膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿節蒆羇膈莄蟻袃膇蒆蒄蝿芆膆蠆蚅芆羋蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃節螆螂節蒞蕿肁芁蕆螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿裊羃蒈螞螁羂薀蒅肀羈芀蝕羆羀莂蒃袂聿蒄蠆螈肈膄蒁蚄肈莆蚇肂肇葿薀羈肆薁螅襖肅芁薈螀肄莃螃蚆肅蒅薆羅膂膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿節蒆羇膈莄蟻袃膇蒆蒄蝿芆膆蠆蚅芆羋蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃節螆螂節蒞蕿肁芁蕆螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿裊羃蒈螞螁羂薀蒅肀羈芀蝕羆羀莂蒃袂聿蒄蠆螈肈膄蒁蚄肈莆蚇肂肇葿薀羈肆薁螅襖肅芁薈螀肄莃螃蚆肅蒅薆羅膂膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿節蒆羇膈莄蟻袃膇蒆蒄蝿芆膆蠆蚅芆羋蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃節螆螂節蒞蕿肁芁蕆螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁薅蚅羅蒄螁羃羄芃薄罿羃莆衿裊羃蒈螞螁羂薀蒅肀羈芀蝕羆羀莂蒃袂聿蒄蠆螈肈膄蒁蚄肈莆蚇肂肇葿薀羈肆薁螅襖肅芁薈螀肄莃螃蚆肅蒅薆羅膂膅螂袁膂芇薅螇膁蒀螀螃膀薂蚃肁腿節蒆羇膈莄蟻袃膇蒆蒄蝿芆膆蠆蚅芆羋蒂羄芅莀蚈袀芄薃蒁袆芃節螆螂節蒞蕿肁芁蕆螄羇芀蕿薇袃莀艿螃蝿羆莁 課例：數列的遞推公式（高一數列復習課）1 回顧回顧一：復習等差數列、等比數列的定義式（遞推公式）及通項公式，為后面由遞推公式推導通項公式做鋪墊?；仡櫠罕匦?中2.1的例2：謝賓斯基三角形（1）介紹數學史 上世紀初，波蘭的數學家謝賓斯基想要找到一個圖形，當它的面積無限減小時，它的周長則無限增大。用幾何畫板進行迭代演示。（2）數一數將上述迭代過程逐一展示，讓學生數數在每個圖形中綠色三角形的個數依次為多少？引出該等比數列的遞推式及通項公式。2 探究（3）再數一數：每個圖形中綠色、黑色三角形的總個數依次為多少?學生容易先得出前三項為1，4，13。探究一：第4項是多少？（從特殊到一般，引出遞推公式）方法一（幾何方法）從第二個圖象起，每一個圖象可以看成由前一個圖象的三份縮影加上中間一個黑三角形。因此，。方法二（代數方法）從前三項的數值上也可以發現：，方法三（代數方法） （）方法四（幾何方法）從第二個圖象起，每一個圖象是在前一個圖象的每個綠三角形中挖走一個中心三角形，這樣如圖所示的圈內一個三角形就變為四個三角形，增加三個三角形。在第個圖形中，綠三角形的個數為，所以，即。 歸納：當我們面對較為一個復雜的數列時，很難一眼看清其全貌的話，可以先得出其遞推關系，這就是本堂課復習的重點數列的遞推公式。遞進：然而，我們得到該數列的遞推公式便滿足了嗎？請問，它的第5項是幾？第6項是幾？（學生輕松回答。）那么，第100項是幾呢？（學生一時語塞，隨即提筆思考。） 探究二：第100項是多少？（引出求通項公式的方法） 方法一的引導：教師讓學生觀察遞推公式， 提問：從而，誘導出利用“累加法”來解決此問題。 教師小結以上解法：其一，用了累加法，此法早在等差數列中由定義式推導通項公式就曾用過，類似的還有累乘法；其二，用了等比數列求和公式。 