=0的根，代入求出a即可解答：解：f（x）=因為f（x）在1處取極值，所以1是f（x）=0的根，將x=1代入得a=3故答案為3點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力8（3分）若A（2，3），B（1，1），點P（a，2）是AB的垂直平分線上一點，則a=考點：中點坐標公式專題：計算題分析：因為P為AB垂直平分線上一點，根據垂直平分線定理可得AP=BP，利用兩點間的距離公式列出方程求出a即可解答：解：點P（a，2）是AB的垂直平分線上一點，則AP=BP，即=兩邊平方得：4a+4+25=2a+1+1，解得a=故答案為：點評：考查學生會利用垂直平分線定理解決數學問題，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值9（3分）已知平面向量，且滿足，則的取值范圍1，3考點：向量的模；平面向量數量積的性質及其運算律專題：計算題分析：由|+|+|，|+|知|+|+|+|，由此能求出|的取值范圍解答：解：|+|+|，類似于三角形兩邊之和大于第三邊，但這里的邊可以重合，所以等號成立的；同理：|+|類似于兩邊之差小于第三邊，所以|+|+|+|的取值范圍是：1|3故答案為：1，3點評：本題考查向量的模的求法，解題時要認真審題，仔細解答10（3分）已知數列an的前n項和Sn=n2+n，那么它的通項公式為an=2n考點：等差數列的前n項和；數列遞推式專題：計算題分析：由題意知得 ，由此可知數列an的通項公式an解答：解：a1=S1=1+1=2，an=SnSn1=（n2+n）（n1）2+（n1）=2n當n=1時，2n=2=a1，an=2n故答案為：2n點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式an=SnSn1求解數列的通項公式，屬于基礎題11（3分）已知曲線y=x3+2與曲線y=4x21在x=x0處的切線互相垂直，則x0的值為考點：利用導數研究曲線上某點切線方程專題：導數的綜合應用分析：分別對函數y=x3+2、y=4x21求導得出在x=x0處的切線的斜率，由兩切線的斜率積等于1得x0的方程，解方程得答案解答：由y=x3+2得y=x2，在x=x0處的切線的斜率，由y=4x21得y=8x，在x=x0處的切線的斜率k2=8x0又切線互相垂直，所以k1k2=1，即，解得，故答案為：點評：本題主要考查了利用導數求切線方程的方法及兩條直線垂直與兩斜率間的關系12（3分）（2006天津）設向量與的夾角為，且，則cos=考點：平面向量數量積坐標表示的應用分析：先求出，然后用數量積求解即可解答：解：設向量與的夾角為，且，則cos=故答案為：點評：本題考查平面向量的數量積，是基礎題13（3分）（2012陜西）觀察下列不等式：，照此規律，第五個不等式為1+考點：歸納推理專題：探究型分析：由題設中所給的三個不等式歸納出它們的共性：左邊式子是連續正整數平方的倒數和，最后一個數的分母是不等式序號n+1的平方，右邊分式中的分子與不等式序號n的關系是2n+1，分母是不等式的序號n+1，得出第n個不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五個不等式解答：解：由已知中的不等式1+，1+，得出左邊式子是連續正整數平方的倒數和，最后一個數的分母是不等式序號n+1的平方右邊分式中的分子與不等式序號n的關系是2n+1，分母是不等式的序號n+1，故可以歸納出第n個不等式是 1+=，（n2），所以第五個不等式為1+故答案為：1+點評：本題考查歸納推理，解題的關鍵是根據所給的三個不等式得出它們的共性，由此得出通式，本題考查了歸納推理考察的典型題，具有一般性14（3分）在平面直角坐標系中，定義d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|為兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“折線距離”在這個定義下，給出下列命題：到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個正方形；到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個圓；到M（1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”之和為4的點的集合是面積為6的六邊形；到M（1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合是兩條平行線其中正確的命題是（寫出所有正確命題的序號）考點：元素與集合關系的判斷專題：壓軸題；閱讀型分析：先根據折線距離的定義分別表示出所求的集合，然后根據集合中絕對值的性質進行判定即可解答：解：到原點的“折線距離”等于1的點的集合（x，y）|x|+|y|=1，是一個正方形故正確，錯誤；到M（1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”之和為4的點的集合是（x，y）|x+1|+|y|+|x1|+|y|=4，故集合是面積為6的六邊形，則正確；到M（1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合（x，y）|x+1|+|y|x1|y|=1=（x，y）|x+1|x1|=1，集合是兩條平行線，故正確；故答案為：點評：本題主要考查了“折線距離”的定義，以及分析問題解決問題的能力，屬于中檔題二、解答題15已知函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）的圖象經過原點，f（1）=0若f（x）在x=1取得極大值2（1）求函數y=f（x）的解析式；（2）若對任意的x2，4，都有f（x）f（x）+6x+m，求m的最大值考點：利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區間上函數的最值專題：導數的綜合應用分析：（1）本題是據題意求參數的題，題目中x=1時有極大值2，且f（1）=0，函數圖象過原點，可轉化出4個等式，利用其建立方程求解即可得函數y=f（x）的解析式（2）對任意的x2，4，都有f（x）f（x）+6x+m，可知當x2，4時恒有f（x）f（x）+6x+m，將問題轉化為mf（x）f（x）6x恒成立，再利用常數分離法進行求解解答：解：（1）f（x）=3ax2+2bx+c（a0），x=1時有極大值2，f（1）=3a2b+c=0 