- 1 - 高中奧林匹克物理競賽解題方法  十三、降維法  方法簡介  降維法是將一個三維圖變成幾個二維圖，即應選兩個合適的平面去觀察，當遇到一個空間受力問題時，將物體受到的力分解到兩個不同平面上再求解。由于三維問題不好想像，選取適當的角度，可用降維法求解。降維的優點是把不易觀察的空間物理量的關系在二維圖中表示出來，使我們很容易找到各物理量之間的關系，從而正確解決問題。   賽題精講  例 1：如圖 13 1 所示，傾角 =30的粗糙斜面上放  一物體，物體重為 G，靜止在斜面上。現用與斜面底邊平  行的力 F=G/2 推該物體，物體恰好在 斜面內做勻速直線運  動，則物體與斜面間的動摩擦因數 等于多少？物體勻速  運動的方向如何？  解析 ：物體在重力、推力、斜面給的支持力和摩擦力  四個力的作用下做勻速直線運動，所以受力平衡。但這四  個力不在同一平面內，不容易看出它們之間的關系。我們  把這些力分解在兩個平面內，就可以將空間問題變為平面  問題，使問題得到解決。  將重力沿斜面、垂直于斜面分解。我們從上面、側面  觀察，圖 13 1 甲、圖 13 1 乙所示。  如圖 13 1 甲所示，推力 F 與重力沿斜面的分力 G1 的合力 F為：  GGFF 22212  F的方向沿斜面向下與推力成 角，  則   451tan 1 FG  這就是物體做勻速運動的方向  物體受到的滑動摩擦力與 F平衡，即   2/2GFf  所以摩擦因數：3630c o s 2/2 G GFfN    清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 2 - 例 2： 如圖 13 2 所示，一個直徑為 D 的圓柱體，其側面刻有螺距為 h 的光滑的螺旋形凹槽，槽內有一小球，為使小球能自由下落，必須要以多大的加速度來拉纏在圓柱體側面的繩子？        解析： 將圓柱體的側面等距螺旋形凹槽展開成為平面上的斜 槽，如圖 13 2 甲所示，當圓柱體轉一周，相當于沿斜槽下降一個螺距 h，當圓柱轉 n 周時，外側面上一共移動的水平距離為 22122 atnD    圓弧槽內小球下降的高度為 221gtnh    解、兩式，可得，為使螺旋形槽內小球能自由下落，圓柱體側面繩子拉動的加速度應為 hDga  例 3： 如圖 13 3 所示，表面光滑的實心圓球 B 的半徑  R=20cm，質量 M=20kg，懸線長 L=30cm。正方形物塊 A 的  厚度 h=10cm， 質量 m=2kg，物體 A 與墻之間的動摩擦因  數 =0.2，取 g=10m/s2。求：  （ 1）墻對物塊 A 的摩擦力為多大？  （ 2）如果要物體 A 上施加一個與墻平行的外力，使物體 A 在未脫離圓球前貼著墻沿水平方向做加速度 a=5m/s2 勻加速直線運動，那么這個外力大小方向如何？  解析 ： 這里物體 A、 B 所受的力也不在一個平面內，混起來考慮比較復雜，可以在垂直于墻的豎直平面內分析 A、 B 間壓力和 A 對墻的壓力；在與墻面平行的平面內分析 A 物體沿墻水平運動時的受力情況。  （ 1）通過受力分析可知墻對物塊 A 的靜摩擦力大小等于物塊 A 的重力 。（ 2）由于物體A 貼著墻沿水平方向做勻加速直線運動，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且與摩擦力方向相反。又因為物體受豎直向下的重力，所以推力 F 方向應斜向上。  設物體 A 對墻的壓力為 N，則沿垂直于墻的方向，物體 B 受到物體 A 的支持力大小也為 N，有 ta n, MgNNf 而  又因為 43t a n53s in 所以RL Rh  在與墻面平行的平面內，對物體 A 沿豎直方向  做受力分析，如圖 13 3 甲所示有  mgF sin     清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 3 - 沿水平方向做受力分析，有  mafF cos  由以上各式，解得   )5/5ar cs i n (,520)()( 22 aNmafmgF  因此，對物體 A 施加的外力 F 的大小為 20 5 N，方向沿墻面斜向上且與物體 A 水平運動方向的夾角為 ).5/5arcsin(  例 4： 一質量 m=20kg 的鋼件，架在兩根完全相同的平  行長直圓柱上，如圖 13 4 所示，鋼件的重心與兩柱等距，  兩柱的軸線在同一水平面內，圓柱的半徑 r=0.025m，鋼件  與圓柱間的動摩擦因數 =0.20。兩圓柱各繞自己的軸 線做  轉向相反的轉動，角速度 ./40 srad 若沿平行于柱軸的  方向施力推著鋼件做速度為 sm/050.00 的勻速運動，  求推力是多大？