成才之路 數學 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 北師大版 必修1 函數 第二章 第二章 2對函數的進一步認識 2 1函數概念 某人到一個水果店去買西瓜 價格表上寫的是 6斤以下 每斤0 4元 6斤以上9斤以下 每斤0 5元 9斤以上 每斤0 6元 此人挑了一個西瓜 稱重后店主說5元1角 1角就不要了 給5元吧 可這位聰明的顧客馬上說 你不僅沒少要 反而多收了我的錢 當顧客講出理由 店主只好承認了錯誤 照實收了錢 同學們 你知道顧客是怎么曉得店主騙人的嗎 答案 如果西瓜不超過9斤 則價錢不會超過0 5 9 4 5 元 如果西瓜超過9斤 則價錢不會低于0 6 9 5 4 元 不會出現5元1角的情況 故該顧客認定店主騙人 1 函數的概念 非空數集 任何一個數x 唯一確定的數 f a b y f x x a 自變量 集合a 2 區間的概念 1 一般區間的表示 a b為實數 且a b a b a b a b a b 2 特殊區間的表示 a a 1 下列關于函數與區間的說法正確的是 a 函數定義域必不是空集 但值域可以是空集b 函數定義域和值域確定后 其對應法則也就確定了c 數集都能用區間表示d 函數中一個函數值可以有多個自變量值與之對應 答案 d 解析 函數的定義域和值域都是非空的數值 故a錯 函數的定義域和對應法則確定后 函數的值域也就確定了 故b錯 數集不一定能用區間表示 故c錯 選d 3 函數f x 的圖像如圖所示 則f x 的定義域為 值域為 答案 5 5 2 3 解析 由圖像可以看出 函數y f x 的自變量x的取值范圍是 5 x 5 因變量y的取值范圍是 2 y 3 f x 的定義域為 5 5 值域為 2 3 函數關系的判斷 思路分析 根據函數的定義 檢驗所給的對應關系是否滿足以下幾個條件 1 a b是否是非空數集 2 a中的每一個元素是否在b中都有與之對應的元素 3 a中的每一個元素在b中與之對應的元素是否是唯一的 規范解答 1 不能構成集合a到b的函數 因為a中的元素0在b中沒有元素與之相對應 2 能構成集合a到b的函數 因為它滿足函數的定義 3 不能構成集合a到b的函數 比如a中的元素 2在b中沒有元素與之相對應 4 不能構成集合a到b的函數 比如a中的元素4在b中有兩個元素與之相對應 規律總結 判斷所給對應關系是否是函數關系的兩個條件是 1 看是否是兩個非空數集的對應 2 看是否滿足任意性 存在性 唯一性 總之 對應關系可以一對一 多對一 但不可一對多 相同函數的判斷 思路分析 對于根式 分式 絕對值式 要先化簡再判斷 在化簡時要注意等價變形 否則等號不成立 當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時 這兩個函數才是同一函數 規范解答 1 g x 2x 1 f x 與g x 的對應關系不同 因此是不同的函數 2 f x x 1 x 0 f x 與g x 的定義域不同 因此是不同的函數 規律總結 1 根據解析式判斷兩個函數f x 和g x 是否是同一個函數的步驟是 1 先求函數f x 和g x 的定義域 如果定義域不同 那么它們不相同 如果定義域相同 再執行下一步 2 化簡函數的解析式 如果化簡后的函數解析式相同 那么它們相同 否則它們不相同 2 函數與自變量及因變量的表示符號無關 求函數的定義域 思路分析 根據解析式的結構特點 列不等式組求解 規律總結 1 要使函數有意義應有 1 分式的分母不為0 2 偶次根下非負 3 y x0中要求x 0 4 實際問題中函數的定義域 要考慮實際意義 2 函數的定義域一定要用集合或區間形式表示 求函數的值域 思路分析 求值域的方法很多 利用解析式逐個求 用直接法 分離常數后 逐步求出 利用二次函數求 規律總結 求函數值域的方法及注意事項 求函數值域應首先確定定義域 由定義域及對應法則確定函數的值域 對一些簡單的函數 可用觀察法直接求解 對于二次函數 常用配方法求值域 對于分式類型的函數 可采用分離常數法求解 對于帶根號的函數 常用換元法求值域 要注意換元前后變量的取值范圍 正解 要使函數有意義 必須使x2 x 6 0 即 x 2 x 3 0 所以x 2 0且x 3 0 即x 2且x 3 故所求函數的定義域為