淺談數學建模在三角函數應用中的運用 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 一、對數學建模的基本理解 （一）數學建模的概念 數學建模是一種新的數學學習方式，是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，也就是把現實世界中的實際問題提煉、抽象，做出相應的數學模型，然后求出模型的解，驗證模型的合理性，并能用該數學模型的解來解釋一類現實問題的過程。 數學建模的一般步驟為： 分析問題：了解對象的實際背景知識，根據實 際背景和要求進行 “ 問題分析 ” 。 假設模型：根據問題分析和建立數學模型的目的做出合理簡化的 “ 模型假設 ” 。 建立模型：在問題分析與模型假設的基礎上 “ 建立數學模型 ” 。 求解模型：選擇適當的數學工具 “ 求解數學模型 ” 。 分析解決：對模型結果進行 “ 模型分析 ” ，如果合乎實際要求就用來解決實際問題，如果不合乎實際要求就回到 繼續。 數學建模的特點有： 問題來源于實際， 需要假設， 需要驗證、討論， 沒有唯一解， 模型逼真可行， 模型可漸進， 模型可轉移， 沒有統一固 定方法。 （二）三角函數的應用教材分析 普通數學課程標準（以下簡稱標準）將三角函數作為刻畫現實世界的數學模型。學習數學模型的最好方法是經歷數學建模的過程，即 “ 問題情景 建立模型 數學結果 解釋、應用與拓展 ” 。標準對三角函數內容的處理，首先提供豐富的實際背景，通過對實際背景（現實原型）的分析、概括與抽象，建立三角函數模型（引出三角函數概念），再運用數學的方法研究三角函數模型的性質，最后運用三角函數模型及其性質去解決包括現實原型在內的更加廣泛的一類實際問題。這樣處理體現了數學知識 的產生、發展過程，反映了數學的 “ 來龍去脈 ” ，有助于學生理解數學的本質，形成對數學完整的認識。 三角函數的應用學習要求是會用三角函數解決一些簡單的實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型。 教學重點是建立三角函數的模型，進而運用三角函數的相關知識與方法解決有關實際問題；教學難點是：建立三角函數的模型。 二、三角函數的應用教學內容 教材舉了兩個例子：一個是物理學中的簡諧運動問題，一個是水車問題。 （一）物理學中的簡諧振動 例 1：如圖 1，點 O 為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為 3cm，周期為 3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時。 （ 1）求物體對平衡位置 的位移 x（ cm）和時間 t（ s）的 函數關系； （ 2）求該物體在 t=5s 時的位置。 由于簡諧運動的物體對平衡位置的位移 x（ cm）和時間t（ s）滿足函數關系 x=Asin（ tx+ ），所以本題在教學時采用待定系數法就可以解決，只是在開始計時時要注意位移的值。 （二）有關水車圓周運動的問題 例 2：圖 2，一半徑為 3m的 水輪如圖所示，水輪圓心 O 距 離水面 2m，已知水輪每分鐘轉 動 4 圈，如果當水輪上點 P 從水 中浮現時（圖中點 P0）開始計算 時間。 （ 1）將點 P 距離水面的高度 z（ m）表示為時間 t（ s）的函數； （ 2）點 P 第一次到達最高點大約要多長時間？ （參考數據： sin0.73=23） （三）兩個例子的區別與聯系 例 1 是簡諧振動，是動點到某定點的位移問題，例 2圓周運動，是點到某定線的位 移問題；例 2 中點 P 在 y 軸上的射影就轉化為動點到某定點的位移問題，也就是例 1 了。 三、教學實驗方案及課堂實錄 在例 1 中，由于簡諧運動的物體對平衡位置的位移 x（ cm）和時間 t（ s）滿足函數關系 x=Asin（ tx+ ），所以本題在教學時采用待定系數法就可以解決，只是在開始計時時要注意位移的值。例 2 的處理是個難點，為使本例題的作用最大化，特別制定了如下教學方案： 【情景展示、布置任務】 中國自古就是以農立國， 與農業相關的科學技術取得 了卓越的成就。水利 作為農 業中最不可缺的一環，各朝政 府雖致力于興修水利工程，不 論是灌溉渠道或是運河都動員了大量的人力、物力和財力去營建。但是這些渠道大都分布在各大農業區，至于高地或是離灌溉渠道及水源較遠之地，顯然是無法顧及。于是中國人善用其智慧，發明了另一種能引水灌溉的農具 水車。 這次的社會實踐（利用假期社會實踐），我們就會看到這種水車（圖 3），請同學們在現場測量你認為用到的數據，回到教室后我們再交流，探究。 【問題提出、探究解決】 數據收集與整理。 同學們看到水車，感覺很新奇吧，你們來說說，都測量了哪些數據啊？ 生 1：半徑是 2 米差點，就算 2 米吧，池塘水深145cm。 取近似值，估算 生 2：我量的半徑是 2 米。 師：我們知道在測量時是允許存在一定的誤差的，為了我們研究的方面，我們取近似值 2 米。還有什么數據嗎？ 