（設鋼件不發生橫向運動）  解析： 本題關鍵是搞清滑動摩擦力的方向，滑動摩擦力  的方向與相對運動的方向相反，由于鋼件和圓柱都相對地面  在運動，直接不易觀察到相對地面在運動，直接不易觀察到  相對運動的方向，而且鋼件的受力不在同一平面內，所以考  慮“降維”，即選一個合適的角度觀察。我們從上往上看，畫  出俯視圖，如圖 13 4 甲 所示。  我們選考慮左邊圓柱與鋼件之間的摩擦力，先分析相對運動的方向，鋼件有向前的速度0 ，左邊圓住有向右的速度 r ,則鋼件相對于圓柱的速度是 0 與 r 的矢量差，如圖中 v，即為鋼件相對于圓柱的速度，所以滑動摩擦力 f 的方向與 v，的方向相反，如圖 13 4 甲所示。  以鋼件為研究對象，在水平面上受到推力 F 和兩個摩擦力 f 的作用，設 f 與圓柱軸線的夾角 為 ，當推鋼件沿圓柱軸線勻速運動時，應有  22000 )(22c o s2 rv vfvvffF      再從正面看鋼件在豎直平面內的受力可以求出 FN，  如圖 13 4 乙所示，鋼件受重力 G 和兩個向上的支  持力 FN，且 G=2FN，  所以把NN FfGF ,2 代入式，得  推力 NrvvmgrvvFF N 2)(22)(2 220 0220 0    清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 4 - 例 5： 如圖 13 5 所示，將質量為 M 的勻質鏈條套在一個表面光滑的圓錐上，圓錐頂角為 ，設圓錐底面水平，鏈條靜止時也水平，求鏈條內的張力。  解析： 要求張力，應在鏈條上取一段 質量元 m 進行研究。因為該問題是三維問題，各力不在同一平面內，所以用“降維法”作出不同角度的平面圖進行研究。  作出俯視圖 13 5 甲，設質量元 m 兩端所受張力為 T，其合力為 F，因為它所對的圓心角 很小，所以2sin2 TF，即 F=T 。         再作出正視圖 13 5 乙，質量元受重力 m g、支持力 N 和張力的合力 F 而處于平衡狀態，由幾何知識可得： 2c o t22c o t MgmgF  所以鏈條內的張力 2c ot22 MgFT  例 6： 雜技演員在圓筒形建筑物內表演飛車走壁。演員騎摩托車從底部開始運動，隨著速度增加，圈子越兜越大，最后在豎直圓筒壁上勻速率行駛，如圖 13 6 所示。如果演員和摩托車的總質量為 M，直壁半徑為 R，勻速率行駛的速率為 v，每繞一周上升的距離為 h，求摩托車勻速走壁時的向心力。          解析： 摩托車的運動速度 v，可分解為水平速度 v1 和豎直分速度為 v2，則向心力速度為  Rva 21 。處理這個問題的關鍵是將螺旋線展開為一個斜面，其傾角的余弦為  22)2(2c os hR Ra ，如圖 13 6 甲所示。      清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 5 - 所以有 vhR Rvv 221 )2( 2c o s 向心加速度為： 222221 )2( 2( hR RRvRva 向心力   )4( 4 22222hR RMvMaF 例 7： A、 B、 C 為三個完全相同的表面光滑的小球， B、 C 兩球各被一長為 L=2.00m 的不可伸和的輕線懸掛于天花板上，兩球剛好接觸，以接觸點 O 為原點作一直角坐標系 zOxyz,軸豎直向上， Ox 與兩球的連心線重合，如圖 13 7 所示。今讓 A 球射向 B、 C 兩球，并與兩球同時發生碰撞。碰撞前， A 球速度方向沿 y 軸正方向，速率為 smvA /00.40 。相碰后，A 球沿 y 軸負方向反彈，速率 Av =0.40m/s。  （ 1）求 B、 C 兩球被碰后偏離 O 點的最大位移量；  （ 2）討論長時間內 B、 C 兩球的運動情況。（忽略空氣阻力，取 g=10m/s2）  解析： （ 1） A、 B、 C 三球在碰撞前、后的運動發生  在 Oxy 平面內，設剛碰完后， A 的速度大小為 Av ， B、  C 兩球的速度分別為 Bv 與 Cv ，在 x 方向和 y 方向的分速  度的大小分別為 Bxv ， CyCxBy vvv ,和 ，如圖 13 7 甲所示，  由動量守恒定律，有 0 BxCx mvmv    ACyByAx mvmvmvmv    由于球面是 光滑的，在碰撞過程中， A 球對 B 球的作用力方向沿 A、 B 兩球的連心線，A 球對 C 球的作用力方向沿 A、 C 兩球的連心線，由幾何關系，得  6tan6tanCyCxByBxvvvv    