11.3多邊形及其內角和1多邊形及其有關概念(1)多邊形定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形多邊形按組成它的線段的條數分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形、由n條線段組成的多邊形就叫做n邊形如圖，是一個五邊形，可表示為五邊形abcde.三角形是最簡單，邊數最少的多邊形.(2)多邊形的邊：組成多邊形的線段叫做多邊形的邊(3)多邊形的內角、外角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角，也稱為多邊形的角；多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角如圖，b，c，d，是五邊形的內角，1是五邊形的外角談重點 多邊形外角的理解多邊形每一個頂點處有兩個外角，并且同頂點的外角與內角互為鄰補角(4)多邊形的對角線：定義：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線如圖，ac，ad就是五邊形abcde中的兩條對角線拓展理解：一個n邊形從一個頂點可以引(n3)條對角線，把n邊形分成(n2)個三角形一個n邊形一共有條對角線析規律 多邊形的對角線條數與頂點數的關系從多邊形一個頂點引出的對角線能將多邊形分割成不同的三角形，這就把多邊形問題轉化為三角形問題來研究；所有的四邊形都有2條對角線，五邊形有5條對角線，也就是說一個邊數一定的多邊形的對角線的條數是一定的(5)凸多邊形和凹多邊形：在圖(1)中，畫出四邊形abcd的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；在圖(2)中，畫出dc(或bc)所在直線，整個四邊形不都在這條直線的同一側，我們稱這個四邊形為凹四邊形，像這樣的多邊形稱為凹多邊形談重點 凸多邊形的認識沒有特殊說明，今后學習中所指的多邊形都是凸多邊形【例1】 填空：(1)十邊形有_個頂點，_個內角，_個外角，從一個頂點出發可畫_條對角線，它共有_條對角線(2)從多邊形一個頂點出發畫對角線將它分成了四個三角形，這個多邊形是_邊形解析：(1)一個n邊形有n個頂點，n個角，2n個外角，從一個頂點能畫出(n3)條對角線，共有條對角線；(2)一個n邊形從一個頂點可以引(n3)條對角線，把n邊形分成(n2)個三角形，所以n24，n6，這個多邊形是六邊形答案：(1)101020735(2)六2正多邊形(1)定義：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形如等邊三角形、正方形等(2)特點：不僅邊都相等，角也都相等，兩個條件必須同時具備才是正多邊形如長方形四個角都是直角，都相等，但邊不等，所以不是正多邊形析規律 正多邊形外角的特征因為邊數相同的正多邊形各個內角都相等，同頂點的內角與外角互為鄰補角，所以邊數相同的正多邊形的各個外角也相等【例2】 下列說法正確的個數有()(1)由四條線段首尾順次相接組成的圖形是四邊形；(2)各邊都相等的多邊形是正多邊形；(3)各角都相等的多邊形一定是正多邊形；(4)正多邊形的各個外角都相等a1 b2c3 d4解析：(1)不正確，一是要在同一平面內，二是不能在同一條直線上；(2)不正確，各邊都相等，各角也都相等的多邊形才是正多邊形，這兩個條件必須同時具備，如菱形雖然四邊都相等，但它不是正多邊形；(3)不正確，如長方形四個角都是直角，都相等，但邊不一定相等，所以不是正多邊形；(4)正確，因為邊數相同的正多邊形各個內角都相等，同頂點的內角與外角互為鄰補角，所以邊數相同的正多邊形的各個外角也相等故選a.答案：a3多邊形的內角和(1)公式：n邊形內角和等于(n2)180.