學科：數學教學內容：極限經點答疑（一）【學法旨要】1本章學習的目標是什么?(1)從數列的變化趨勢理解數列極限的概念，會判斷一些簡單數列的極限，并了解數列極限的-n定義；掌握數列極限的四則運算法則，會用它求一些數列的極限(2)從函數的變化趨勢理解函數的極限概念，知道基本初等函數在其定義域內每一點的極限值等于該點的函數值；掌握極限的四則運算法則；了解兩個重要極限(3)了解函數在某一點處連續的意義和初等函數在定義域內每點處都連續；會從幾何直觀理解閉區間上連續函數有最大值與最小值2學好本章知識的關鍵在哪里?學好本章的關鍵就在于理解數列極限和函數極限的概念只有深刻理解概念，才能在此基礎上解決有關極限的問題【經點答疑】1什么是數列的極限?在引入數列極限的精確定義之前，我們先看一句中國古語：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”這句話的意思是說：“有一根一尺長的木棒，每天截下前一天留下的一半，永遠也截不完”我們來考察每天所剩余的木棒長度如何隨著天數的改變而變化因為日取其半，所以第1天剩余的木棒長度為，第2天截下尺的一半，所以剩余的木棒長度為，依此類推，第n天剩余的木棒長度為這個式子反映了每天所剩余的木棒長度隨著天數改變而變化的規律它具有這樣的變化趨勢：當天數n無限增大時，剩余木棒長度以0為極限，并記為我們又以另一方面考察，截下的木棒總長度如何隨著天數的改變而變化第1天截下的木棒總長度為，到第2天截下的木棒總長度為，依此類推，到第n天截下的木棒總長度為這個式子就反映了截下的木棒長度如何隨著天數而改變的變化規律它具有這樣的變化趨勢：當天數n無限增大時，截下的木棒總長度無限接近于常數1，這時我們就說，當天數n趨向于無窮大時，截下的木棒總長度以1為極限，并記為如果我們把每天所剩余的木棒長度數值與截下的木棒總長度數值分別依次排列起來，那么可以得到兩個數列：這時(1)式和(2)式就分別是和的數列展開式這兩個數列中的項具有這樣的變化趨勢：當項數n無限增大時，數列(1)中的項無限接近于常數0，而數列(2)中的項無限接近于常數1，這時我們就說數列(1)以0為極限，而數列(2)以1為極限從上面兩個具體數列極限的例子的共同特點，可以抽象出數列極限的描述性定義：如果數列中的項具有這樣的變化趨勢：當n無限增大時，項無限接近某一個常數a，那么我們就說，數列以常數a為極限，且記為關于數列極限概念的這種描述，只能算直觀的描述，雖然有直觀易懂的特點，但在運用極限進行推理時將會碰到困難，且利用“n無限增大”和“無限接近于某一個常數a”這些未加說明的直觀描述來判斷，在邏輯上是有毛病的，也容易發生錯誤，所以還必須對數列極限作確切的刻畫，把直觀描述上升為精確的定義數列極限的精確定義：上面關于數列極限的直觀描述中，有一個涉及到極限本質的問題，這就是：“無限接近于常數a”的真正含義是什么?弄清這點是掌握數列極限概念的關鍵，用句俗話來說，“無限接近于常數a”的意思是：“可以任意地靠近a，希望有多近就能有多近，只要n充分大時，就能達到我們希望的那樣近”換句話來說，就是指：“距離可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要n充分大時，就能達到我們希望的那樣小”現拿數列來說明，若取作標準,那么只要n3，就有；如果認為還不夠小，要選作標準，那么只要n6,就有；如果嫌仍不夠小，要選更小的作標準，那么只要n9，就有；(如果想選再小的作標準，那么只要n13，就有.)