由對稱關系可知    CyBx vv      圖 13 7 甲  清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 6 - 解、式可得  smvv CyBx /27.1  smvv CyBx /20.2  由此解得    smvv CyBx /54.2  設 C 球在 x>0, y>0, z>0 的空間中的最大位移為 ,OQ Q 點的 z 坐標為 zQ，則由機械能守恒定律可寫出   QC mgzmv 221    所以   gvz CQ 22    代入數值解得   zQ=0.32m 而 Q 點到 Oz 軸的距離為   )2()( 22 QQQ zLzzLLQD  所以 C 球離 O 點的最大位移量   QQ LzODzOQ 222    代入數值，得   mOQ 13.1    由對稱性，可得 B 球在 0,0,0 zyx 的空間的最大位移量 OP 為  mOQOP 13.1    （ 2）當 B、 C 兩球各達到最大位移后，便做回到原點的擺動，并發生兩球間的碰撞，兩球第一次返回 O 點碰撞前速度的大小和方向分別為  smvBx /27.1   方向沿正 x 軸方向  Byv =2.20m/s     方向沿 y 軸方向  smvCx /27.1   方向沿正 x 軸方向  Cyv =2.20m/s     方向沿 y 軸方向  設碰撞后的速度分別為11 CB vv 和，對應的分速度的大小分別為 xBv1 、 yBv1 、 xCv1 和 yCv1 ，由于兩球在碰撞過程中的相互作用力只可能沿 x 軸方向，故碰撞后，沿 y 軸方向的速度大小和方向均保持不變（因為小球都是光滑的），即  yBv1 = Byv    方向沿負 y 軸方向    清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 7 - yCv1 = Cyv    方向沿負 y 軸方向      碰撞過程中，沿 x 軸方向的動量守恒，則   CxBxxBxC mvmvmvmv 11  因為 CxBx vv      所以 xBxC vv 11  即碰撞后兩球在 x 方向的分速度大小也相等，方向相反，具體數值取決于碰撞過程中是否機械能損失。在 A 球與 B、 C 兩球同時碰撞 的過程中，碰撞前，三者的機械能  mmvE AD 821 21     碰撞后三者的機械能  122222 59.6212121 EEmmvmvmvE CBA 表明在碰撞過程中有機械能損失，小球的材料不是完全彈性體，故 B、 C 兩球在碰撞過程中也有機械能損失，即  )(21)(21)(21 222222 1111 YXXXYX BBCCBB vvmvvmvvm   11  由、和 11 三式，和   CxBxCB vvvvxX 11     12  或 CBCB vvvv 11 當 B、 C 兩球第二次返回 O 點時，兩球發生第二次碰撞，設碰撞后兩球的速度分別為22 CB vv 和，對應的分速度的大小分別為 yCxCBB vvvvyX 22, 22 和，  則有yyyy CBCB vvvv 1122    yxxx CBCB vvvv 1122 或    12 BB vv     12 CC vv  由此可見， B、 C 兩球每經過一次碰撞，沿 x 方向的分速度都要變小，即  xxxxxxX CBCBCBCxB vvvvvvvv 332211    而 y 方向的分速度的大小保持不變，即    ytyyyyy CBCBCBCyB vvvvvvvv 332211    當兩球反復碰撞足夠多次數后，沿 x 方向的分速度為零，只有 y 方向的分速度。設足夠多的次數為 n，則有      0nxnx CB vv   13  smvvv ynyny BCB /20.2     14  即最后， B、 C 兩球一起的 Oyz 平面內擺動，經過最低點 O 的速度由 14 式給出，設最高清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 8 - 點的 z 軸坐標為 Qnz ，則   QnCny mgzmv 221   得gvz CnyQn 22  代入數值，得    mzQn 24.0     15  最高點的 y 坐標由下式給出： QnQnQnQn zzLzLLy )2()( 22  代入數值，得： myQn 95.0     16  例 8： 一半徑 R=1.00m 的水平光滑 圓桌面，圓心為 O，  有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是  一條凸的平滑的封閉曲線 C，如圖 13 8 所示。