第12講平面直角坐標系與函數 內容索引 基礎診斷梳理自測 理解記憶 考點突破分類講練 以例求法 易錯防范辨析錯因 提升考能 基礎診斷 返回 知識梳理 1 1 平面直角坐標系 1 在平面內具有公共原點而且互相垂直的兩條數軸 就構成了平面直角坐標系 簡稱坐標系 建立了直角坐標系的平面叫坐標平面 x軸與y軸把坐標平面分成四個部分 稱為四個象限 按逆時針順序依次叫第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2 各象限內和坐標軸上的點和坐標特征 第一象限 正正 第二象限 負正 第三象限 負負 第四象限 正負 x軸正方向 0 x軸負方向 0 y軸正方向 0 y軸負方向 0 x軸上的點的縱坐標為0 y軸上的點的橫坐標為0 原點坐標為 0 0 3 象限角平分線上的點的坐標特征 第一 三象限角的平分線上的點的橫坐標與縱坐標相等 第二 四象限角的平分線上的點的橫坐標與縱坐標互為相反數 平行于x軸的直線上的點的縱坐標相同 橫坐標不同 記為直線y b 平行于y軸的直線上的點的橫坐標相同 縱坐標不同 記為直線x a 建立了坐標系的平面 有序實數對與坐標平面內的點一一對應 2 對稱點坐標的規律 1 坐標平面內 點P x y 關于x軸 橫軸 的對稱點P1的坐標為 2 坐標平面內 點P x y 關于y軸 縱軸 的對稱點P2的坐標為 3 坐標平面內 點P x y 關于原點的對稱點P3的坐標為 可用口訣記憶 關于誰軸對稱誰不變 關于原點對稱都要變 4 平移前后 點的坐標的變化規律 點 x y 左移a個單位長度 點 x y 右移a個單位長度 點 x y 上移a個單位長度 點 x y 下移a個單位長度 可用口訣記憶 正向右 負向左 正向上 負向下 x y x y x y x a y x a y x y a x y a 3 函數 1 常量 變量 在某一過程中 保持一定數值不變的量叫做常量 可以取不同數值的量叫做變量 2 函數 函數值 一般地 設在一個變化過程中有兩個變量x與y 如果對于x的每一個確定的值 y都有唯一確定的值與它對應 那么就說x是 y是x的 對于自變量在取值范圍內的一個不確定的值 如當x a時 函數有唯一確定的對應值 這個對應值叫做當x a時的函數值 簡稱函數值 自變量 函數 3 函數自變量的取值范圍 函數中自變量的取值往往受到某種限制 自變量能取的數的全體稱作自變量的取值范圍 由解析式給出的函數 自變量取值范圍應使解析式有意義 函數解析式如果是一個整式 則自變量可以取 如果函數解析式中的分母含有自變量 則自變量的取值范圍是 如果函數解析式中含有二次根式 則自變量的取值范圍是 全體實數 使分 母的值不等于零的所有實數 使被開 方式的值為非負數的所有實數 4 函數的圖象一般地 對于一個函數 如果把自變量x與函數y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標 在坐標平面內描出這些點 用光滑曲線連接這些點所組成的圖形 就是這個函數的圖象 5 函數的表示方法函數通常有三種表示方法 解析法 列表法 圖象法 1 解析法 用等式來表示一個變量與另一個變量之間的函數關系的方法 這個等式成為函數的解析式 解析法簡單明了 能使我們從解析式了解整個變化過程中函數與自變量之間的全部相依關系 適合于作理論分析和計算 推導 許多定律 法則都用解析式 即公式 來表示 但在求對應值時 需要逐個計算 有時是很麻煩的 且有不少函數很難或者無法用解析式表示出來 2 列表法 用表格形式來表示一個變量與另一個變量之間函數關系的方法 列表法對于表中已有的自變量每一個值 可以直接找到對應的函數值 它適用于計算函數值很麻煩或很難找到函數關系式的情況 缺點是不能把自變量與函數的全部對應值都列出來 