總之，任意給出一個無論多么小的正數作標準，只要這個一經給定，那么對數列來說，總可以確定一項(或者說總存在一項，設為第n項)使得隨后的所有項(即滿足nn的一切)，都有上述過程可以概括在如下的表格中：給定正數總存在一個項數使得當時都有3n36n69n913n13nnn這個表格的最后一行是值得我們注意的，它把數列“無限接近于1”的本質確切地刻畫出來了，把它概括為一般情形，就得到用和n描述的數列極限的精確定義(簡稱為“-n”定義)：設有數列，并設a是一個常數如果任意給定一個(無論多么小的)正數，總存在一個正整數n，使得當nn時，都有成立，則稱數列以常數a為極限，且記為或者記為如果數列不存在極限，則稱數列發散注：是希臘字母，讀作epsiln；是拉丁文(極限)一詞的前三個字母，通常按英文limit(極限)一詞讀音現在我們對極限的定義作幾點說明：(1)關于正數，定義中的正數是一個距離指標，用來刻畫與a的接近程度具有二重性：是任意性，即可以根據需要任意選取，這樣，由不等式才能表明數列無限接近于a；是相對固定性，雖然可以任意給定，但一經給定就相對固定下來，作為一個固定的正數看待正數的二重性體現了一個數列逼近它的極限時要經歷一個無限過程(這個無限過程通過的任意性來體現)，但這個無限過程又要一步步地實現，而且每一步的變化都是有限的(這個有限的變化通過的相對固定性來體現)(2)定義中的正整數n是一個特定的項數，對于這個項數，重要的是它的存在性，它是在固定后才能確定的，所以它依賴于大體上說來，變小時，n就變大，所以可以把n看成是的函數要注意，對于一個固定的來說，合乎定義要求的正整數n不是惟一的例如數列的極限為0，即，取定存在自然數，當n100時有，顯然，對取定的，比100大的任何一個自然數都能起到的作用如取，當，當然也有一般情況，對任意0，總存在自然數n，當nn時，有，于是當時，當然也有.由此可見，在極限的定義中，“總存在自然數n”這段話，在于強調自然數n的存在性因此，在極限的證明題中，常取較大的自然數n此外，定義中的不等式指的是下面一串不等式：.定義要求這一串不等式都成立至于下面n個不等式，并不要求它們一定成立：(3)若是任意給定的數，不難看到2，5，也都是任意給定的數盡管它們在形式上與有差異，但在本質上它們與起同樣的作用今后在極限的證明題中，常應用與等價的其他形式2數列極限的幾何意義是什么?學習數列極限的幾何解釋，將有助于我們對數列極限概念有更深的理解由于數列的每一項在數軸上可以用一個點來表示，因而數列的每一項在數軸上就對應一個點列先把數列的每一項和a在數軸上對應的點表示出來，再作出以點a為中心，為半徑的開區間(a-，a+)由于不等式等價于，所以數列極限精確定義的幾何表示為：數列以a為極限，就是對任意給定的一個開區間(a-，a+)，第n項以后的一切數全部落在這個區間內，如圖2-1：(以后的一切項全部落在有陰影的區間中)圖上的那個開區間(a-，a+)，我們有時也稱它是a點的鄰域，記為(a，)這樣的定義可以用鄰域把它敘述出來：對任意給定的鄰域(a，)，一定存在正整數n，當nn時，這個定義和剛才已經給出的定義是一樣的，這是因為和是一回事3收斂數列是否可以進行四則運算?可以若數列與皆收斂(數列與的極限存在)，則可以對它們進行加、減、乘、除的四則運算我們看以下三個運算法則：若數列與皆收斂，則數列也收斂，且若數列與皆收斂，則數列也收斂，且若數則，皆收斂，且則數列也收斂，且這三個運算法則指出：若兩個數列收斂，先對它們進行四則運算再進行極限運算等于先對數列進行極限運算再進行四則運算這表明四則運算與極限運算是可以交換次序的這兩種不同的運算交換次序將給計算極限帶來很大的方便，我們可以利用這三個運算法則計算以下幾道例題例1 考察其中k，都是正整數，并且是都思路啟迪 原極限式中分子與分母各項式的極限都不存在，所以應將其變形，變成分子與分母極限都存在的形式規范解法 應用和與差的運算，得：再應用除法運算，得：例2 設思路啟迪 由于的極限都不存在，所以應先將變形，使之變成極限可求的數列規范解法 因為用除分子和分母，得，而，由得知，再應用除法運算，即求得4什么叫無窮小量,無窮大量?