1、4.1 特征函數 4.2 大數定律 4.3 隨機變量序列的兩種收斂性 4.4 中心極限定理,第四章 大數定律與中心極限定理,4.1 特征函數,特征函數是處理概率論問題的有力工具， 其作用在于：,可將卷積運算化成乘法運算； 可將求各階矩的積分運算化成微分運算； 可將求隨機變量序列的極限分布化成一般的函數極限問題； .,4.1.1 特征函數的定義,定義4.1.1 設 X 是一隨機變量，稱 (t) = E( eitX ) 為 X 的特征函數. (必定存在),注意：,是虛數單位.,注 意 點(1),(1) 當X為離散隨機變量時，,(2) 當X為連續隨機變量時，,這是 p(x) 的傅里葉變換,性質4.1

2、.1,4.1.2 特征函數的性質,|(t)| (0)=1,性質4.1.2,性質4.1.3,性質4.1.4,若 X 與 Y 獨立，則,性質4.1.5,定理4.1.1,特征函數的定理,一致連續性.,定理4.1.2,定理4.1.3,定理4.1.4,唯一性.,定理4.1.5,非負定性.,逆轉公式.,連續場合，,4.2 大數定律,討論 “概率是頻率的穩定值”的確切含義； 給出幾種大數定律： 伯努利大數定律、切比雪夫大數定律、 馬爾可夫大數定律、辛欽大數定律.,4.2.1 伯努利大數定律,定理4.2.1（伯努利大數定律）,設 n 是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，每次試驗中 P(A) = p, 則對任意

3、的 0，有,4.2.2 常用的幾個大數定律,大數定律一般形式：,若隨機變量序列Xn滿足：,則稱Xn 服從大數定律.,切比雪夫大數定律,定理4.2.2,Xn兩兩不相關，且Xn方差存在，有共同的上界，則 Xn服從大數定律.,證明用到切比雪夫不等式.,馬爾可夫大數定律,定理4.2.3,若隨機變量序列Xn滿足：,則 Xn服從大數定律.,(馬爾可夫條件),辛欽大數定律,定理4.2.4,若隨機變量序列Xn獨立同分布，且Xn的數學期望存在。則 Xn服從大數定律.,(1) 伯努利大數定律是切比雪夫大數定律的特例.,注 意 點,(2) 切比雪夫大數定律是馬爾可夫大數定律的特例.,(3) 伯努利大數定律是辛欽大數

4、定律的特例.,4.3 隨機變量序列的兩種收斂性,兩種收斂性： i) 依概率收斂：用于大數定律； ii) 按分布收斂：用于中心極限定理.,4.3.1 依概率收斂,定義4.3.1 (依概率收斂),大數定律討論的就是依概率收斂.,若對任意的 0，有,則稱隨機變量序列Yn依概率收斂于Y, 記為,依概率收斂的性質,定理4.3.1 若,則Xn與Yn的加、減、乘、除 依概率收斂到 a 與 b 的加、減、乘、除.,4.3.2 按分布收斂、弱收斂,對分布函數列 Fn(x)而言，點點收斂要求太高.,定義4.3.2 若在 F(x) 的連續點上都有,則稱Fn(x) 弱收斂于 F(x) ，記為,相應記,按分布收斂,依概

5、率收斂與按分布收斂的關系,定理4.3.2,定理4.3.3,4.3.3 判斷弱收斂的方法,定理4.3.4,4.4 中心極限定理,討論獨立隨機變量和的極限分布, 本指出極限分布為正態分布.,4.4.1 獨立隨機變量和,設 Xn 為獨立隨機變量序列，記其和為,4.4.2 獨立同分布下的中心極限定理,定理4.4.1 林德貝格勒維中心極限定理,設 Xn 為獨立同分布隨機變量序列，數學期望為, 方差為 20，則當 n 充分大時，有,應用之例: 正態隨機數的產生； 誤差分析,例4.4.1 每袋味精的凈重為隨機變量，平均重量為 100克，標準差為10克. 一箱內裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克

6、的概率?,解:,設箱中第 i 袋味精的凈重為 Xi, 則Xi 獨立同分布，,且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，,由中心極限定理得，所求概率為：,= 0.0002,故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002. (很小),4.4.3 二項分布的正態近似,定理4.4.2 棣莫弗拉普拉斯中心極限定理,設n 為服從二項分布 b(n, p) 的隨機變量，則當 n 充分大時，有,是林德貝格勒維中心極限定理的特例.,中心極限定理的應用有三大類：,注 意 點 (2),ii) 已知 n 和概率，求y ；,iii) 已知 y 和概率，求 n .,i) 已知 n 和 y，求概率；,一、給定

7、n 和 y，求概率,例4.4.3 100個獨立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個系統，求系統中至少有85個部件工作的概率.,解：用,由此得：,Xi=1表示第i個部件正常工作, 反之記為Xi=0.,又記Y=X1+X2+X100，則 E(Y)=90，Var(Y)=9.,二、給定 n 和概率，求 y,例4.4.4 有200臺獨立工作(工作的概率為0.7)的機床， 每臺機床工作時需15kw電力. 問共需多少電力, 才可 有95%的可能性保證正常生產?,解：用,設供電量為y, 則從,Xi=1表示第i臺機床正常工作, 反之記為Xi=0.,又記Y=X1+X2+X200，則 E(Y)=140，Var(Y

8、)=42.,中解得,三、給定 y 和概率，求 n,例4.4.5 用調查對象中的收看比例 k/n 作為某電視節 目的收視率 p 的估計。 要有 90 的把握，使k/n與p 的差異不大于0.05，問至少要調查多少對象？,解：用,根據題意,Yn表示n 個調查對象中收看此節目的人數，則,從中解得,Yn 服從 b(n, p) 分布，k 為Yn的實際取值。,又由,可解得,n = 271,4.4.4 獨立不同分布下的中心極限定理,定理4.4.3 林德貝格中心極限定理,設Xn 為獨立隨機變量序列，若任對 0，有,林德貝格條件,則,李雅普諾夫中心極限定理,定理4.4.4 李雅普諾夫中心極限定理,設Xn 為獨立隨機變量序列，若存在 0，滿足：,李雅