而且從表格中也不易看出自變量與函數之間的對應規律 3 圖象法 用圖象來表示一個變量與另一個變量之間函數關系的方法 函數的變化情況和某些性質在圖象上能夠很直觀地顯示出來 我們通常借助函數的圖象來探索函數的性質 其缺點在于從圖象上找自變量與函數的對應值一般只是近似的 且只能反映出變量間關系的一部分而不是全體 函數的三種表示法各有優缺點 我們常常各取其長 綜合運用這三種方法來研究有關函數問題 1 2016 大連 在平面直角坐標系中 點 1 5 所在的象限是 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 診斷自測 2 1 2 3 4 5 A 2 2016 貴港 在平面直角坐標系中 將點A 1 2 向上平移3個單位長度 再向左平移2個單位長度 得到點A 則點A 的坐標是 A 1 1 B 1 2 C 1 2 D 1 2 A 解析 將點A 1 2 向上平移3個單位長度 再向左平移2個單位長度 得到點A 點A 的橫坐標為1 2 1 縱坐標為 2 3 1 點A 的坐標為 1 1 1 2 3 4 5 3 2016 臨夏 已知點P 0 m 在y軸的負半軸上 則點M m m 1 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解析 點P 0 m 在y軸的負半軸上 m 0 m 0 m 1 1 點M m m 1 在第一象限 A 1 2 3 4 5 4 2015 廣安 某油箱容量為60L的汽車 加滿汽油后行駛了100km時 油箱中的汽油大約消耗了 如果加滿汽油后汽車行駛的路程為xkm 油箱中剩油量為yL 則y與x之間的函數解析式和自變量取值范圍分別是 A y 0 12x x 0B y 60 0 12x x 0C y 0 12x 0 x 500D y 60 0 12x 0 x 500 1 2 3 4 5 D 1 2 3 4 5 5 2016 巴川一模 甲 乙兩人進行慢跑練習 慢跑路程y 米 與所用時間t 分鐘 之間的關系如圖所示 下列說法錯誤的是 A A 甲乙兩人8分鐘各跑了800米B 前2分鐘 乙的平均速度比甲快C 5分鐘時兩人都跑了500米D 甲跑完800米的平均速度為100米 分 1 2 3 4 5 解析A 由圖可得 甲8分鐘跑了800米 乙8分鐘跑了700米 故選項錯誤 B 前2分鐘 乙跑了300米 甲跑的路程小于300米 從而可知前2分鐘 乙的平均速度比甲快 故選項正確 C 由圖可知 5分鐘時兩人都跑了500米 故選項正確 D 由圖可知 甲8分鐘跑了800米 可得甲跑完800米的平均速度為100米 分 故選項正確 返回 1 2 3 4 5 考點突破 返回 例1 2016 濱州 如圖 正五邊形ABCDE放入某平面直角坐標系后 若頂點A B C D的坐標分別是 0 a 3 2 b m c m 則點E的坐標是 A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 考點一 平面直角坐標系與點的位置 答案 分析 C 規律方法 分析 點A坐標為 0 a 點A在該平面直角坐標系的y軸上 點C D的坐標分別為 b m c m 點C D關于y軸對稱 正五邊形ABCDE是軸對稱圖形 該平面直角坐標系經過點A的y軸是正五邊形ABCDE的一條對稱軸 點B E也關于y軸對稱 點B的坐標為 3 2 點E的坐標為 3 2 規律方法 本題考查了平面直角坐標系的點的坐標特征及正五邊形的軸對稱性質 解題的關鍵是通過頂點坐標確認正五邊形的一條對稱軸即為平面直角坐標系的y軸 規律方法 練習1 答案 2016 臺灣 如圖為A B C三點在坐標平面上的位置圖 若A B C的x坐標的數字總和為a y坐標的數字總和為b 則a b之值為何 