第一章 質點運動學 Particle Kinematics,1.1 質點運動的描述 Description of Particle Motion,一、 質點運動學的基本概念,質點：有質量而無形狀和大小的幾何點。 突出了質量和位置,質點系: 若干質點的集合。,x,y,z,O,參照物,參考系：參照物 + 坐標系 + 時鐘,(1) 運動學中參考系可任選。,參照物：用來描述物體運動而選作參考的物體或物體系。,P,(2) 參照物選定后，坐標系可任選。,(3) 常用坐標系,直角坐標系（ x , y , z ） 球坐標系（ r, ）,柱坐標系（ , , z ） 自然坐標系 ( s ),二、位置矢量、位移,1. 位置矢量,表示。,位矢的大小為：,位矢的方向用方向余弦表示，則有：,參考物,質點某時刻位置P (x,y,z) 由位矢,運動學方程,直角坐標下,已知運動學方程，可求質點運動軌跡、速度和加速度,意義:,2. 位移 路程,位移矢量反映了物體運動中位置 ( 距離與方位 ) 的變化。,討論,(1)位移是矢量（有大小，有方向）,位移與路程的區別,(2),與r 的區別,O,p,Q,O,分清,(3)位移與參考系選取有關。,直角坐標表示位移：,x,y,z,O,時間 t 內質點的位移為,三、速度,( 描述物體運動狀態的物理量 ),1. 平均速度,O,2. 瞬時速度,P,Q,Q,討論,(1) 速度的矢量性、瞬時性和相對性。,(2) 注意速度與速率的區別,直角坐標系表示：,平均速度,瞬時速度,速度的大小為,速度的方向用方向余弦表示為,四、加速度,1. 平均加速度,2. 瞬時加速度,說明：,(1) 加速度反映速度的變化（大小和方向）情況。,P,Q,O,(2) 加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一面。,大小為,方向用方向余弦表示為,1.2 質點運動學的二類問題 The Two-Class Problem of Particle Kinematics,一、 第一類問題,已知運動學方程，求,(1) t =1s 到 t =2s 質點的位移,(3) 軌跡方程,(2) t =2s 時,已知一質點運動方程,求：,例：,解：,(1),(2),(3),當 t =2s 時,由運動方程得,軌跡方程為,例：,一質點的運動方程為,求：t時刻質點運動的加速度？,解：,解：,已知,求：,和運動方程,代入初始條件,代入初始條件,二、 第二類問題,已知加速度和初始條件，求,例：, t =0 時，,由已知有,例：一質點從X=0處以v=v0沿X軸運動，已知加速度 ，求:(1) t 時刻質點運動的速度及位置。 (2) X處質點的速度.,解：,兩邊積分：,（分離變量）,消去時間 t 得:,另解:,兩邊積分,例：,一人站在崖上, 用繩子通過一滑輪向岸邊拉一條小船, 如圖, 假設崖高為h , 拉繩的速率為v0 , 求：船靠岸的速率 v 和加速度的大小a 。,h,x,解：,l,一、平面自然坐標系,平面內一質點運動,運動方程為：,切向單位矢量 法向單位矢量,1-3 平面自然坐標系中的速度、加速度 Velocity and Acceleration in the Planar Natural Coordinates,二、平面自然坐標系中的速度,三、平面自然坐標中的加速度,切向加速度: 描述速度大小的變化快慢,法向加速度: 描述速度方向變化的快慢,討論,在一般情況下,其中 為曲率半徑，,引入曲率圓后，整條曲線就可看成是由許多不同曲率半徑的圓弧所構成,的方向指向曲率圓中心,一汽車在半徑R=200 m 的圓弧形公路上行駛，其運動學方程為s =20t - 0.2 t 2 (SI) .,根據速度和加速度在自然坐標系中的表示形式，有,例,汽車在 t = 1 s 時的速度和加速度大小。,求,解,求拋體運動過程中最高點的曲率半徑？,如B 點,思考:,1.4 圓周運動 Circular Motion,按右手法則確定 的正負變化,一、 角位置與角位移,質點作圓周運動的角速度為,描述質點轉動快慢和方向的物理量,角位置（運動學方程),當, 為質點圓周運動的角位移,二、 角速度,三、角加速度,角加速度 角速度對時間的一階導數,角加速度的方向與,四、 角量與線量的關系,的方向相同,1. 路程與角位移的關系式,2. 速率與角速度的關系式,3. 加速度與角加速度的關系式,切向加速度,法向加速度,(2) 設t 時刻，質點的加速度與半徑成45o角，則,(2) 當 =? 時，質點的加速度與半徑成45o角？,(1) 當t =2s 時，質點運動的an 和,一質點作半徑為0.1 m 的圓周運動，已知運動學方程為,(1) 運動學方程得,求,解,例,以及a的大小,例：一質點繞原點O作勻變速轉動,角加速度為 ， 求該質點的運動規律。,解：,兩邊積分：,1.5 運動描述的相對性 Relativity of Movement Description,知道質點運動學方程，就可以確定任意時刻質點的位置，質點的運動軌跡以及任意時刻質點的速度和加速度等。 但同一物體的運動，由于所選參考系的不同，而有不同的描述，這一事實稱為運動描述的相對性。 同一運動在 不同參考系中的運動學方程也不相同。,一、 經典時空,二、伽利略坐標變換,或,設：0、0重合時，t = t= 0,三、速度變換 加速度變換,1. 速度變換,2. 加速度變換,一個帶篷子的卡車，篷高為h=2 m ，當它停在馬路邊時，雨滴可落入車內達 d=1 m ，而當它以15 km/h 的速率運動時，雨滴恰好不能落入車中。,根據速度變換公式,畫出矢量圖,例,解,雨滴的速度矢量。,求,升降機以加速度 1.22 m/s2 上升，有一螺母自升降機的天花板松落，天花板與升降機的底板相距 2.74 m 。,h,O,x,取螺母剛松落為計時零點.,三種加速度為:,動點為螺母,取二個坐標系如圖,例,解,螺母自天花板落到底板所需的時間.,求,一質點在水平面內以順時針方向沿半徑為2 m 的圓形軌道運動。此質點的角速度與運動時間的平方成正比，即=kt 2 ，k 為待定常數.已知質點在2 s 末的線速度為 32 m/s,t =0.5 s 時質點的線速度和加速度,解,例,求,當t =0.5 s 時,由題意得,加速度與切線方向的夾角,例 一機車的車輪無滑動地在水平軌道上滾動，輪緣上一點P 所經過的軌道在圖示的坐標系Oxy中可用參數方程,求 P點在任一時刻的位矢、速度和加速度。,解:,X,Y,p,本章 小結,一、重要概念 1.位矢、位移、速度、加速度等物理量都是矢量。 2.上述物理量的大小、方向、分量表達式等。 3.切向加速度、法向加速度等概念，角量與