設是一個數列，若對于任意給定的0，總存在正整數n，當nn時，,則稱為無窮小量，記為或要注意的是不能把無窮小量理解為很小的量設是一個數列，如果對任意給定的co，總存在正整數n，當nn時必有我們就稱是一個無窮大量，記為，或要注意的是無窮大量是一個變量，在它的變化過程中，其絕對值隨著n的增大而無限制增大，切不可把它和很大的量混淆起來無窮大量的幾何解釋：所謂是無窮大量，就是對任意給定的兩個開區間(r，+)及(-，r)，一定有這樣的一項(第n項)，自這項以后的一切項(即nn的)全部都落在這兩個開區間內，如圖2-2對于無窮大量，有時我們還要從變量的變化趨勢是保持正號還是保持負號來對無窮大量加以區分，有：(1)正無窮大量：設是無窮大量，并且自某項n以后(即nn)，有，我們就說是正無窮大量，記為或正無窮大量也可以這樣敘述：對任意給定的c0，總存在n，當nn時有，就稱是正無窮大量(2)相仿地可以給出負無窮大量的概念5無窮大量與無窮小量有什么關系?無窮大量和無窮小量之間有著密切的關系，可以用下面的定理表達出來定理：若為無窮大量，則它的倒數所成的數列為無窮小量反之，若為無窮小量，且，則它的倒數所成的數列為無窮大量證明：因是無窮大量，根據定義，對任意給定的co，總可找到正整數n，當nn時，有，從而有因為c是任意的，所以也是任意的，于是就證明了是無窮小量定理的第二部分可以同樣證明6無窮大量有哪些運算法則?(1)設和都是正(或負)無窮大量，那么它們的和也是正(或負)無窮大量證明：我們只證明正無窮大量的情形對任意給定的c0，因，所以存在，當時有，又因，所以還存在，當時，有現在取，那么當nn時，就有，這便證明了要注意的是，任意兩個非同號的無窮大量之和可能不是無窮大量，例如n和-n都是無窮大量，但它們的和是0，0，顯然不是無窮大量(2)設是無窮大量，而是有界數列(后面有對有界數列的說明)，那么它們的和是無窮大量(3)設是無窮大量，又設數列具有以下特性，存在某個n，當nn時，有，那么它們的乘積是無窮大量證明：對任意給定的c0，由于，故存在，當時，有又因為當nn時，有，這時取當時，就有，而0是一個定數，這就證明了推論：設是無窮大量，收斂于a(a0)，那么它們的乘積是無窮大量例 設思路啟迪 和前面的例題一樣，原極限式的分子和分母都不存在極限，所以應先將其變形，化成極限可求的情形規范解法 我們可以把寫成： 因為，又因為，所以，由推論得.將這個例子和前面的例子合并起來，我們便得到這里當然要假定點評 以后碰到類似求的問題，可以直接套用最后的結論.7什么是函數的極限?實際上，數列就是定義域為自然數集的函數，在每一個自然數n處的函數值f(n)就是，即，如果理解了這種特殊函數形式的極限，那么學習函數極限的概念也就可以觸類旁通，因為數列極限已包含著一般函數極限的基本思想與數列不同的是，函數y=f(x)的自變量有多種變化過程一般來說，自變量x的變化趨勢有兩種情形：一種是x無限接近于固定值；另一種是x的絕對值無限增大，也就是x沿數軸的正向和負向無限遠離原點，下面就這兩種不同的情形分別討論函數的極限引例1 已知自由落體的運動方程是，求在時刻t=1秒時的瞬時速度解 