A圖 2BDMEO1CF初 三 數 學（第五周） 【教學內容】 圓的定義及有關性質（二）【教學要求】 1使學生理解圓的中心對稱性及旋轉不變性，掌握圓心角、弦、弧，弦心距的相等關系定理及其推論。2使學生掌握圓周角定理及其推論。3使學生掌握圓的內接四邊形性質定理。【教學內容】 一、知識點分析： 1將圓繞圓心 O 旋轉 180后，每條直徑的兩個端點交換位置，得到的圖形與原圖形重合。所以圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。不僅如此，繞圓心旋轉任意角度后都能與原來的圖形重合，這是圓的又一特性旋轉不變性，它是本書的理論基礎。 2在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。定理中“在同圓或等圓中”這一前提必不可少。由這個定理，在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間就可以實現等量的相互轉化，任意兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。本定理及推論給解決有關圓的問題帶來很大方便，它是本單元的重點之一。 3圓心角的度數等于它所對的弧的度數。4圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，本定理的證明過程中用到了完全歸納法，所以這是本節的難點之一。 5圓周角定理的推論：推論 1 同弧或等弧所對的圓周角相等，同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論 2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角。90的圓周角所對的弦為直徑。推論 3 若三角形一邊上中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。推論 1 是圓中證明兩角，兩條線段，兩條弧相等的重要依據。推論 2 揭示了半圓，90的圓周角及直徑之間的內在聯系。推論 3 是直角三角形斜邊上中線的性質定理的逆定定理，是判定直角三角形或垂直關系的又一依據。這一組推論應用極為廣泛，也是本節的重點之一。 6圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。這一定理是在圓中探求角的相等或互補關系時常用的定理，使用本定理時要注意識圖，不要弄錯四邊形的外角和它的內對角的位置。 二、例題精講例 1設O 的半徑長為 1，直徑 AB直徑 CD，E 為 OB 中點，弦 CF 過 E 點，求 EF 之長。解：如圖 1，連 DF DC 為O 直徑 CFD=90 COE=CFD=90 又 ABCD 又1=1 COECFD 即 CF= EF=CF-CE= - =CDEFO2)1(F545425103說 明 ： 連 DF， 構 成 直 徑 所 對 的 圓 周 角 ， 這 是 圓 中 常 添 加 的 輔 助 線 。 另 外 ， 通 過 CF-CE 來 求 EF， 這 種 間 接 求 值 的 方 法 要 注意 。 例 2如圖：O 1與O 2為兩個等圓，M 為 O1O2中點，過 M 的直線分別交O 1與O 2于 A、B、C、D。ACB圖求證：AB=CD分 析 ： AB、 CD 分 別 是 等 圓 O1和 O2的 弦 。 聯 系 條 件 “M 是 O1O2的 中 點 ”， 易 知 證 明 相 應 的 弦 心 距 相 等 是 本 題 的 最 佳 方案 。證明：過 O1作 O1EAB，過 O2作 O2FCD1=2 O 1EM=O 2FM=90又 M 為 O1O2中點 O 1M=O2MO 1EMO 2FM O 1E=O2F 又O 1與O 2是等圓 AB=CD例 3如圖 3，O 是ABC 的外接圓，AO 是O 的半徑，AD 是ABC 一邊上的高。求證：BAO=DAC。分析：分別延長 AO，AD 交O 于 E、F，構成圓周角的基本圖形證法一：延長 AO 交O 于 E，連 BE，則BEA=CAO 是O 半徑 AE 為O 直徑EBA=90 BAO+BEA=90在ABC 中 ADBC 于 D C+DAC=90又C=BEA BAO=CAD證法二：過 O 作 OGAB 于 G，交O 于 H，連 OB由垂徑定理 AH=BH= AB21AOH= AOB又AOB 與C 分別是 AB 所對的圓心角與圓周角C= AOB C=AOH21又 OGAB，ADBCBAO+AOH=90 DAC+C=90BAO=DAC證法三：延長 AO，AD 分別交O 于 E，F，連結 EFAE 是直徑 F=90 又 ADBCADB=90 EFBCBE=CF BAO=CAF說明：三種不同的證法從不同的角度利用了圓周角定理及其推論，證法二和證法三還運用到了垂徑定理及其推論，這體現了運用知識的靈活性。