分析由圖形可知 a 1 0 5 4 b 4 1 4 1 則a b 4 1 5 A 分析 A 5B 3C 3D 5 點的平移與對稱 考點二 答案 規律方法 例2 2016 青島 如圖 線段AB經過平移得到線段A1B1 其中點A B的對應點分別為點A1 B1 這四個點都在格點上 若線段AB上有一個點P a b 則點P在A1B1上的對應點P1的坐標為 A a 2 b 3 B a 2 b 3 C a 2 b 3 D a 2 b 3 分析由題圖可得 線段AB向左平移2個單位 向上平移3個單位 則P1為 a 2 b 3 A 分析 本題主要考查了坐標與圖形的變化 平移 關鍵是掌握橫坐標 右移加 左移減 縱坐標 上移加 下移減 規律方法 2016 成都 平面直角坐標系中 點P 2 3 關于x軸對稱的點的坐標為 A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 練習2 答案 分析 分析利用關于x軸對稱點的性質 橫坐標不變 縱坐標互為相反數 故點P 2 3 關于x軸對稱的點的坐標為 2 3 A 考點三確定函數值及自變量的取值范圍 例3 2016 深圳 給出一種運算 對于函數y xn 規定y nxn 1 例如 若函數y x4 則有y 4x3 已知函數y x3 則方程y 12的解是 A x1 4 x2 4B x1 2 x2 2C x1 x2 0D x1 2 x2 2 分析由函數y x3得 n 3 則y 3x2 y 12 3x2 解得x 2 即x1 2 x2 2 B 答案 分析 規律方法 根據函數的概念 從自變量到函數有一個對應關系 即對應法則 對于確定的函數 當自變量的值給定時 把這個值代入函數關系式 算出相應的函數值 這是求函數值的一般方法 反之 當函數值給定時 把這個值代入函數關系式 算出相應的自變量的值 這是求自變量的一般方法 規律方法 練習3 D 答案 分析 考點四函數解析式與函數圖象 例4 2016 安徽 一段筆直的公路AC長20千米 途中有一處休息點B AB長15千米 甲 乙兩名長跑愛好者同時從點A出發 甲以15千米 時的速度勻速跑至點B 原地休息半小時后 再以10千米 時的速度勻速跑至終點C 乙以12千米 時的速度勻速跑至終點C 下列選項中 能正確反映甲 乙兩人出發后2小時內運動路程y 千米 與時間x 小時 函數關系的圖象是 B C D A 規律方法 答案 分析 規律方法 本題考查函數圖象 路程 速度 時間之間的關系 解題的關鍵是理解題意求出兩人到達C地的時間 屬于中考常考題型 規律方法 2016 荊門 如圖 正方形ABCD的邊長為2cm 動點P從點A出發 在正方形的邊上沿A B C的方向運動到點C停止 設點P的運動路程為x cm 在下列圖象中 能表示 ADP的面積y cm2 關于x cm 的函數關系的圖象是 練習4 B C D A 答案 分析 返回 易錯防范 返回 易錯警示系列12 錯誤確定平移變換后點的坐標 試題如圖 一個粒子在第一象限內移動 在第一分鐘內它從原點移動到 1 0 而后接著按圖所示 在x軸 y軸平行方向移動 每分鐘移動1個單位 那么在1989分鐘后 這個粒子所處位置為 A 35 44 B 36 45 C 45 36 D 44 35 錯誤答案展示C 正確答案 分析與反思 剖析 正確答案 分析與反思 剖析 剖析粒子的移動 也可以看作是粒子的平移 像這個數據較大的情形 需要通過觀察某些特殊點的坐標與運動時間來探究其蘊藏的規律 首先我們來看看當粒子移動到坐標軸上時的情形 坐標 1 0 2 0 3 0 對應時間為1分 8分 9分 坐標 4 0 5 0 6 0 對應時間為24分 25分 48分 坐標 0 1 0 2 0 3 對應時間為3分 4分 15分 坐標 0 4 0 5 0 6 對應時間為16分