這里我們遇到了兩個問題：(1)什么叫做在時刻t=1秒時的瞬時速度；(2)怎么求出在時刻t=1秒時的瞬時速度在中學物理課本中，我們知道，當質點做勻速直線運動時，速度是位移與時間之比：它可以代表質點在任何時刻的速度但是，自由落體并不是作勻速直線運動的，因此不能直接利用公式來解決問題，為了解決所提出的問題，要用到平均速度的概念我們任意取一個很短的時間間隔1，t，把質點在這個時間間隔內所作的運動近似地看成是勻速的我們可以想象的到，當時刻t越來越接近1秒(也就是時間間隔1，t越短時)，質點運動越接近于勻速運動，從而這段時間間隔的平均速度越接近于質點在時刻t=1秒時的瞬時速度根據上述想法，首先求出所考慮的時間間隔內，質點運動的平均速度，這個速度是依賴于時刻t的，我們記為利用公式可以求得：這個式子反映了平均速度隨著時刻t的變化規律我們看到，平均速度具有這樣的變化趨勢：當時刻t無限接近于1秒，但t1秒時，平均速度無限接近于9.8米/秒這時我們說，當時刻t趨向于1秒時，平均速度以9.8米/秒極限,并記為我們把這個極限定義為自由落體在時刻t=1秒時的瞬時速度引例2 考察函數解 我們注意，這個函數在點x=1是沒有定義的，對這個函數作圖象，并列表如下：x0.90.990.99911.0011.011.1y1.91.991.99922.0012.012.1從上表和圖象可以看出：函數在點x=1的鄰近具有這樣的變化趨勢：當x無限接近于1，但x1時，函數的值無限接近于2這時我們說，當x趨向于1時，函數以2為極限,且記為從上面給出的兩個具體函數極限的例子的共同特點，可以抽象出當時函數f(x)的極限的描述性定義：如果函數y=f(x)在點的鄰近具有這樣的變化趨勢：當x無限接近于，但時，f(x)無限接近于一個常數a，那么我們說，當時，函數f(x)以a為極限，且記為這個式子中的符號“”讀作“x趨向于”，它表示x無限接近于的變化過程應當注意，在一般討論函數極限時，只要求函數f(x)在某個點的空心鄰域(即點的鄰域，但不包含點)內有定義，因此通常是限制x不等于的，并不要求函數f(x)在這一點一定要有定義比如，在上面例1中，當t=1時，平均速度就失去意義，因為只有在一段時間間隔內，才有平均速度可言；又如，在例2中，當x=1時，所討論的函數也沒有定義因此，在研究函數f(x)的極限時；我們總不去考慮這一點的函數值情況無論f(x)在點是否有定義，只要當x無限接近于，但時，f(x)無限接近于常數a，那么數a就是函數f(x)當x趨向于時的極限上面關于函數極限概念的描述，也只是個直觀的描述，在這個直觀的描述中，涉及到兩個“無限接近”(x無限接近于和f(x)無限接近于a)，它們的真正含義是什么呢?弄清這些是掌握函數極限概念的關鍵所謂“當x無限接近于，但時，f(x)無限接近于a”的意思是：f(x)可以任意靠近a，希望有多近就能有多近，只要x充分靠近,但不等于時，就可以使f(x)與a靠近到我們希望的那樣近換句話說，就是指：“|f(x)-a|可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要充分小，但不為0(即時，就可以使|f(x)-a|達到我們希望的那樣小”我們可以用例1涉及的平均速度來說明，|f(x)-a|就相當于若取0.1作標準，那么只要時，就有若認為0.1不夠小，就選取0.01作標準那么只要時，就有若嫌0.01仍不夠小，要選更小的0.001作標準那么只要,就有若想選0.0001作標準只要，就有總之，任意給出多么小的正數作標準，只要這個一經給定，那么對平均速度來說，總能確定(或說總存在)一個正數，使得當0|t-1|時，都有上述過程可以概括在如下表格中：給定