第二章 信息光學的數學基礎 引言在這一節，我們將以簡明的格式，全面地羅列傅里葉變換和卷積、相關及其主要性質，著重從光學眼光看待那些公式和數學定理，給出相應的光學顯示或光學模擬，這有助于生動地理解、掌握傅里葉變換和卷積、相關，其意義就不僅僅限于光學領域了。2.1傅里葉變換傅里葉級數首先讓我們回憶周期函數的傅里葉級數展開式，這里，稱為原函數，稱為博里葉系數或頻譜值，它是傅里葉分量的幅值頻譜的概念頻譜的概念，廣義上講就是求一個函數的傅立葉級數或一個函數的傅立葉變換。因此，傅立葉分析也稱頻譜分析。頻譜分為振幅型頻譜和相位型頻譜。相位型頻譜用的較少，通常提到的頻譜大都指振幅型頻譜。為了更深刻的理解不同形式的頻譜概念，以實例來進一步說明。對于光柵我們可以用透過率函數來描述,一維透射光柵的透過率函數是一矩形波函數。為了討論問題方便, 設光柵狹縫總數N無限大. 是周期性函數則：上式表明，圖中表示的矩形波可以分解為不同頻率的簡諧波,這些簡諧波的頻率為這里稱為空間頻率. 是的基頻.。周期性函數的頻譜都是分立的譜,各譜線的頻率為基頻整數倍.在f=0處有直流分量.透過率函數也可用復數傅里葉級數表示:再回到光柵裝置.由光柵方程,在近軸條件下因此透鏡后焦面上頻率為當單色光波入射到待分析的圖象上時,通過夫瑯和費衍射,一定空間頻率的信息就被一定特定方向的平面衍射波輸送出來. 這些衍射波在近場彼此交織在一起,到了遠場它們彼此分開,從而達到分頻的目的. 故傅立葉變換能達到分頻的目的。傅里葉變換 在現實世界中，不存在嚴格意義下的周期函數，非周期變化是更為普遍的現象從數學眼光看，非周期函數可看作周期的函數據此，可將上述傅里葉級數求和式過渡到積分表達式結果如下，上式(*)稱為傅里葉變換，下式*)稱為博里葉逆變換對于二維情形，傅里葉變換和逆變換的積分式為簡單地表示為從光學眼光看代表一波前函數，線性相因子代表平面波成分，()代表一空間頻率，對應一特定方向的平面波于是，積分式(*)表明，任一波前可以分解為一系列不同空間頻率的平面波前成分的疊加對于非周期函數，空間頻率()的取值不是離散的，而是連續的，存在于()因此，在()一()頻率間隔中，平面波成分的振幅系數dA表示為這給出了譜函數G()的光學意義一一頻率空間中單位頻率間隔的振幅系數，即振幅的譜密度函數，簡稱頻譜。原函數及其頻譜G()，既可以是實數，也可以是復數。2.2信息光學中常用的若干典型函數的頻譜(1)方壘函數如圖*(a)，(b)所示從變換光學眼光看，方壘函數相當平行光正入射于單縫時的被前函數。其夫瑯禾費衍射場正是（*)式給出的sinc函數形式(2)相幅型方壘函數如圖*(a)，(b)所示從變換光學眼光看，這相幅型方壘函數，相當于平行光斜入射于單縫時的波前函數，或相當于平行光正入射于薄棱鏡時的波前函數，其夫瑯禾費衍射場的o級班中心移至軸外，兩側依然呈現函數形式，如(*)式所示(3)準單頻函數如圖*所示準單頻函數可以被看作兩個相幅型方壘函數之和，從而造成兩支頻譜，其頻譜中心分別在處如果，準單頻函數代表純空目信息而與時間變量無關，或代表純時間信息而與空間變量無關，則這正負兩支頻譜無獨立的物理意義，應將它倆合起來看作支頻譜譜值加倍，而頻率區間縮半于(o，)如果，這準單頻函數代表定態波場的復振幅分布，則正負頻譜成分有獨立含義，各自乘以同一時間因子，就分別代表兩個相反方向傳播的行波，而復振幅分布就表示那兩列行波疊加的駐波場(4)正向準單頻函數其中如圖*所示，展現有二支頻譜，均系函數線型，其中心頻率分別為從變換光學眼光看，這相當于平行光正入射于一余弦光柵時的波前函數，其夫瑯禾費衍射場有三個離散的亮斑，在亮斑鄰近區域有光