北京市西城區20192020學年度第一學期期末試卷 高三數學參考答案 2020.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1B 2D 3D 4C 5A 6A 7B 8D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 910 1112 13答案不唯一，如14；注：第14題第一問2分，第二問3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分. 15（本小題滿分13分）解：（）因為 2分 5分 ， 7分 所以函數的最小正周期為. 8分（）因為，所以 9分 所以當，即時，取得最小值. 11分 當，即時，取得最大值 13分16（本小題滿分13分）解：（）設事件：“在樣本中任取1個，這個出行人恰好不是青年人”為， 1分 由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為， 2分 所以在樣本中任取1個，這個出行人恰好不是青年人的概率.3分（）由題意，的所有可能取值為：0，1，2. 4分因為在2018年從A市到B市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機選取1人次，此人為老年人概率是， 5分 所以， 6分 ， 7分 . 8分 所以隨機變量的分布列為： 9分 故. 10分 （）答案不唯一，言之有理即可. 如可以從滿意度的均值來分析問題，參考答案如下： 由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：， 乘坐飛機的人滿意度均值為：， 12分 因為， 所以建議甲乘坐高鐵從A市到B市. 13分B1C DBAA1C1E17（本小題滿分14分）解：（）由題意，三棱柱為正三棱柱. 連接. 設，則是的中點. 連接. 由，分別為和的中點， 得. 2分又因為平面，平面， 所以平面. 4分 （）取的中點，連接.B1C DBAA1C1zyxF 因為為正三角形，且為中點， 所以. 由，分別為和的中點，得， 又因為平面， 所以平面， 所以，. 分別以，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系， 5分 則， 所以， 6分 設平面的法向量， 由，得 令，得. 8分 設平面的法向量， 由，得 令，得. 9分 設二面角的平面角為，則 ， 由圖可得二面角為銳二面角， 所以二面角的余弦值為. 10分 （）結論：直線與平面相交. 11分 證明：因為，且， 所以. 12分 又因為平面的法向量，且， 所以與不垂直， 所以平面，且與平面不平行， 故直線與平面相交. 14分18（本小題滿分13分）解：（）由題意，得，直線（）， 2分 設， 聯立消去，得， 3分 顯然， 4分 則點的橫坐標， 5分 因為， 所以點在軸的右側. 6分 （）由（）得點的縱坐標. 7分 即. 所以線段的垂直平分線方程為：. 8分 令，得；令，得. 9分 所以的面積， 10分 的面積. 11分 因為與的面積相等， 所以，解得. 所以當與的面積相等時，直線的斜率. 13分19（本小題滿分14分）解：（）由，得, 2分 所以，. 所以曲線在點處的切線方程為. 4分（）由，得， 則. 5分 當時，由，得， 所以函數在上單調遞增； 7分 當時，由，得， 所以函數在上單調遞減. 綜上，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為. 8分 （）由，得在上恒成立. 設， 9分 則. 由，得，（）. 10分 隨著變化，與的變化情況如下表所示：0極小值 所以在上單調遞減，在上單調遞增. 所以函數的最小值為. 由題意，得，即 . 12分 設，則. 因為當時，； 當時， 所以在上單調遞增，在上單調遞減. 所以當時，. 所以當，即，時，有最大值為. 14分20（本小題滿分13分）解：（）答案不唯一. 如； 3分 （）假設存在一個使得, 4分 令，其中且， 由題意，得， 6分 由為正整數，得，這與為集合中的最大元素矛盾， 所以任意，. 8分（）設集合中有個元素， 由題意，得， 由（），得. 假設，則. 因為， 由題設條件，得， 因為， 所以由（）可得， 這與為中不超過的最大元素矛盾， 所以， 又因為， 所以. 10分 任給集合的元子集，令， 以