(2)探究過程：如圖，以五邊形、六邊形為例從五邊形的一個頂點出發，可以畫2條對角線，它們將五邊形分成3個三角形，五邊形的內角和等于1803540；從六邊形的一個頂點出發，可以畫3條對角線，它們將六邊形分成4個三角形，六邊形的內角和等于1804720；從n邊形的一個頂點出發，可以畫(n3)條對角線，它們將n邊形分成(n2)個三角形，n邊形的內角和等于180(n2)所以多邊形內角和等于(n2)180.析規律 多邊形內角和公式的推導推導多邊形內角和公式的方法很多，但都是將多邊形內角和轉化為三角形內角和進行推導的，這也是研究問題的一種思路方法，將多邊形問題轉化為三角形問題解決(3)應用：運用多邊形內角和公式可以求出任何邊數的多邊形的內角和；由多邊形內角和公式可知，邊數相同的多邊形內角和也相等，因此已知多邊形內角和也能求出邊數【例3】 選擇：(1)十邊形的內角和為()a1 260 b1 440c1 620 d1 800(2)一個多邊形的內角和為720，那么這個多邊形的對角線共有()a6條 b7條c8條 d9條解析：(1)運用多邊形內角和公式計算：180(102)1 440，故選b；(2)一個多邊形的內角和為720，即180(n2)720，解得n6，所以該多邊形是六邊形，六邊形有9條對角線，故選d.答案：(1)b(2)d4多邊形的外角和(1)公式：多邊形的外角和等于360.(2)探究過程：如圖，以六邊形為例外角和：在每個頂點處各取一個外角，即1，2，3，4，5，6，它們的和為外角和因為同頂點處的一個內角和外角互為鄰補角，所以六邊形內、外角和等于18061 080，所以1234561 080180(62)360.n邊形外角和n180(n2)180360.(3)拓展理解：多邊形的外角和是一個恒值，即任何多邊形的外角和都是360，與邊數無關多邊形的外角和與多邊形所有外角的和不是一回事，多邊形的外角和是每個頂點處取一個外角的和解技巧 多邊形的內角與相鄰外角的關系的運用同頂點的每一個內角和外角互為鄰補角是解決含內、外角問題的關鍵，是內、外角轉換的紐帶【例4】 填空：(1)一個多邊形每個外角都是60，這個多邊形是_邊形，它的內角和是_度，外角和是_度；(2)多邊形邊數每增加一條，它的內角和會增加_，外角和增加_解析：(1)因為每個外角都是60，所以360606，所以是六邊形根據內角和公式計算出內角和是720，外角和是恒值為360(也可以由每個外角都是60，得每個內角都是120，進而得到內角和是720)；(2)多邊形邊數每增加一條，它的內角和會增加180，但外角和不變答案：(1)六720360(2)18005多邊形內角和公式的應用多邊形內角和只與邊數有關，因此當一個多邊形的邊數確定時，多邊形的內角和就是一定的，所以多邊形內角和公式就有兩個作用：(1)已知多邊形邊數(頂點數、內角個數)就可以求出多邊形內角和度數，方法是直接將邊數n代入公式(n2)180求出(2)已知多邊形內角和求多邊形邊數，只要根據多邊形內角和公式列出以n為未知數的方程，解方程，求出n即可得到邊數破疑點 多邊形內角和的理解用內角和除以180得到的是n2的值，不是邊數，邊數是n，這點要注意熟記多邊形內角和公式是這部分內容應用的關鍵【例51】 若一個四邊形的四個內角度數的比為3456，則這個四邊形的四個內角的度數分別為_解析：設每一份為x，那么四個角分別為3x，4x，5x，6x.根據四邊形內角和是360，列出方程3x4x5x6x360，解得x20，然后求出各角；也可以用3601820，每一份是20，然后求解答案：60，80，100，120【例52】 一個多邊形的內角和等于1 440，則它的邊數為_解析：根據多邊形內角和公式列出以n為未知數的方程(n2)1801 440，解方程得n10.所以這個多邊形為十邊形答案：10【例53】 一個多邊形的內角和不可能是()a1 800 b540 c720 d810解析：因為邊數只能是整數，所以多邊形的內角和必須是180的整數倍，故選d.