強的少許擴展，這特點由(*)式所反映(5)三角形函數如圖*所示，其頻譜恒為正值含有明顯的高頻成分，方能合成帶有尖頂的角形原函數(6)半橢圓形函數這里是一階貝塞耳目數，如圖*所示(7)高斯函數如圖*所示在函數大家庭中，唯有高斯雨數，其頻譜依然是高斯型的，它是一個經傅里葉變換后線型不變的獨特函數憑借這一性質，高斯型光束成為激光器諧振腔中能穩定存在的一種模式高斯函數也是光源的一種基本的光譜線型，因為由溫度引起的譜線的多普勒展寬是高斯型的導出頻譜公式(*過程中用到一個高斯積分，(8)洛倫茲函數如圖*所示，一鐘型原函數其頻譜變成一尖頂帳篷型。(9)二維軸對稱函數(圓域函數)在空域(x,y)平面上取極坐標()，以簡化圓域函數的表示稱(*)式為傅里葉貝塞耳變換或零階漢克爾變換，其中J。為零階貝塞耳函數將(*)式應用于常見的特例半徑為r的圓孔函數，即得其頻譜為這結果與我們先前介紹過的圓孔夫瑯禾費衍射場的表達式是相似的，僅在系數上有點差別若將其中的改寫為我們一直熟悉的空間頻率符號，且令，角是衍射方向與圓心軸即透鏡光軸的夾角，那(*I)式就表示了波長為的一光束正入射于圓孔時的夫瑯禾費衍射場常用函數的傅里葉變換對原函數頻譜函數矩形函數 2.3卷積卷積的定義函數和的卷積用符號表示，它定義為根據積分的幾何意義，可以把求卷積理解為求兩個函數和重疊部分的面積。卷積的性質（1）線性性質（2）交換律（3）縮放性質（4）結合律（5）與的卷積卷積的計算（1）圖解法為了詳細說明圖解法的過程，我們選兩個函數和世紀計算器卷積。設和為實寒暑，如圖所示。其具體數學表達式為圖解法求卷積有如下四個步驟：1) 折疊由于卷積滿足交換率，根據卷積的定義把任一個函數或相對于縱坐標作出鏡像或這里我們作的景鏡像。為此，虛設積分變量，作出和函數圖形，如下圖所示。2)位移。為了得到或需要把或沿x軸位移。為此，要在選一個坐標軸x，它與平行，并在其上選一個坐標遠點，平抑一段距離x便得到。位移量x的正負及原點選取的規定為：當x0時，函數圖形右移，當x0時，函數圖形左移，當x0時，函數圖形，見圖3）相乘。將與按變量逐點相乘得到，從圖形上來看就是這兩個函數重疊部分的積。由于圖解過程中保持不變，因此必須沿x軸來回移動，得到對應不同x值得兩函數的乘積。在x0情況下，當時，則，當時，則乘積，只是當時，和，乘積，兩函數的成績為圖*中的直線AB（一般為曲線）。4）積分。求出乘積曲線下的面積，即兩個函數重疊部分的面積，該面積就是x出的卷積值。選擇不同的位移量，就可得到相應的卷積，圖*(b)(f)分別為、。我們還可以求出其他卷積值并畫出去縣，該曲線就是和的卷積，如圖*（2）解析法解析法就是直接積分求出的值。有圖解法求出卷積的結果可見，一般卷積的結果是分段函數，所以積分一般也要分段積分。由于積分是中含有參變量x，求積分的關鍵是確定積分的上下限，一般要與圖解法結合起來進行。以下仍以和為例說明解析法計算卷積的過程。根據圖解法的結果，卷積可分為以下四段來積分：1）。這時不論x為何值，與均無重疊部分，乘積，其積分也等于零。2）。的非零區間為0，3，由于的非零區間為-1，2，的非零區間為-2，1，因此，的非零區間為。當時，；當時，。因此，的非零區間為，卷積結果為從上面的分析中，可以得到確定上下限的規律。如果兩個函數與的非零區間的上限為和，下限為和，則計算卷積的上限為，計算卷積的下限為。3）。的非零區間為0，3，由于的非零區間為，根據上述選擇幾分上下限的原則，卷積結果為4）。這時，所以。綜合以上結果，用解析法計算卷積的結果為：由此可見，用解析法計算卷積于永圖解法一樣繁瑣。