生 3：我還看到水車上有個地方壞的，木條上少一塊，（同學們笑），壞的地方轉一下要 20秒的時間。 師：哦，你可真仔細！你能詳細說下怎么記這 20秒的嗎？ 生 3：我從壞處經過我的手開始的，我 把手放在固定的地方。轉了三圈用了一分鐘，所以一圈是 20分鐘。 師：有其他的數據嗎？ 生 4：我量的是水車轉軸的中心距水面是 1 米，水車寬度是 40厘米。 根據數據畫出示意圖。 討論需要探究哪些問題？ 這是本堂課的比較精彩的地方，往往是老師提出問題后讓學生去思考，這里嘗試讓學生自我提出需要解決的問題，更能體現以學生為主體的教學理念，培養了學生發現問題的能力。學生討論不久后就有如下兩個問題： a.水車轉動的速度是多少？根據物理學知識是研究角速度還是線速度？ b.壞點處的高度問題？ 問題探究。 問題 1：學生能根據物理學知識得到角速度為：3260 （ rad/s） 師：是不是這么多啊？ 學生在小聲地議論，都說是的啊。 老師邊在講臺前來回踱步，邊說：我一分鐘走 20米，你說我行走的速度是多少啊？速度是個什么量啊？ 生：啊！要注意方向，因為速度是矢量！其他學生立即表示認同。 師：很好！能注意到速度的定義，速度和向量一樣，都要大小和方向。 師問生 3：你沒量時水車是按什么方向轉的啊？ 生 3：按 ，按逆時針方向。 師：那么我們就以逆時針方向為正方向，那角速度就是 3260 （ rad/s）。 問題 2： 師：壞點處的高度，顯然是個相對高度，根據以往的經驗（做題的經驗很重要，以往教學強調雙基，現在我們強調的三基：基本知識，基本技能，基本思想方法），這里我們應該搭建一個平臺。 生：（異口同聲）建系。 師：哪位同學說說看？ 生 4：以水面為 x 軸或以水車 中心為坐標原點建系。 師：這位同學提供了兩種方案， 選哪個呢？ 生 5：以水車中心為坐標原點建系。 學生說，老師作圖（圖 4）： 師：好的，下面我們還看看 壞點的相對高度問題。設壞點 為點 P，那是相對于哪里的高度 問題呢？（圖 5） 生 6：相對于 x 軸。 生 7：相對于水面。 師：其實相對于水面的高度比相對于軸的高度多多少啊？（生： 1 米）哎，對了，我們就選相對于水面吧。那點 P相對于水面的高度是？ 生 8： 1+2sinAOP ，其實就是點 P 的縱坐標問題，縱坐標為 sin AOP 師：好，現在關鍵問題是怎么求 sinAOP ？ 生 8：我知道要求角度，但看不出來，怎么求？ 師：這樣，我們各個學生小組內討論下，看看有沒有什么進展。（學生分組討論，學生有較充分的獨立思考時間，能培養閱讀與交流能力，小組活動有組織） 生 9：由于點 P 是轉過去的，所以跟角速度有關，只要知道從哪里開始轉的，再跟據時間就可以算出 AOP 的大小了。 師：他指出了要算角的大小就得先知道從哪里開始轉的，也就是從哪里開始計時。還記得生 3 是從壞處經過手開始計時的。（手放在 固定的地方）。由于各人的手的位置具有不確定性，我們可以以一個固定的參照物為準來記時。 生 9：可以在點 P 在最低點處時開始，也可以在點 P 從水中浮現時開始計時。 師：好，我們就以點 P 從水中浮現時開始計時。（為什么這樣記時，其實兩種記時方案都可以） 下面思考一個問題：圖 6 中三個角（ AOP0 ， AOP ，P0OP ）的關系是什么？怎么來表示 AOP ？ 生 9： AOP=P0OP -AOP0+ 2k （ kZ ）。 師：是加還是減啊？ 生 10：考慮到角 的正負就應 該是 AOP=P0OP -AOP0+2k （ kZ ）（ AOP0 是負角）。 師：那么 P0OP 是多大呢？ 生 10：根據角速度的大小，P0OP=3260t=10t ，其中 t 是轉動的時間。進而可以得到點 P 相對于水面的高度為： 2sin（ 10t -6t ） +1，其中 6 是由于 sinAOP0= -12。 師：好，如此一來，我們就得到了點 P 相對于水面的高度 z（ m）與水車轉動時間 t（ s）的關系式 z=2sin（ 10t - 6t） +1，想一下這里面什么量是最重要的？起決定作用的？ 生： 2sin（ 10t -6t ） +1。 師：這里面最重要的又是什么呢？ 學生思考后有一學生說：就是點 P 的縱坐標。 師：好！這個量是解決這個問題的關鍵啊！不錯！ 【師生小結】 師生共同小結下問題 2 的解決方法： 1.閱讀實際問題，理解題意， 明確要求的量，建立坐標系（搭建 平臺），通過研究點的坐標來研究 線段的長度。 2.在實際問題中凡 涉及旋轉 角的問題常可考慮用角的知識加以解決，而呈現 “ 周期 ” 現象的問題則可考慮用三角函數加以模擬；在數學學習中三角函數是個工具，如圓與橢圓上點的運動都具有周期性，與此相近的問題借助于三角函數來求解通常較為方便。 【題后思考】 如圖 7，如果 P0在水面上方，距離水面的高度是 2m，如果從 P0開始計時，其他條件不變，請將點 p 距離水面的高度 z（ m）表示為時間 t（ s）的函數。 若點 P 距離水面的高度 z（ m）表示為時間 t（ s）的函數為 z=2sin（ 512 t-6 ） +0.5，請說出題目中的條件。 【作業布置、延時探究】 1.電視臺的不同欄目播出的