另外，證題中一些常用的輔助線的作法，如作出弦的弦心距，構造直徑所對的圓周角等等要認真體會。例 4如圖 4，已知ABC 內接于O，AB 為直徑，CD 是ABC 的高，H 為圓周上任意一點，AH 交 CD 于 G，求證：AC2=AGAH分析：由本題條件，很容易根據直角三角形中的母子相似構圖在 RtABC 中證得 AC2=ADAB 對照結論，我們只需證 ADAB=AGAH，所以我們只要連結 BH，證明ABHAGD 即可。另外，由于 AC2=AGAH ，所以我們ACH也可以嘗試證明ACGAHC。證法一：連結 BHAB 為直徑 AHB=90AHB=ADGCD 是高 ADG=90 HAB=GADAHBADG ABAD=AGAHADHGBAB 為直徑 ACB=90ACDABCCD 為高 CDA=90 AC2=ABADACBA圖 3EBFOCDHG圖 4EBDOABDOE123圖 6FCB圖 7OADCFE AC2=AGAH 又 ABAD=AGAH證法二：延長 CD 交圓于 E，連結 AE，HCAB 是直徑 AC=AE AHC=ACD CEAB ACGAHG CAH=CAG AC2= AHAGACGH說明：提高幾何解題能力一個重要的方面就是提高識圖能力。在本題的證明過程中，基本圖形發揮了極為重要的作用。另外本題證明過程中還體現了等比式與等積式的互化。以下是從本題中分離出的基本圖形。 （見圖 5）例 5如圖 6，AD，AE 分別平分O 內接三角形 ABC 的內角BAC 和外角BAF，交圓于 D，E，求證：1）DE 是ABC外接圓直徑 2）DE 是 BC 的中垂線證明：1）AD、AE 分別平分ABC 的內角BAC 和外角BAF1+2= (BAC+BAF)=90 即EAD=90 ED 為O 直徑212）如圖，AD 平分BAC 2=3 BD=DC又DE 是O 直徑，DE 平分弦 BC 所對的一條弧 DE 垂直平分 BC。說 明 ： 本 題 很 巧 妙 地 運 用 圓 周 角 定 理 的 推 論 ： 90的 圓 周 角 所 對 的 弦 是 直 徑 ， 同 圓 或 等 圓 中 ， 相 等 的 圓 周 角 所 對 的弧 相 等 。 第 2） 小 問 的 證 明 則 運 用 了 垂 徑 定 理 的 推 論 ： 平 分 弦 所 對 的 一 條 弧 的 直 徑 垂 直 平 分 弦 ， 再 次 體 現 了 垂 徑 定 理 的 重 要性 。例 6如圖 7，AB 是半圓 O 的直徑，E、O、F 是 AB 的四等分點，CEAB 交O 于 C，DFAB 交O 于 D，求證：1）CE=DF 2）C、D 是 AB 的三等分點BDHG圖 5CCABDO圖 8CABDOEF21圖 9C證明：1）連 OC、OD 在EOC 和FOD 中： E、O、F 是 AB 的四等分點 EO=FO 又CEO=DFO=90 OC=OD EOCFOD CE=DF2）連 AC CEAO CE 垂直平分 AO AC=OC AE=EO OAC 為等邊三角形 又 OA=OC AOC=60 AC 的度數是 60 C 是 AB 的三等分點 同理可得 D 是 AB 的三等分點。說明：證明 C，D 是 AB 的三等分點，只需證AOC=BOD= AOB 即可。31例 7如圖 8，圓內接四邊形 ABCD 中，若 AB:BC:CD:DA 2:5:4:1，試求四邊形 ABCD 各內角。解：設 AD 的度數為 x由 AB:BC:CD:DA 2:5:4:1可得 AB 的度數為 2x，BC 的度數為 5x，CD 的度數為 4x，由于整個圓周為 360，所以 x+2x+4x+5x=360 x=30所以 AB 度數為 60，BC 的度數是 150，CD 度數為 120所以A 的度數= BCD 的度數= (150+120)=1352121又四邊形 ABCD 內接于圓 故A+C=180C=180-135=45 同理D=105，B=75說明：圓的內接四邊形的四個內角都是圓周角。所以在求內角時常用到圓周角定理。另外本題中所給的是弧的度數之比，不要當作是四個內角的度數之比。例 8如圖 9，BC 是半圓的直徑，A 是半圓上任意一點，D 是 AC 中點。DEBC 于 E，求證：AB=BE-ECBN=2AEE圖 1BODCAFP分析：證明線段的和差問題時常用手法是“截長補短” 。證明：在 BE 上截取 BF=BA，連 AD、DC、DFD 是 AC 中點 AD=DC 1=2 AD=DC 又在ABD 和FBD 中 BD=BD 1=2 AB=BFABDFBD AD=FD DC=DF 等腰DCF 中 DECF EC=EFBF=BE-EF=BE-EC 即 AB=BE-EC說明：本證明的核心部分是“弧等 弦等，圓周角等” ，借助于截長的手法實施了一次全等變換，從而將 BA“翻折”到 BF 的位置，將 DA“翻折”到 DF 的位置，最后又靈活運用等腰三角形三線合一的性質。