好文檔好好學習 勾股定理中數學思想的運用 一 .勾股定理中方程思想的運用 方程思想 是指：在含有直角三角形的圖形中，求線段的長往往要使用勾股定理，如果無法直接用勾股定理來計算，則需要列方程解決。 例題 1如左圖所示，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC=5cm， BC=10cm，將 ABC 折疊，使點 B 與點 A重合，折痕為 DE，則 CD 的長為（ ） 分析 ：折疊問題是近幾年來中考中的常見題型，解折疊問題關鍵抓住對稱性，圖中 CD 在 tACD 中，由于 AC 已知，要求 CD，只需求 AD，由折疊的對稱性，得 AD=BD，注意到 CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之。 解 ：如右圖所示，要使 A， B 兩點重合，則折痕 DE 必為 AB 的垂直平分線。連結 AD，則 AD BD。設 CD x，則 AD=BD=10 x在 RtACD 中，由勾股定理，得 故選 D。 點撥 ：勾股定理的數學表達式是一個含有平方關系的等式，求線段的長時，可由此列出方程， 運用方程思想分析問題和解決問題，以便簡化求解。 二 .勾股定理中分類討論思想的運用 好文檔好好學習 分類討論思想 是指：在解題過程中，當條件或結論不確定或不惟一時，往往會產生幾種可能的情況，這就需要依據一定的標準對問題進行分類，再針對各種不同的情況分別予以解決。最后綜合各類結果得到整個問題的結論。分類討論實質上是一種 “ 化整為零，各個擊破，再積零為整 ” 的數學方法。 例題 2已知 ABC 中， AB=20， AC=15， BC 邊上的高為 12，求 ABC 的面積。 分析 ：應分 ABC 是銳角三角形或鈍角三角形兩種情況分別求之。 解 ： AD 是 ABC 的高，由勾股定理，得 BD2 = AB2 AD2 = 202 122 = 256, BD = 16 CD2 = AC2 AD2 = 152 - 122 = 81, CD = 9 （ 1）若 C 為銳角，如圖（ 1）所示， 則 BC = BD + CD = 16 + 9 = 25 （ 2）若 C 為鈍角，如圖（ 2）所示， 則 BC = BD CD = 16 9 = 7 好文檔好好學習 即 ABC 的面積為 150 或 42 點撥 ：在一些求值計算題中，有些題目沒有給出圖形，當畫出符合題意的圖形不惟一時，要注意分情況進行討論，避免漏解。 三 .勾股定理中類比思想的運用 類比思想 是數學學習的重要發現式思維，它是一種學習方法，同時也是一種非常重要的創造性思維。它通過兩個已知事物在某些方面所具有的共同屬性，去推測這兩個事物在其他方面也有相同或類似的屬性。從而大膽猜想得到結論 (必要時要加以證明 )。 例 題 3如圖 ，分別以直角三角形 ABC 三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用 S1、 S2、 S3表示，則不難證明 S1=S2+S3 （ 1）如圖 ，分別以直角三角形 ABC 三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用 S1、 S2、 S3表示，那么 S1、S2、 S3之間有什么關系？ (不必證明 ) （ 2）如圖 ，分別以直角三角形 ABC 三邊為邊向外作三個等邊三角形，其面積分別用 S1、 S2、 S3表示，請你確定 S1、 S2、 S3之間的關系并加以證明 分析 ：從同學們熟悉的勾股定理入手， 容易得證， 中要求出等邊三角形的面積。 解 ：設直角三角形 ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 的長分別為 、 b、 c，則 c2 = 2 + b2 （ 1） S1 = S2 + S3 （ 2） S1 = S2 + S3證明如下：顯然， 點撥 ：本題從特殊到一般，從已知到未知，類比勾股定理的探究過程，其關鍵就在于理解勾股定理當然，學習了相似三角形的知識后，還可以繼續探究：分別以直角三角形 ABC 三邊為邊向外作三個一般三角形，上述結論是否還成立呢？ 好文檔好好學習 四 .勾股定理中整體思想的運用 整體思想 是指：對于某些數學問題，如果拘泥常規，從局部著手， 則難以求解；如果把問題的某個部分或幾個部分看成一個整體進行思考，就能開闊思路，較快解答題目。 例題 4在直線 l 上依次擺放著七個正方形（如圖）已知斜放置的三個正方形的面積分別是 1、 2、 3，正放置的四個正方形的面積依次是 S1、 S2、 S3、 S4，則 S1 S2 S3 S4=_ 分析 ：本題不可能求出 S1、 S2、 S3、 S4，但我們可以利用三角形全等和勾股定理分別求出 S1 S2、 S2 S3、 S3 S4 解 ：易證 RtABC RtCDE AB = CD 又 CD 2 + DE2 = CE2,而 AB2 = S3,CE2 = 3,DE2 = S4 S 3 S4 = 3，同理 S1 S2 = 1， S2 S3 = 2 S 1 S2 S2 S3 S3 S4 = 1 2 3 = 6，即 S1 S2 S3 S4 4 點撥 ：化零為整，化分散為集中的整體策略是數學解題的重要方法，利用整體 思想，不僅會使問題化繁為簡，化難為易，而且有助于培養學生的創造性思維能力。 五 .勾股定理中數型結合思想的運用 所謂 數形結合思想 ，就是抓住數與形之間本質上的聯系，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過“ 以形助數 ” 或 “ 以數解形 ” ，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到迅速解題的目的。 例題 5在一棵樹的 10m 高處有兩只猴子，其中一只爬下樹直奔離樹 20m 的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，如果兩只猴子經過的距離相等，問這棵樹有多高？ 分析 ：根據題意畫出圖形，再在直角三角形中運用勾股定理構建方程求解。 好文檔好好學習 解 ：如右圖所示， D 為樹頂， AB = 10m， C 為池塘， AC = 20m 設 BD 的長是 xm，則樹高（ x + 10） m AC + AB = BD + DC ， DC = 20 + 10 x 在 ACD 中 A = 90 ， AC 2 + AD2 = DC2 20 2 +（ x + 10） 2 = （ 30 x） 2，解得 x = 5 x + 10 = 15，即樹高 15 米 點撥 ：勾股定理本身就是數形結合的一個典范，它把直角三角形有一個直角