正數總存在一個正數使得當時都有0.10.010.0010.00010|t-1|這個表格的最后一行很關鍵，它把“當t無限接近于1，但t1時，無限接近于9.8”的本質確切地刻畫出來了，把它概括為一般情形，就得到和描述的函數極限的精確定義(簡稱-定義)定義：設函數y=f(x)在的某個空心鄰域內有定義，并設a是一個常數，如果任意給定一個(無論多么小的)正數，總存在一個正數，當時，都有|f(x)-a|0，總存在0，使得當時，都有|f(x)-a|極限有明顯的幾何意義，已知不等式與等價，又已知不等式|f(x)-a|與a-f(x)0：任意以二直線y=a為邊界的帶形區域總存在0：總存在(以點為心的)半徑0當時：當點x位于以點為中心，以為半徑的去心鄰域之中有|f(x)-a|o，使0|t-1|時，即可規范證法 因為極限式左邊又因為我們不一定要找到滿足定義的最大的，因此不妨只就t=1的某一鄰域來考慮例如取|t-1|1即0t2，這時2|t+2|4，于是，|t+2|t-1|4|t-1|,而時，上式右端就小于,因此只要取等于1和兩數中最小的即可，亦即取這時，當0|t-1|時，就有|t-1|1和|t-1|，因此|t+2|t-1|4|t-1|和4|t-1|0，要使，只要取就可以了亦即當x進入區間時，|y-1|m時，|f(x)-a|0，要使,只要就可以了因此，對于任意給定的0，取,則當|x|m時，有時，我們還需要區分x趨于無窮大的符號如果x從某一時刻起，往后總是取正值而且無限增大則稱x趨于正無窮大，記作x+，此時定義中，|x|m可改寫為xm，如果x從某一時刻起，往后總取負值且|x|無限增大，則稱x趨于負無窮大，記作x-，此時定義中的|x|m可改寫成x0，總存在mo，使當xm時，即可規范證法 設對任意給定的0，要使，只要，即就可以了因此，對于任意給定的10，取,則當xm時，恒成立，所以當x時，f(x)以a為極限的幾何意義是：對于任意給定的正數(無論多么小)，在坐標平面上作兩平行直線y=a-與y=a+，兩直線之間形成一個帶形區域不論多么小，即不論帶形區域多么狹窄，總可以找到m0，當點(x，f(x)的橫坐標x進入區間(-，-m)u(m，+)時，縱坐標f(x)全部落入區間(a-,a+)內此時y=f(x)的圖形處于帶形區域內越小，則帶形區域越狹窄，如圖27所示8什么是函數左極限與右極限?前面講了時函數f(x)的極限，在那里x是以任意方式趨于的但是，有時我們還需要知道x僅從的左側或僅從的右側趨于時，f(x)的變化趨勢于是，就要引進左極限與右極限的概念例如，函數，圖形見圖2-8容易觀察出，當x從0的左側趨于0時,f(x)趨于1；而當x從0的右側趨于0時，f(x)趨于0我們分別稱它是x趨于0時的左極限與右極限再考察當x趨于0時的極限由于函數的定義域為0，+)因此只能考察其右極限對,由于其定義域為(-，0，因此，當x趨于0時，只能考察其左極限定義：如果當x從的左側趨于時，f(x)以a為極限，即對于任意給定的0，總存在一個正數，使時，恒成立，則稱a為時f(x)的左極限.記作或如果當x從的右側趨于時，f(x)以a為極限，即對于任意給定的0，總存在個正數，使當時，|f(x)-a|恒成立，則稱a為時f(x)的右極限，記作或根據左、右極限的定義，顯然可以得到下列定理例1 設思路啟迪 要看當x0時，f(x)的極限是否存在，就應先求出x0時f(x)的左、右極限，并看f(x)的左、右極限是否相等若相等，則極限存在；反之，則極限不存在規范解法 當x0時，；而當x0時，左、右極限都存在，但不相等所以，由上面的定理可知，不存在例2 研究當x0時，f(x)=|x|的極限思路啟迪 因為f(x)=|x|，所以應對f(x)分情況討論，得到f(x)為一個分段函數，再按照例1的方法討論f(x)的極限規范解法 已知，可以證明，所以，由上面的定理得9怎樣計算函數的極限?