答案：d6.多邊形外角、外角和公式的應用多邊形外角和是360，它是一個恒值，不論多邊形是幾邊形，它的外角和都是360，與邊數無關，所以對于普通多邊形，根據多邊形外角和無法判斷多邊形的邊數，因此多邊形外角很少單獨考查，它一般應用于正多邊形中或各角都相等時的情況，因為正多邊形的每一個內角都相等，所以正多邊形的每一個外角也都相等，因此只要知道正多邊形中任一個外角的度數就能求出邊數，或知道外角的個數也能求出每一個外角的度數，進而能求出內角度數和內角和的度數同頂點的外角和內角互為鄰補角，所以多邊形外角和內角又是相互聯系的，知道內角能求外角，知道外角也能求內角，它們之間能相互轉換破疑點 多邊形外角和與外角的關系多邊形的外角和與多邊形所有外角的和不是一回事，多邊形的外角和是每個頂點處各取一個外角的和，是360，而多邊形所有外角的和是360的2倍，是720，這點要注意【例61】 如圖所示，已知abe138，bcf98，cdg69，則dab_.解析：方法一：根據同頂點的外角和內角互為鄰補角，求出已知角的鄰補角根據四邊形內角和為360，求出a；方法二：根據四邊形外角和為360，求出與a同頂點的鄰補角(a點處的外角)，再求出a.答案：125【例62】 如圖，在四邊形abcd中，1，2分別是bcd和bad的鄰補角，且badc140，則12等于()a140 b40c260 d不能確定解析：方法一：因為四邊形內角和是360，且badc140，所以dabdcb220，12dabdcb1802，所以12360220140；方法二：可求出與b，adc同頂點的兩外角和為220，根據四邊形外角和是360，得出12360220140；方法三：連接bd，根據三角形一個外角等于和它不相鄰的兩內角和，求出12的度數答案：a7.正多邊形知識的應用正多邊形是特殊的多邊形，它特殊在每一個內角、外角、每一條邊都相等，所以在正多邊形中，只要知道一個角的度數，就能知道所有角的度數，包括每一個外角的度數知道一邊的長度，就能知道每一邊的長度因此它的應用主要包括兩個方面：(1)已知內角(或外角)能求邊數、內角和；已知邊數能求每一個外角(或內角)的度數及內角和，即在內角和、邊數、內角度數、外角度數四個量中知道一個量就能求出其他三個量(2)因為正多邊形每一條邊都相等，所以知道周長能求邊長，知道邊長能求周長(因較簡單所以考查較少)解技巧 利用方程思想求多邊形的邊數正多邊形中已知一個內角的度數求邊數時，一是將內角根據“同頂點的內、外角互補”轉化為外角，再根據外角和是360，由360除以一個外角的度數得到邊數；二是根據內角和公式和每個角度數都相等列方程解出邊數n.【例71】 若八邊形的每個內角都相等，則其每個內角的度數是_解析：由多邊形內角和定理知，八邊形的內角和是1 080，每個內角都相等，所以1 0808135.答案：135【例72】 一個多邊形的每一個外角都等于30，這個多邊形的邊數是_，它的內角和是_解析：多邊形的外角和是360，每個外角都是30，所以3603012，所以該多邊形是十二邊形，內角和是1 800，本題也可根據共頂點的內、外角互補，求出內角和答案：121 800【例73】 一個多邊形的每一個內角都等于144，求這個多邊形的邊數分析：方法一：可設這個多邊形的邊數為n，那么內角和就是(n2)180，因為每一個內角都是144，所以內角和為144n，根據“表示同一個量的兩個式子相等”列方程解出；方法二：因為每一個內角都等于144，所以每一個外角都是36.根據多邊形外角和為360，用3603610，也可以得出這個多邊形為十邊形解：設這個多邊形的邊數為n，則(n2)180n144，解得n10.