例 9如圖 10，在ABC 中，AB=AC，BD 是 AC 邊上的中線，ADB 的平分線交 AB 于 E，AED 的外接圓交 BD 于 N，求證：BN=2AE 分析：由條件及構圖，我們很難將 BN 與 AE 聯系起來，結合圓周角定理易得 AE=EN。于是本題可轉化證明 BN=2EN，由“AB=AC 及 D 為 AC 中點”可知 AB=2AD，根據例 4 中所分離的基本圖形，可證得BENBDA。證明：連 EN，DE 平分ADB 1=2 AE=EN AE=EN四邊形 ENDA 內接于圓 3=ABENBDA BADNE又ABD=NBEBANE又 D 為 AC 中點 21DAB=AC例 10 如 圖 11， O 與 O相 交 于 A、 B， 過 A 引 直 線 CD， EF 分 別 交 兩 圓 于 C、 D、 E、 F， EC 與 DF 的 延 長 線 相 交 于 P求證：P+CBD=180分析：PEF 中，P+E+PFE=180，故要證P+CBD=180只需證CBD=E+PFE，連 AB 易證之。證明：連 AB，E 與CBA 是O 中 AC 所對的圓周角 E=CBA又四邊形 ABDF 內接于O PFA=ABDAE圖 10C23E+PFE=CBA+ABD=CBD又E+P+PFE=180 P+CBD=180例 11如圖 12，O 是ABC 的外心，弦 AB 的垂直平分線與 AC、AB 相交于 D 和 M，與 BC 的延長線相交于 E求證：（1）ODDE=ADDC（2）OA 2=ODOE證明：（1）連 AO，BO，在O 中AOB、ACB 分別是 AB 所對的圓心角與圓周角 ACB= AOB又EM 垂直平分 AB EM 過圓心 O AO=OB又AM=BM AOM= AOB21AOM=ACB ECD=AOD又1=2 AODECD ADCD=ODDECDEOA（2）連 AE，由 1）AODECD 知CED=OADEM 垂直平分 AB AE=BE又 AM=BM AED=CED OAD=AED又DOA=AOE AODEOA OA2=ODOEOEA說明：在證明乘積式或比例式時常要找相似三角形，在證明三角形相似時要充分利用與圓有關的角。另外本題（2）中還可以連 OC，證OCDDEC，利用 OA=OC 代換即得。【課外練習】一、填空1一條弦把圓分成 1:2 兩部分，則劣弧所對的圓心角是 。2在直徑為 12cm 的圓中，AB 是 60，弦 AB 的長是 ，弦心距是 。3如圖 13，在O 的內接三角形 ABC 中，OEAB，OFAC，垂足分別為 E、F，若 OE=OF，ABC 是 三角形，若 BC=5cm，EF= cm。4在圓內接三角形 ABC 中，AB=AC，AB 是 130，A= 。5如圖 14，C=135，O= 。6如圖 15，AB 是O 的直徑，AB=AC，A=50，BD 是 ，AE 是 。7圓內接四邊形 ABCD 中，A:B:C=1:3:5，則A= ，D= 。8如圖 16，O 1和O 2相交于點 A、B，點 O1在O 2上，D=50，C= 。二、解答下列各題：1如圖 17，AB、CD 是O 兩條直徑，弦 AECD，AE 是 100，求BOD 的度數。2BMA圖 1OCD圖 15O圖 圖 4CABFODCA2如圖 18，已知O 的半徑 OC 垂直于直徑 AB，弦 EFAB，交 OC 于 G，且 OG=GC，求CBE 的度數。3如圖 19，AB 是O 直徑，BC 是弦，F 是 BC 延長線上一點，且 CF=CB，FA 的延長線交O 于點 E，求證：BC=BE。4如圖 20，O 的弦 AB、CD 的延長線相交于 P，AD、CB 相交于點 M，求證：（1）AMC 的度數= (AC+BD)的度數21（2）P 的度數= (AC-BD)的度數5如圖 21，AOB=90，C，D 是 AB 的三等分點，AB 分別交 OC、OD 于點 E、F，求證：AE=BF=CD。ACBD圖 16OBC圖 7EACF圖 18O2圖 20OCADPBEOFB圖 9DEO圖 21FCAPOC2B4圖5F圖 3E13AD6如圖 22，ABC 內接于O，AB=AC，D 為 BC 上任意一點，AD 交 BC 于 E，求證：（1）BDCD=ADDE（2）AB 2=ADAE（3）AD 2=AB2+BDDC7如圖 23，O 1與O 2相交于點 A、B，且 O1點在O 2上，過點 A 的直線 CD分別與O 1，O 2交于 C、D，過點 B 的直線 EF 分別與O 1，O 2交于 E、F，O 2的弦 O1D 交 AB 于 P 點求證：1）CEDF 2）O 1A2=O1PO1D參考答案一、填空題：1. 120 2