要計算函數的極限，需知道函數極限的運算法則，它們的證明完全和數列的情形相仿函數極限的四則運算法則：如果那么這些法則對于x時的情況仍然成立由以上法則易得(c是常數)，(n是正整數)利用這些法則求下面幾個函數的極限例1 求思路啟迪 由于該極限中的每一項都存在極限，所以可以用極限四則運算法則中和式的極限等于極限的和來計算規范解法 點評 若極限式各項中，有一項或幾項的極限不存在，就不能直接利用函數極限的四則運算法則來做例2 求思路啟迪 與例1類似規范解法 因為點評 由例1,例2可以看出:若f(x)為多項式函數或當時分母極限不為0的分式函數,根據極限運算法則可以得出例3 求思路啟迪 將分子分母同除以,使分子分母的極限存在規范解法 將分子分母同除以,得例4 求思路啟迪 將分子有理化,使分子分母極限存在例5 已知求思路啟迪 要求,應先看其左,右極限,比較兩極限是否相同,若相同,則極限為其左,右極限值,若不相同,則極限不存在10什么是函數兩個重要極限?證明:首先證明如下圖2-9, 是以點為心,半徑為1的圓弧，過a作圓弧的切線與ob的延長線交于點c設dob=x(按弧度計算)，則顯然，aob的面積扇形aob的面積aoc的面積即或sinxx0除之，得或.，(根據夾擠定理，參看后面知識鏈接部分第4個問題中的方法1)其次，當x0時，設x=-y,當時，有，則例1 求思路啟迪 將tanx寫成，代回原式，使之出現這個重要極限規范解法例2 求思路啟迪 將kx看成一個新變量t，即令t=kx，則x0時，t0規范解法例3 求思路啟迪 先將1-cosx用半角公式化成，就可以利用特殊極限規范解法 注意：我們在利用時，一定要注意x的趨向形式，x是趨向于0的，若x是趨向于無窮的或者x是趨向于除0以外的其他值，則該極限等式就不一定成立了下面大家來看另一重要極限我們先討論x+的情形因xx0,解不等式取,于是，對任意0，總存在(其中0)，當時，有，即正弦函數sinx在連續，因為是r上任意點，所以正弦函數sinx在r上是連續函數同理可知，余弦函數cosx在r上也是連續函數12什么是函數在一個區間上的連續性？如果函數f(x)在開區間(a，b)內每一點連續，則稱函數f(x)在開區間(a，b)上連續；如果函數f(x)在閉區間a，b內每一點(非端點)都連續，且函數f(x)在左端點a右連續，在右端點b左連續，則稱函數f(x)在閉區間a，b上連續一般地，對任何個區間i，如果函數f(x)在區間i內的每一點(非端點)都連續，且當區間i含有端點時，函數f(x)在端點處單側連續(在左端點指的是右連續，在右端點指的是左連續)，則稱函數f(x)在區間i上連續例如，函數f(x)=sin x在區間(-,+)內每一點都是連續的，因而可說函數f(x)=sinx在區間(-,+)上連續又如，函數在區間0，+)內的每一點(不包括端點x=0)都是連續的又在區間的左端點x=0滿足，則在x=0點右連續，因此可說函數在區間(0,+)上連續利用連續函數的定義和性質，可以證明，切基本初等函數在它們的定義域內都是連續的計算極限若已知函數f(x)是初等函數，而a又屬于函數f(x)的定義域，則函數f(x)在點a連續，根據連續定義，“”與“f”可交換次序，即，于是，計算連續函數f(x)在點a的極限就變成了計算函數f(x)在點a的函數值f(a)例 思路啟迪 可以先將極限式的分子，分母分解，這就會出現重復項x-3由于函數在點3的極限只與3附近點x的函數值變化有關與點3無關，即x3或x-30，因此可以消去分子與分母中的公共因式x-3規范解法13求函數極限有哪些方法?