張掖市2019屆高三年級(jí)第三次診斷考試數(shù)學(xué)（文）試卷一、選擇題：（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先將等式兩邊同乘以i，可求得z，再利用共軛復(fù)數(shù)定義求得結(jié)果【詳解】iz45i，i2z（45i）i，z4i+5，化為z54iz的共軛復(fù)數(shù)5+4i故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題2.設(shè)集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意得，選D3.如圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計(jì)樣本重量的中位數(shù)為（ ）A. 11B. 11.5C. 12D. 12.5【答案】C【解析】試題分析：由頻率分布直方圖 可估計(jì)樣本重量的中位數(shù)在第二組，設(shè)中位數(shù)比大，由題意可得，得，所以中位數(shù)為，故選C.考點(diǎn)：1、頻率分布直方圖；2、中位數(shù)的求法.4.公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，由此創(chuàng)立了割圓術(shù)，利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率.如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的值為（ ）參考數(shù)據(jù)：，.A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循環(huán)過程中的和的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)。【詳解】執(zhí)行程序：，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)輸出的值為24.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)以及三角函數(shù)的計(jì)算，考查了讀圖和識(shí)圖能力，運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。5.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體為底面半徑為、高為的圓錐的，所以該幾何體的體積，故選D.考點(diǎn)：三視圖.6.已知，為單位向量，當(dāng)，的夾角為時(shí)，在上的投影為（ ）A. 5B. C. D. 【答案】D【解析】由題設(shè)，而即，所以，應(yīng)選答案D。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解向量在另一個(gè)向量上的射影的概念。求解時(shí)先求兩個(gè)向量的模及數(shù)量積的值，然后再運(yùn)用向量的射影的概念，運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，從而使得問題獲解。7.已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再把圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化簡函數(shù)為，由平移變換與伸縮變換得到，然后數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再把圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，得到函數(shù)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于函數(shù)與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，令t，即與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：故選：D【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)8.過軸正半軸上一點(diǎn)，作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值為（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】B【解析】圓心坐標(biāo)是，半徑是1；，。在三角形ACB中，由余弦定理的得：解得：。故選B【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】9.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，成立，若數(shù)列滿足，且，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：，設(shè)，所以為增函數(shù)，考點(diǎn)：抽象函數(shù)、遞推公式求通項(xiàng)10.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對(duì)接而成，該封閉幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】小圓柱的底面半徑為r (0r5)，小圓柱的高分為2部分，上半部分在大圓柱內(nèi)為5，下半部分深入半球內(nèi)為h (0h5)，由于下半部分截面和球的半徑構(gòu)成直角三角形，即+，從而可以找出體積表達(dá)式進(jìn)而利用函數(shù)知識(shí)求出最值。【詳解】小圓柱的高分為上下兩部分，上部分同大圓柱一樣為5，下部分深入底部半球內(nèi)設(shè)為h (0h5)，小圓柱的底面半徑設(shè)為r (0r5)，由于和球的半徑構(gòu)成直角三角形，即+，所以小圓柱體積，(0h5)，求導(dǎo)，當(dāng)0h時(shí)，體積單調(diào)遞增，當(dāng)h5時(shí)，體積單調(diào)減。所以當(dāng)h=時(shí)，小圓柱體積取得最大值，故選B.【點(diǎn)睛】先由幾何關(guān)系找出體積表達(dá)式，再通過導(dǎo)數(shù)求最值是本題的關(guān)鍵。11.如圖，已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)M為PQ的中點(diǎn)，令OPx，則可求得AM，OM的長度，進(jìn)而求得tanMOA即為漸近線的斜率，從而求得e.【詳解】由題意可得PAQ為等邊三角形，設(shè)OPx，可得OQ3x，PQ2x，設(shè)M為PQ的中點(diǎn)，可得PMx，AMx，tanMOA，則e故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，考查了漸近線斜率與離心率的關(guān)系，注意結(jié)合圓的幾何特征求解，屬于基礎(chǔ)題12.