曲線與方程 在平面直角坐標系中 作出第一 三象限角平分線l 問題情境 l 下列方程中哪一個表示問題情境中的直線l 為什么 你能舉例并利用集合的知識加以闡述嗎 數學活動 1 x y 0 方程 1 是表示直線的方程 而 2 3 4 都不是表示直線l的方程 l 1 直線l上的點的坐標都是方程x y 0的解 以方程x y 0的解為坐標的點都在直線l上 即 直線上所有點的集合與方程的解的集合之間建立了一一對應的關系 也即 直線 方程 直線l叫方程x y 0的直線 方程x y 0叫直線l的方程 2 中直線l上的點的坐標不全是方程的解 如 1 1 等 即 直線上的點的坐標不都是方程的解 3 中雖然 直線l上的點的坐標都是方程的解 但以方程x2 y2 0的解為坐標的點不全在直線l上 如點 1 1 等 即 以方程的解為坐標的點不都在直線上 4 中類似 2 3 得出 直線上的點的坐標不都是方程的解 以方程的解為坐標的點不都在直線上 直線l上的點的坐標都是方程Ax By C 0的解 以方程Ax By C 0的解為坐標的點都在直線l上 即 直線l 方程 歸納提升 直線l叫方程Ax By C 0的直線 方程Ax By C 0叫直線l的方程 拋物線 推廣 任意曲線C 方程 F x y 0 即 任意的曲線和二元方程是否能都建立這種對應關系呢 也即 方程F x y 0的解與曲線C上的點的坐標具備怎樣的關系就能用方程F x y 0表示曲線C 同時曲線C也表示著方程F x y 0 為什么要具備這些條件 類比 方程 y x2 一般地 在直角坐標系中 如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系 曲線C上的點的坐標都是這個方程的解 以這個方程的解為坐標的點都在曲線C上 那么 這個方程叫做曲線的方程 這條曲線叫做方程的曲線 數學建構 變換表達 強化理解 點動成線 曲線可以看作是由具有某種規律的點組成的集合 記作C 一個二元方程的解可以作為點的坐標 因而二元方程的解也描述了一個點集 記作F 思考 如何用點集C和點集F間的關系來表達 曲線的方程 和 方程的曲線 定義中的兩個關系 進而重新表述以上定義呢 這樣用集合相等的概念定義 曲線的方程 與 方程的曲線 為 關系 1 指點集C是點集F的子集 關系 2 指點集F是點集C的子集 變換表達 強化理解 例1 解答下列問題 且說出各依據了定義中的哪一個關系 數學應用 例2 下列各題中 圖所示的曲線C的方程為所列方程 對嗎 如果不對 是不符合關系 還是關系 曲線C是 ABC中中線AO方程 x 0 1 曲線C是到坐標軸距離相等的點組成的直線方程 x y 0 2 曲線C是過點 4 1 的反比例曲線圖像方程 3 2 例3 條件甲 曲線C上的點的坐標都是方程f x y 0的解 條件乙 曲線C是方程f x y 0的圖形 則甲是乙的條件 分析 由方程的曲線定義知 甲 乙 但 乙 甲 必要非充分 1 曲線上的點的坐標都是這個方程的解 闡明曲線上沒有坐標不滿足這個方程 也就是說曲線上所有的點都符合這個方程而毫無例外 純粹性 不雜 2 以這個方程的解為坐標的點都在曲線上 闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏 完備性 不漏 由曲線的方程的定義可知 如果曲線C的方程是f x y 0 那么點P0 x0 y0 在曲線C上的充要條件是 f x0 y0 0 解題回顧 例4 已知一座圓拱橋的跨度是36m 圓拱高為6m 求圓拱的方程 解 以圓拱所對的弦AB所在的直線為x軸 AB的垂直平分線為y軸 建立直角坐標系xoy 如圖所示 則圓拱所在圓的圓心在y軸上 可設為O1 0 b 圓拱所在圓的半徑為r B 18 0 C 0 6 建立坐標系 即 又點B 18 0 C 0 6 在圓上 故 解得b 24 r 30 由于圓拱只是它所在的圓位于x軸上方的一部分 含x軸上的點 所以 圓拱的方程是 查漏除雜 設點的坐標 代 把條件坐標化 解題回顧 解題回顧 求軌跡方程時最后切忌不要忘記查漏除雜 鞏固練習 本節課我們通過實例的研究 掌握了 曲線的方程 和 方程的曲線 的定義 在領會定義時 要牢記關系 兩者缺一不可 它們都是 曲線的方程 和 方程的曲線 的必要條件 兩者都滿足了 曲線的方程 和 方程的曲線 才具備完備性 只