2014年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精品資料 難點(diǎn)09 立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問(wèn)題的探討學(xué)案（含解析）縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，重點(diǎn)放在與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問(wèn)題上.要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答.從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，這部分知識(shí)是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類(lèi)題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒(méi)有形成解題的模式和套路，以至于遇到類(lèi)似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題加以類(lèi)型的總結(jié)和方法的探討.1 球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題. 球與正方體發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問(wèn)題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題 例 1 棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)被球截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為（ ）a b cd 球與長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為其體對(duì)角線(xiàn)為.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑例 2 在長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4的長(zhǎng)方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，任意擺動(dòng)此長(zhǎng)方體，則球經(jīng)過(guò)的空間部分的體積為( ) a.b.4c.d. 球與正棱柱例3 正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值，為 .2 球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題.2.1 球與正四面體解得：這個(gè)解法是通過(guò)利用兩心合一的思路，建立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來(lái)極大的方便.例4 將半徑都為的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為 ( )a. b. 2+ c. 4+ d. 球的外切正四面體，這個(gè)小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問(wèn)題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形例5 在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正2.3 球與正棱錐 球與正棱錐的組合，常見(jiàn)的有兩類(lèi)，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6 在三棱錐pabc中，papb=pc=,側(cè)棱pa與底面abc所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為（ ） a b. c. 4d.接球的球心,則. 例7 矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角,則四面體的外接球的體積是( )a. b. c. d.3 球與球?qū)€(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問(wèn)題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類(lèi)問(wèn)題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄危鐪?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化平面問(wèn)題求解.4 球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過(guò)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：.例8 把一個(gè)皮球放入如圖10所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四綜合上面的四種類(lèi)型，解決與球的外切問(wèn)題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決.如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問(wèn)題解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，