已知，對(duì)于，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用條件轉(zhuǎn)化為f（x）m（x+1）+2，即f（x）的圖象不高于直線ym（x+1）+2的圖象，求出函數(shù)f（x）ln（x+1）過點(diǎn)（1，2）的切線方程，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可【詳解】若x1，+），均有f（x）2m（x+1），得x1，+），均有f（x）m（x+1）+2即f（x）的圖象不高于直線ym（x+1）+2的圖象，直線ym（x+1）+2過定點(diǎn)（1，2），作出f（x）的圖象，由圖象知f（1）2，設(shè)過（1，2）與f（x）ln（x+1）（x0）相切的直線的切點(diǎn)為（a，ln（a+1），（a0）則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f（x），即切線斜率k，則切線方程為yln（a+1）（xa），即yxln（a+1），切線過點(diǎn)（1，2），2ln（a+1）1+ln（a+1）即ln（a+1）3，則a+1e3，則ae31，則切線斜率k要使f（x）的圖象不高于直線ym（x+1）+2的圖象，則mk，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是，+），故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用以及不等式恒成立問題，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程和斜率是解決本題的關(guān)鍵二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學(xué)生高考前的心理狀況，將學(xué)生按1至48的學(xué)號(hào)用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進(jìn)行調(diào)查，若抽到的最大學(xué)號(hào)為48，則抽到的最小學(xué)號(hào)為_【答案】6【解析】【分析】抽到的最大學(xué)號(hào)為48，由系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)知識(shí)即可得最小學(xué)號(hào).【詳解】由系統(tǒng)抽樣方法從學(xué)號(hào)為1到48的48名學(xué)生中抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，把48人分成8組，抽到的最大學(xué)號(hào)為48，它是第8組的最后一名，則抽到的最小學(xué)號(hào)為第一組的最后一名6號(hào).故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題14.若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最大值是_【答案】19【解析】【分析】根據(jù)題意先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析目標(biāo)函數(shù)及平面區(qū)域里各個(gè)點(diǎn)的特點(diǎn)，可求出目標(biāo)函數(shù)z|x|+3y的最大值【詳解】滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示：要使z|x|+3y最大，則由圖可知區(qū)域內(nèi)A點(diǎn)處滿足|x|最大且y最大，所以z最大，由 得A（4，5）代入z|x|+3y得z|4|+3519，當(dāng)x4，y5時(shí)，|x|+3y有最大值19故答案為：19【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵是分析目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，屬于中檔題.15.四面體中，則四面體外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個(gè)面的面對(duì)角線，則長方體的外接球即為四面體的外接球，利用數(shù)據(jù)計(jì)算長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，可得球的表面積.【詳解】將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個(gè)面的面對(duì)角線，如圖：則長方體的外接球即為四面體的外接球，又長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑2R，設(shè)長方體的長寬高分別為a，b，c，則有，所以外接球的表面積為，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)接幾何體，球的表面積的求法，考查了長方體模型的應(yīng)用及空間想象能力，屬于中檔題.16.已知數(shù)列中，設(shè)，若對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】，（，），當(dāng)時(shí)，并項(xiàng)相加，得：，又當(dāng)時(shí)，也滿足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為， ，令（），則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)， ，對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則須使，即對(duì)恒成立，即的最小值，可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題通過并項(xiàng)相加可知當(dāng)時(shí)，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加可知，通過求導(dǎo)可知是增函數(shù)，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為，由恒成立思想，即可得結(jié)論.三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知向量，設(shè)函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）在中，角、的對(duì)邊分別為、，且滿足，求的值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，先計(jì)算，然后代入中，利用正弦的二倍角公式和降冪公式，將函數(shù)解析式化為，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）三角形問題中，涉及邊角混合的式子，往往進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，或轉(zhuǎn)換為邊的代數(shù)式，或轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)問題處理將利用正弦定理轉(zhuǎn)換為，同時(shí)結(jié)合已知和余弦定理得，從而求，進(jìn)而求的值試題解析：（1） 令6分所以所求增區(qū)間為7分（2）由，8分，即10分又，11分12分考點(diǎn)：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).18.