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1、1,第五章 定積分,定積分的概念與性質 微積分基本定理 定積分的換元積分法 定積分的分部積分法 定積分的應用 廣義積分,5.1 定積分的概念與性質,5.1.1 定積分問題舉例 1.曲邊梯形的面積,3,(1) 分割:,將區間a, b任意分為 n 個子區間，,(2) 近似：,任取,(3) 作和：,(4) 取極限：,記,分點為：,4,設物體作直線運動, 已知速度,是時間間隔,上的, 計算在這段時間內物體所經過的路程.,連續函數, 且,若是勻速直線運動，,(1) 分割:,(2) 近似：,任取,(3) 作和：,(4) 取極限：,記,2. 變速直線運動的路程,5,則稱函數 f (x) 在a , b上可積,

2、記作:,設函數 f (x) 在 a , b 上有定義,把 a , b 任意分割成 n 個小區間:,任取,作和,記,若極限,存在,此極限值為函數f (x)在a , b上的定積分.,即,5.1.2 定積分的概念,定義5.1.1,6,1. 曲邊梯形的面積,2. 變速直線運動的路程,定積分的幾何意義,7,存在,它與區間的分法及點的取法無關.,注意,是指極限,(2). 定積分是一個數,與積分變量用什么記號無關.,只取決于被積函數和積分區間,(3). 規定:,且只有有限個間斷點,結論,(1).函數 f (x) 在a , b上可積,1. 若函數 f (x) 在a , b上可積,則 f (x) 在a , b上

3、有界.,2. 若函數 f (x) 在a , b上連續,則 f (x) 在a , b上可積.,3. 若函數 f (x) 在區間a , b上有界,則 f (x) 在a , b上可積.,8,例1. 利用定積分定義計算,解,把區間0 , 1 n 等分,分點為,取,存在.,9,性質1.,可推廣到有限多個函數代數和的情形.,性質2.,定積分關于積分區間具有可加性,性質3.,說明,(線性性質),5.1.3 定積分的基本性質,10,（1）若, 由幾何意義知,（2）若, 由(1)知,其他情況類似可證.,證,11,性質4.,若,則,推論1.,則,推論 2.,性質6.,則,設,若,(保號性),(不等性),性質5.,(估值定理),12,(積分中值定理),由性質6知,由連續性介值定理知,使,即,性質7.,證,設 f (x) 在a , b上取得最小值 m 與最大值 M,-平均值,則至少存在一點,使,若函數 f (x) 在a , b上連續,13,例1. 估計積分值:,解,在 1,4 上的

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