方法二的引導：教師再讓學生觀察遞推公式。在遞推式中，若去1，就是等比數列；若改3為1，則是等差數列。是否可構造以3為公比的等比數列呢？如何把常數1進行分配呢？假設等式左邊分得m，則右邊就得3m。所以有：小結：這可謂“殊途同歸”！同一個數列有兩個不同的遞推公式，兩個不同的遞推公式推出同一個通項公式，雖分別用了“累加法”和“構造法”，但卻都是化歸為等差或等比數列的有關概念來解決！ 探究三 請試由遞推公式推得數列的通項公式。給學生些許思考時間。部分學生均只能由已知條件求出第3項為9，第4項為13，則猜想就是前面的數列。教師則引導從開始出發，是否可再構造等比數列？即即為探究二中的兩個遞推公式，當然此數列就是前面的數列。3鞏固思考意圖：一、讓學生再次經歷特殊到一般的歸納過程，培養合情推理的能力；二、從歸納的結果中發現通項的分母為等差數列的通式，從而為嚴格論證的開啟思路。變式訓練：4 歸納小結 當我們研究一個較為復雜的數列時，若不能馬上得出它的通項公式，可以先通過其特殊項或其蘊含的幾何背景來發現它的遞推公式，然后利用累加法、累乘法、構造法等，將遞推公式化歸為等差數列、等比數列的有關問題，從而最終求出數列的通項公式！化歸為等差數列、等比數列 特殊項 通項公式發現 遞推公式 幾何背景5 課外作業本課例參加了2007年3月14-15日在浙江麗水市進行了一次校本培訓活動，共兩天。以上是第一天的課堂設計，課堂效果不明顯，前段后段較好，中間探究部分還不能很好引起學生的共鳴。在專家的指導下，給學生留了恰當的探究梯度，做了如下的修改，收效甚好。 修改后（為了便于前后對照，下面的編號與前面的一致。） 2探究 探究二：第100項是多少？（引出求通項公式的方法）一開始，教師先不引導，而是給學生一定的思考時間。（老師的行為改變了，學生的反映也隨即發生了變化） 不久，學生甲在其草稿紙上寫下： 教師小結以上解法：其一，其二，同上，其三，從結果中含看，應有可能為等比數列。（為另一遞推公式推導通項公式埋下伏筆。） 探究三先給學生充分的思考時間。學生甲：我求得了所以我猜測就是前面的數列，即當然這有一定的局限性。學生乙：我根據式子的特征，將一個移到等號左邊，得：，則為以3為公比的等比數列。教師小結：其一，對于乙的解法，教師先給與充分肯定，再提出思考，你怎么看出從等號右側移一個到左側呢？一般情況下，如何解決呢？引出利用待定系數法構造等比數列的方法（見原設計）。 其二，前面的遞推式我們均能從幾何背景找到它們的解釋，對于此遞推公式，仍能從謝賓斯基三角形中得到驗證嗎？ 四個圖案(3)的縮影去除三個圖案(2)的縮影即可得圖案(4)。同時，輔以幾何畫板的動畫演示更加形象，引起學生極大的興趣！3鞏固思考 去除原來的變式訓練，突出“化歸意識”。 莁蒀螁荿薆衿螀聿葿螄蝿膁蚄蝕螈芃蕆薆螇莆芀裊螆肅蒆螁裊膇羋蚇裊芀蒄薃襖聿芇蕿袃膂薂袈袂芄蒞螄袁莆薀蝕袀肆莃薆衿膈蕿蒂罿芁莂螀羈羀薇蚆羇膃莀螞羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇芁螃羃腿蒆蠆肅節艿薅肂羈蒅蒁肁肅羋蝿肀芆蒃螅聿莈莆蟻肈肈薁薇肇膀莄袆肇節薀螂膆蒞莂蚈膅肄薈薄螁膇莁蒀螁荿薆衿螀聿葿螄蝿膁蚄蝕螈芃蕆薆螇莆芀裊螆肅蒆螁裊膇羋蚇裊芀蒄薃襖聿芇蕿袃膂薂袈袂芄蒞螄袁莆薀蝕袀肆莃薆衿膈蕿蒂罿芁莂螀羈羀薇蚆羇膃莀螞羆芅蚅薈羅莇蒈袇羄肇芁螃羃腿蒆蠆肅節艿薅肂羈蒅蒁肁肅羋蝿肀芆蒃螅聿莈莆蟻肈肈薁薇肇膀莄袆肇節薀螂膆蒞莂蚈膅肄薈薄螁膇莁蒀螁荿薆衿螀聿葿螄蝿膁蚄蝕螈芃蕆薆螇莆芀裊螆肅蒆螁裊膇羋蚇裊芀蒄薃襖聿芇蕿袃膂薂袈袂芄蒞螄袁莆薀蝕袀肆