參加山大附中數(shù)學(xué)選修課的同學(xué)，對(duì)某公司的一種產(chǎn)品銷量與價(jià)格進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖：定價(jià)（元）102030405060年銷量（）11506434242621658614.112.912.111.110.28.9（參考數(shù)據(jù)：，）（）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，與哪一對(duì)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性（給出判斷即可，不必說明理由）？（）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字）（）定價(jià)為多少元/時(shí)，年收入的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： ，.【答案】（I）由散點(diǎn)圖可知，與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性; （II）; （III）定值為元/時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大.【解析】試題分析：比較兩個(gè)散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，利用表中提供的與的對(duì)應(yīng)值計(jì)算，借助提后提供的現(xiàn)成數(shù)據(jù)再計(jì)算，得出，和，得出后再利用，有 ，得出 關(guān)于的回歸方程，注意保留小數(shù)；表示出年利潤，求導(dǎo)找出最值.試題解析：（I）由散點(diǎn)圖可知，與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.（II）由題得，又，則，線性回歸方程為，則關(guān)于的回歸方程為.（III）設(shè)年利潤為，則，求導(dǎo)，得，令，解得.由函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大，定值為元/時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大.19.如圖，在三棱錐中，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）要證平面BDE平面ACD，需證BE面ACD，由數(shù)量關(guān)系可得，則可求證（2）用等體積方法求出C到面ABD的距離，則可求直線AC與平面ABD所成角的正弦值【詳解】（1）由已知得，又，.又，面，面，面面.（2）設(shè)到平面的距離為，由，得，則.設(shè)與平面所成角為，則，與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定定理，考查了線面角的求法，利用等體積法求三棱錐的高是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題20.如圖，設(shè)橢圓：，長軸的右端點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率是（）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求面積的最小值，以及取到最小值時(shí)直線的方程【答案】（）; （）面積的最小值為9，.【解析】試題分析：（）由已知求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得橢圓中的，再由離心率可求得，從而得值，得標(biāo)準(zhǔn)方程；（）本題考查圓錐曲線中的三角形面積問題，解題方法是設(shè)直線方程為，設(shè)，把直線方程代入拋物線方程，化為的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，由弦長公式得，同樣過與直線垂直的直線方程為，同樣代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理得，其中，是點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是可得，這樣就可用表示出的面積，接著可設(shè)，用換元法把表示為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可求得最大值.試題解析：（）橢圓：，長軸的右端點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，又橢圓的離心率是，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（）過點(diǎn)的直線的方程設(shè)為，設(shè)，聯(lián)立得，過且與直線垂直的直線設(shè)為，聯(lián)立得，故，面積令，則，令，則，即時(shí)，面積最小，即當(dāng)時(shí)，面積的最小值為9，此時(shí)直線的方程為21.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)于任意都有成立，試求的取值范圍；（3）記.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.（2）（3）【解析】【分析】（1）先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，在定義域內(nèi)，再求出導(dǎo)數(shù)大于0的區(qū)間，即為函數(shù)的增區(qū)間，求出導(dǎo)數(shù)小于0的區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最小值，要使f（x）2（a1）恒成立，需使函數(shù)的最小值大于2（a1），從而求得a的取值范圍（3）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)g（x）在區(qū)間e1，e上有兩個(gè)零點(diǎn)，得到， 解出實(shí)數(shù)b的取值范圍【詳解】（1）直線的斜率為1， 函數(shù))的定義域?yàn)?因?yàn)椋裕裕裕?由解得；由解得.所以得單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.（2）由解得；