在計算復雜函數的卷積時，一般要把解析法和圖解法結合起來進行，圖解法用于幾分區間的分段，解析法用于計算復雜曲線下的面積。2.4相關相關的定義若和是實變量的復值函數，函數和的相關用符號或表示，它定義為式中是的復共軛函數。若是實變量的復值函數，則它的自相關定義為相關的性質1）互相關的性質相關運算不具有交換性，即 2）自相關的性質自相關函數具有厄密對程性，即 相關的計算相關的計算方法和計算卷積一樣，有圖解法和解析法兩種，計算步驟也大致相同。只是圖解法中只有位移、相乘、積分三個步驟；解析法直接安定以積分時，同樣有積分域的分段和確定上下限的問題，其方法和規則與計算卷積相同。關于自相關函數意義的說明的自相關函數可以用來描述函數與之間的相關性由于是由通過平移x距離而形成的，它們之間的相關性，就反映了函數變化的快慢反映了與的相似程度。2.5函數； 函數的定義函數是狄拉克在量子力學中首先引入的種廣義函數，其定義為這表明，函數是一種特殊的脈沖函數脈沖寬度為o、脈沖高度無限而函數所包容的面積為1(歸一化)如果在處出現這種脈沖函數則表示為，即實際上，不同線型的單脈沖函數，在一定收斂要求下其極限狀態就過渡為函數，如圖*所示。（a）單縫衍射函數（b）高斯函數（c）方壘函數（e）這表明，常數1的頻譜為函數，函數的頻譜月1。我們知道，在物理學的許多領域是以點模型為基石而構建理論體系，比如力學中的質點，電學中的點電荷和光學個的點光源、物點、像點等等。函數正是這類點模型的數學寫照或者說，當空間存在這類“點物”時，我們就可以用函數來描寫相應的密度分布或強度分布比如，在一維x軸處有一質量為m的質點，則質量分布線密度函數為同理，如果，處是一電荷量為q的點電荷則電荷分布的線密度密數為如果()處是一光功率為的物點，則在(x,y)平面上光強分布函數表示為有了函數工具的輔助，傅里葉變換的應用范圍和功能得以擴大和增強函數的性質及其傅里葉變換 (1) 函數是偶函數，即 (2) 函數的篩選性對于任意連續函數，它與函數的乘積再積分，結果為函數所具有的這種篩選性，使它成為測量函數值的一很標竿當這標竿在整個變量區間移動*就可以把持測函數曲線顯示出來，這就過渡為一卷積運算(3) 函數的卷積性質這表明，任何連續函數均可以被看作函數自身與函數的卷積從光學眼光看，連續分布于(x ，y)平面上的復振幅或光強函數，以往常將它看作連續密排的點源或點集，現在給出的函數的卷積性質對這一觀點作出了種數學注釋(4) 函數的尺度縮放性質，(5) 函數與傅里葉變換以上af各變換關系分別相應顯示于下圖。圖-幾種用函數表示的傅立葉變換梳狀函數（也叫抽樣函數）梳狀函數用符號comb(x)表示，定義為式中n為整數。該函數是一間隔為1的函數序列，像一把梳子，故也成為梳狀函數。由函數的性質可以得到comb(x)的如下性質：（1）比例變換特性：（2）奇偶性：是偶函數。（3）周期性：即使周期為1的周期函數。（4）抽樣特性：函數與任意函數相乘可以對該函數周期抽樣，而抽樣值只存在函數所在的整數點處。如圖所示若抽樣點為非整數點處，且抽樣周期不為1，則有（5）卷積特性：（6）傅里葉變換特性梳狀函數2.6傅里葉變換的基本性質（1）線性性質若 則這表明傅里葉變換是現行變換。（2）對程性若 則（3）坐標縮放性質若 則這表明函數在空域的展寬（或壓縮），必然導致頻域上的壓縮（展寬）。（4）平移性若 則（5）面積對應關系（6）？2.7傅里葉變換的基本定理（1）卷積定理若 則：積定理表明，對于通過傅里葉變換聯系起來的數域來說，一個數域中的卷積運算對應著另個數域中的乘積運算卷積定理對某些運算來說是至關重要的。（2）相關定理(維納辛欽定理) 互相關定理若 則：習慣上人們稱稱為函數的互譜能