答：這個多邊形的邊數為10.8邊數、頂點數、內角和、對角線條數之間關系的綜合應用在多邊形問題中，當多邊形的邊數n一定時，不論多邊形形狀如何，多邊形的內角和也是一定的，是(n2)180，多邊形對角線的條數也是一定的，是，并且從一個頂點引出的對角線的條數也是一定的，是(n3)條，所以在多邊形問題中，在這些量中，只要知道其中一個量，就可以求出所有的量在多邊形問題的綜合應用中，一般是邊數、對角線的條數、內角和之間的關系應用較多，有時還與正多邊形知識相結合因知識限制，一般是給出內角和，求邊數或對角線條數題目較多，如：已知一個多邊形內角和是1 080，它有幾條對角線？根據內角和公式列方程，(n2)1801 080求出邊數，再根據對角線公式求出對角線條數【例81】 過n邊形的一個頂點的所有對角線，把多邊形分成8個三角形，則這個多邊形的邊數是()a8 b9 c10 d11解析：過多邊形一個頂點的所有對角線將一個多邊形分成(n2)個三角形，所以n28，解得n10，即這個多邊形是十邊形，故選c.答案：c【例82】 多邊形的每一個內角都是150，則此多邊形的一個頂點引出的對角線的條數是()a7 b8 c9 d10解析：根據每一個內角都是150，求出這個多邊形是十二邊形，它的一個頂點引出的對角線的條數是n31239，故選c.答案：c【例83】 一個多邊形的對角線的條數等于它的邊數的4倍，求這個多邊形的內角和分析：設邊數為n，根據對角線的條數是邊數的4倍，列方程求出邊數，再代入多邊形內角和公式求出內角和解：設這個多邊形的邊數為n，根據題意，得4n，解得n11，所以這個多邊形的內角和為：(n2)180(112)1801 620.9.將多邊形截去一個角問題的探討在多邊形問題中，有一類問題是將多邊形截去一個角后，探討多邊形邊數變化和內角和變化的問題在這類問題中，因截法不同，會出現不同的變化，現以四邊形為例加以說明如圖所示，將正方形的桌面截去一個角，那么余下的多邊形的內角和度數將怎樣變化？因截法有三種情況，所以內角和也就有三種情況：(1)當是圖所示情況時，不過任何一個頂點，四邊形變為五邊形，邊數增加1，所以內角和為540.(2)當是圖所示情況時，過一個頂點，四邊形邊數不變，所以內角和也不變，為360.(3)當是圖所示情況時，過兩個頂點，四邊形變為三角形，邊數減少1，所以內角和也變為180.析規律 分類解決問題對于其他多邊形(三角形除外，因為三角形只有兩種情況)也有這樣的三種情況，并且截法相同，解法也相同【例91】 一個多邊形截去一個角后，變為十六邊形，則原來的多邊形的邊數為()a15或17 b16或17c16或18 d15或16或17解析：因截法不同，所以有三種可能，當不過任何一個頂點時，截完后邊數會增加1，因此原來多邊形應為十五邊形；當過一個頂點時，截完后邊數不變，所以這種情況下原來的多邊形為十六邊形；當過兩個頂點時，邊數比原來減少1，所以原來就是十七邊形，所以原來的多邊形的邊數為15或16或17，故選d.答案：d【例92】 一個多邊形截去一個角(截線不過頂點)之后，所形成的一個多邊形的內角和是2 520，那么原多邊形的邊數是()a13 b15 c17 d19解析：一個多邊形截去一個角，因截線不過任何頂點，所以新得到的多邊形邊數比原來的多邊形的邊數應該增加1.因為新得到的多邊形內角和是2 520，根據多邊形內角和公式列方程得(n2)1802 520，解得n16，新多邊形為十六邊形，所以原多邊形為十五邊形，故選b.答案：b【例93】 如果一個多邊形的邊數增加一倍，它的內角和是2 880，那么原來的多邊形的邊數是()a10 b9 c8 d7解析：現在的多邊形的內角和是2 880，根據多邊形內角和公式(n2)1802 880，求出n18，所以原來的多邊形的邊數就是1829，因此是九邊形，故選b.答案：b10.多邊形內角和少算或多算一個角類型題目探索因為多邊形的邊數只能是整數，由多邊形內角和公式(n2)180可知，n2是正整數，所以多邊形的內角和必定是180的整數倍，因此：當所給內角和是多計算一個角的情況時，用所給內角和除以180，因