又f（0）=d=0 f（1）=3a+2b+c=0 f（1）=a+bc=2 聯立得 a=1，b=0，c=3，d=0故函數f（x）=x33x2（2）f（x）f（x）+6x+m，mf（x）f（x）6x，令g（x）=f（x）f（x）6x=x33x29x+3，g（x）=3x26x9，令g（x）=0，得x=1或x=3，g（x）在2，1內單調遞增，在1，3內單調遞減，在3，4內單調遞增，g（x）min=g（3）=24；m24，即mmax=24點評：本小題考點是導數的運用，考查導數與極值的關系，本題的特點是用導數一極值的關建立方程求參數求函數的表達式16拋物線x2=4y的焦點為F，過點（0，1）作直線L交拋物線A、B兩點，再以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB，試求動點R的軌跡方程，并說明曲線的類型考點：圓錐曲線的軌跡問題專題：計算題分析：設直線：AB：y=kx1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），求出F的坐標，利用AB和RF是平行四邊形的對角線，對角線的中點坐標重合，直線與拋物線有兩個交點，推出k的范圍，整理出R的軌跡方程即可解答：解：設直線：AB：y=kx1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），由題意F（0，1）由 y=kx1，x2=4y，可得x2=4kx4x1+x2=4kAB和RF是平行四邊形的對角線，x1+x2=x，y1+y2=y+1y1+y2=k（x1+x2）2=4k22，x=4k y=4k23，消去k，可得得x2=4（y+3）又直線和拋物線交于不同兩點，=16k2160，|k|1|x|4所以x2=4（y+3），（|x|4）點評：本題是中檔題，考查曲線軌跡方程的求法，注意挖掘題目的條件，推出直線的斜率的范圍（這是容易疏忽的地方），平行四邊形的對角線的交點的特征，是解題的關鍵17（2012蕪湖二模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，2），點C滿足，其中m，nR且m2n=1（1）求點C的軌跡方程；（2）設點C的軌跡與雙曲線（a0，b0且ab）交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值；（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實軸長的取值范圍考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程；雙曲線的簡單性質專題：計算題分析：（1）由向量等式，得點C的坐標，消去參數即得點C的軌跡方程；（2）將直線與雙曲線方程組成方程組，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再結合向量的垂直關系得到關于a，b的關系，化簡即得結論（3）由（2）得從而又e得出解得雙曲線實軸長2a的取值范圍即可解答：解：（1）設C（x，y），（x，y）=m（1，0）+n（0，2）m2n=1，x+y=1即點C的軌跡方程為x+y=1（15分）（2）由得（b2a2）x2+2a2x2a2a2b2=0由題意得（8分）設M（x1，y1），N（x2，y2），則 以MN為直徑的圓過原點，即x1x2+y1y2=0x1x2+（1x1）（1x2）=1（x1+x2）+2x1x2=即b2a22a2b2=0為定值（14分）（3）e解得：0a，02a1雙曲線實軸長的取值范圍是（0，1點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力18設0ab1+a，解關于x的不等式（xb）2（ax）2考點：一元二次不等式的解法專題：不等式的解法及應用分析：不等式移項變形后，利用平方差公式分解因式，根據0ab1+a分三種情況考慮：當0a1時；當a=1時；當a1時，分別求出解集即可解答：解：原不等式可化為（1+a）xb（1a）xb0，0ab1+a，當0a1時，不等式化為（x）（x）0，不等式的解集為x|x或x；當a=1時，不等式化為（x）（b）0，不等式的解集為x|x；當a1時，不等式化為（x）（x）0，不等式的解集為x|x點評：此題考查了一元二次不等式的解法，利用了分類討論的思想，是一道基本題型19如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點，點F在BC上且滿足BF：FC=1：3（1）若M為AB中點，求證：BB1平面EFM；（2）求證：EFBC；（3）求二面角A1B1DC1的大小考點：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定專題：證明題分析：（1）先連接EM、MF，根據中位線定理得到BB1ME，再由 線面平行的判定定理得到BB1平面EFM，即可（2）取BC的中點N，連接AN，再由正三棱柱的性質得到ANBC，再由F是BN的中點可得到MFAN，從而得到MFBC、MEBC，再根據線面垂直的判定定理得到BC平面EFM，進而可證明BCEF解答：（1）證明：連接EM、MF，M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點，BB1ME，又BB1平面EFM，BB1平面EFM（2）證明：取BC的中點N，連接AN由正三棱柱得：ANBC，又BF：FC=1：3，F是BN的中點，故MFAN，MFBC，而BCBB1，BB1MEMEBC，由于MFME=M，BC平面EFM，又EF平面EFM，BCEF（3）解 取B1C1的中點O，連結A1O知，A1O面BCC1B1，由點O作B1D的垂線OQ，垂