一根不可伸  長的柔軟的細輕繩，一端固定在封閉曲線上某一點，另一端  系一質量為 m=7.5 10 2kg 的小物塊。將小物塊放在桌面上  并把繩拉直，再給小物塊一個方向與繩垂直、大小為 smv /0.40 的初速度，物塊在桌面上運動時，繩將纏繞在立柱上。已知當繩的張力為 T0=2.0N 時，繩即斷開，在繩斷開前物塊始終在桌面上運動。  （ 1）問繩剛要斷開時，繩的伸直部分的長度為 多少？  （ 2）若繩剛要斷開時，桌面圓心 O 到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點的連線正好與繩的伸直部分垂直，問物塊的落地點到桌面圓心 O 的水平距離為多少？已知桌面高度H=0.80m，物塊在桌面上運動時未與立柱相碰。取重力加速度大小為 10m/s2。  解析： （ 1）這一問題比較簡單。繩斷開前，繩的張力即為物塊所受的向心力，因為初速度與繩垂直，所以繩的張力只改變物塊的速度方向，而速度大小不變，繩剛要斷開時，繩的伸直部分的長度可求出。  設繩的伸直部分長為 x，則由牛頓第二定律得： xvmT 200 代入已知數值得： x=0.60m （ 2）選取桌面為分析平面，將物塊的落地點投影到此分析平面上，然后由平拋運動的知識求解。  如圖 13 8 甲所示，設繩剛要斷開時物塊位于  桌面上的 P 點，并用 A 點表示物塊離開桌面時的位置，  先取桌面為分析平面，將物塊的落地點投影到此分析  平面上，其位置用 D 點表示，易知 D 點應在直線 PA 的延長線上， OD 即等于物塊落地點與桌面圓心 O 的  水平距離，而 AD 等于物塊離開桌面后做平拋運動的  水平射程。   圖 13 8  清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 9 - 即   gHvAD 20  故 20222 )2( gHvxRxOD 代入已知數值得物塊落地點到桌面圓心 O 的水平距離  mOD 47.2  例 9： 如圖 13 9 所示是一種記錄地震裝置的水平擺，擺球 m 固定在邊長為 L，質量可忽略不計的等邊三角形的頂點 A 上。它的對邊 BC 跟豎直線成不大的夾角 ，擺球可以繞固定軸 BC 擺動。求擺做微小振動的周期。  解析： 若 m 做微小振動，則其軌跡一定在過 A 點，垂直于 BC 的平面內的以 O 為圓心，OA 為半徑的圓弧上。因此我們可以作一個過 A 點垂直于 BC 的平面 M，如圖 13 9 甲所示，將重力 mg 沿 M 平面和垂直于 M 平面方向分解，則在平面 M 內， m 的振動等效于一個只在重力 sinmggm 作用下簡諧運動，擺長 .2360si n LLL  所以周期     si n2 322 g LgLT        例 10： 六個相同的電阻（阻值均為 R）連成一個電  阻環，六個結點依次為 1、 2、 3、 4、 5 和 6，如圖 13 10 所示。現有五個完全相同的這樣的電阻環，分 別稱為 D1、  D2、 D5。現將 D1 的 1、 3、 5 三點分別與 D2 的 2、 4、  6 三點用導線連接，如圖 13 10 甲所示。然后將 D2 的  1、 3、 5 三點分別與 D3 的 2、 4、 6 三點用導線連接  依次類推，最后將 D5 的 1、 3、 5 三點分別連接到 D4 的 2、 4、 6 三點上。  證明：全部接好后，在 D1 上的 1、 3、兩點間的等效是電阻為 R627724 。  解析： 由于連接電阻 R 的導線，連接環 D 之間的導線均不計電阻，因此，可改變環的半徑，使五個環的大小滿足： D1<D2< <D5. 將圖 13 10 甲所示 的圓柱形網絡變成圓臺形網絡，在沿與底面垂直的方向將此圓臺形網絡壓縮成一個平面，如圖 13 10 乙所示的平面電路圖。         清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 10 -      現將圓形電阻環變成三角形， 1、 3、 5 三點為三角形的頂點， 2、 4、 6 三點為三角形三邊的中點，圖 13 10 乙又變為如圖 13 10 丙所示電路圖。不難發現，圖 13 10 丙所示的電路相對虛直線 3、 6 具有左右對稱性。  可以用多種解法求。如將電路等效為圖 13 10 丁。  