在某一極限過程中,參加極限四則運算的每一個極限都必須有相同的過程,而且每個極限都必須存在(分母不為零)才能運算我們通過下面幾道題來總結一下求函數極限的方法例1 求思路啟迪 由于f(x)與g(x)是在的某鄰域內有定義的初等函數,所以也是在的某鄰域內有定義的初等函數根據初等函數的連續性可求出該極限規范解法 由初等函數的連續性，得例2 求思路啟迪 由于當x2時,分子、分母的極限都存在，并且分母的極限不為0，所以可以將x2直接代入分子、分母，根據初等函數的連續性，分別求出分子分母的極限，再求商即可規范解法 例3 求思路啟迪 由于將x-2代入分母，可得分母極限為0，所以此題不能用直接入法根據觀察,可以將分子分母分解因式,都可以分解出極限為0的x+2,約去公因式即可求極限了規范解法 例4 思路啟迪 因為，所以不能直接用求函數極限差的運算法則,可將函數通分變形后再求極限規范解法 例5 求思路啟迪 由于分子,分母的極限都是無窮大,所以分子、分母同除以最高次項，使分子、分母的極限都存在規范解法 點評 一般地例6 求思路啟迪 求函數極限時，若碰到分子，分母中有根號的情形，經常會把分子或分母有理化，使原極限可求規范解法 例7 求思路啟迪 分子，分母中分別有，直接求極限不好求，可以采用變量規換的方法，令規范解法 例8 求思路啟迪 出現規范解法一 規范解法二 規范解法三 學科：數學教學內容：極限知識拓展【知識拓展】收斂數列有幾個重要性質，它們可表現為下面幾個定理：證明：假設數列有兩個極限a與b，即與，根據數列極限定義，對于任意的0分別有：存在自然數當時，有；存在自然數，當時，有取，當nn時，同時有與，于是當nn時，有因為a與b是常數，2是任意小的正數，所以只有a=b，上述不等式才能成立，即數列的極限是惟一的定理2：（有界性）若數列收斂，則有界，即存在正數m，對任意自然數n有證明：設，根據數列極限的定義，取定（可以根據需要任意選取），存在自然數n，當nn時，有因為，所以當nn時，有或即在數列中不滿足不等式的項充其量不過是前n項：.令于是，對任意自然數n，有定理2指出收斂的數列必有界反之，有界數列不一定收斂例如，已知數列是有界的，但它卻是發散的換句話說，有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件2什么是有界數列?定義：若存在兩個數a，b(設a0)都是的上界這表明上界并不是惟一的，下界也是如此(2)對于數列，如果存在正整數n，當nn時，總有,我們就說數列往后有界要注意，往后有界一定是有界的，這是因為在n項之前只有有限多個數在這有限個數中必有最大的數和最小的數，設，那么min(a，)和max(b，)就是整個數列的下界和上界(3)有界數列也可以這樣敘述：若存在一個正數m，使得，就稱是有界數列或者也可以這么說，若存在原點的一個m鄰域(o，m)，使得所有，就稱是有界數列，這種敘述和上面所給出的定義顯然是等價的3什么是單調有界數列?設是一個數列，如果我們就說這個數列是單調增加(上升)的如果我們就說這個數列是單調減少(下降)的例如就是一個單調減少的數列如果在上面數列中等號都不成立，就稱它是嚴格單調增加或嚴格單調減少的4數列的收斂判別法有哪法?方法1若存在自然數n，當nn，總有，且，則注：方法1被稱為夾擠定理例1 計算思路啟迪只要找到兩個數列與，使則規范解法 方法2單調有界數列存在極限例2 證明數列收斂，并求它的極限思路啟迪 首先對于這種隨n的增大，數列的項