A1B1 以內的電阻  RR BA 5411  A2B2 以內的電阻  RRRRRRRRBABABA1914)2()2(111122 A3B3 以內的電阻 RRRR RRRR BA BABA 7152)2( )2( 22 2233 A4B4 以內的電阻 RRRR RRRR BA BABA 2 6 51 9 4)2( )2( 33 3344 A5B5 以內的電阻 RRRR RRRR BA BABA 6 2 77 2 4)2( )2( 44 4455 即為 D1 環上 1、 3 兩點間的等效電阻。  例 11： 如圖 13 11 所示，用 12 根阻值均為 r 的相同的電阻絲構成正立方體框架。試求AG 兩點間的等效電阻。  解析： 該電路是立體電路，我們可以將該立體電路“壓扁”，使其變成平面電路，如圖13 11 甲所示。         考慮到 D、 E、 B 三點等勢， C、 F、 H 三點等勢，則電路圖可等效為如圖 13 11 乙所   清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 11 - 示的電路圖，所以 AG 間總電阻為   rrrrR 65363  例 12： 如圖 13 12 所示，傾角為 的斜面上放一木  制圓制，其質量 m=0.2kg，半徑為 r，長度 L=0.1m，圓柱  上順著軸線 OO繞有 N=10 匝的線圈，線圈平面與斜面  平行，斜面處于豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度  B=0.5T，當通入多大電流時，圓柱才不致往下滾動？  解析： 要準確地表達各物理量之間的關系，  最好畫出正視圖，問題就比較容易求解了。 如  圖 13 12 甲所 示，磁場力 Fm 對線圈的力矩  為 MB=NBIL 2r sin ，重力對 D 點的力矩為：  MG=mgsin ，平衡時有： MB=MG 則可解得： ANBLmgI 96.12  例 13： 空間由電阻絲組成的無窮網絡如圖 13 13 所示，每段電阻絲的電阻均為 r，試求 A、 B 間的等效  電阻 RAB。  解析 ：設想電流 A 點流入，從 B 點流出，由對稱  性可知，網絡中背面那一根無限長電阻絲中各點等電  勢，故可撤去這根電阻絲，而把空間網絡等效為圖 13 13 甲所示的電路。  （ 1）其中豎直線電阻 r分別為兩個 r 串聯和一個 r 并聯后的電阻值，  所以  rrrrr 3232  橫線每根電阻仍為 r，此時將立體網絡變成平面網絡。  （ 2）由于此網絡具有左右對稱性，所以以 AB 為軸對折，此時網絡變為如圖 13 13乙所示的網絡。         其中橫線每根電阻為 21 rr       豎線每根電阻為 32 rrr  AB 對應那根的電阻為 rr 32     此時由左右無限大變為右邊無限大。  （ 3）設第二個網絡的結點為 CD，此后均有相同的網絡，去掉 AB 時電路為圖 13 13 丙所示。再設 RCD=Rn 1（不包含 CD 所對應的豎線電阻）     清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 12 - 則 NBA RR ，網絡如圖 13 13 丁所示。  此時   1111111 333222 nnnnnnn RrrRrRrRrrRrRrrR  當 n 時， Rn=Rn 1    上式變為nnnnn Rr rRrRr rRrR 343 2        由此解得： rrRn 6 213   即 rrRBA 6 213 補 上 AB 豎線對應的電阻 r32 ，網絡變為如圖 13 13 戊所示的電路。  rrrrrrRrRrRBABAAB 21212)321(21)213(221321)213(26213326213323232 2 例 14： 設在地面上方的真空室內，存在勻強電場和  勻強磁場，已知電場強度和磁感應強度的方向是相同的，  電場強度的大小 E=4.0V/m，磁感應強度的大小 B=0.15T，  今有一個帶負電的質點以 v=20m/s 的速度在此區域內沿  垂直場強方向做勻速直線運動，求此帶電質點的電量與  質量之比 q/m 以及磁場的所有可能方向（角度可用反三  角函數表）。  解析： 因為帶負 電的質點做勻速直線運動，說明此質點所受的合外力為零。又因為電場強度和磁感應強度的方向相同，所以該帶電質點所受的電場力和洛侖茲力的方向垂直共面，且必受重力作用，否則所受合外力不可能為零，設質點速度方向垂直紙面向里。由此該帶電質點的受力圖如圖 13 14 所示。由平衡條件有  有水平方向： sinc os BqvEq    在豎直方向： mgB q vEq c o ssi n        清北學堂-高中學業規劃專家 清北學堂 - 13 - 解得： 34tan &