1、單自由度系統受迫振動,主講：周利東 太原科技大學 機械工程學院 2011-10-20,教學內容,單自由度系統受迫振動,線性系統的受迫振動 工程中的受迫振動問題 任意周期激勵的響應 非周期激勵的響應,線性系統的受迫振動,簡諧力激勵的強迫振動 穩態響應的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機械阻抗與導納,單自由度系統受迫振動,線性系統的受迫振動,簡諧力激勵的強迫振動,彈簧質量系統,設,外力幅值,外力的激勵頻率,振動微分方程：,x 為復數變量，分別與,實部和虛部分別與,單自由度系統受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動,受力分析，以靜平衡位置為坐標原點，建立圖示的坐標系,和,相對應,和,

2、相對應,參考文獻振動力學(劉延柱)P31 振動力學(倪振華)P79,振動微分方程：,顯含時間 t 非齊次微分方程,非齊次微分方程通解,齊次微分方程通解,非齊次微分方程特解,阻尼自由振動 逐漸衰減 暫態響應,持續等幅振動 穩態響應 本節內容,單自由度系統受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動,振動微分方程：,設：,代入，有：,復頻響應函數,振動微分方程：,引入：,振幅放大因子,相位差,則：,：穩態響應的復振幅,靜變形,單自由度系統受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動,代入，有：,穩態響應的實振幅,若：,則：,無阻尼情況：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動,（1）線性系統對簡諧激勵的穩態響

3、應是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動,（2）穩態響應的振幅及相位只取決于系統本身的物理性質（m, k, c）和激振力的頻率及力幅，而與系統進入運動的方式（即初始條件）無關,結論：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動,幅頻特性,相頻特性,線性系統的受迫振動,簡諧力激勵的強迫振動 穩態響應的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機械阻抗與導納,單自由度系統受迫振動,穩態響應的特性,以s為橫坐標畫出 曲線,幅頻特性曲線,簡諧激勵作用下穩態響應特性：,（1）當s1（ ）,激振頻率相對于系統固有頻率很低,結論：響應的振幅 A 與靜位移 B 相當,單自由度系統受迫振

4、動 / 穩態響應的特性,穩態響應特性,（2）當s1（ ）,激振頻率相對于系統固有頻率很高,結論：響應的振幅 很小,單自由度系統受迫振動 / 穩態響應的特性,穩態響應特性,（3）在以上兩個領域 s1，s1,結論：系統即使按無阻尼情況考慮也是可以的,對應于不同 值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著,單自由度系統受迫振動 / 穩態響應的特性,穩態響應特性,結論：共振 振幅無窮大,（4）當,對應于較小 值， 迅速增大,當,但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在 s=1 附近的區域內，增加阻尼使振幅明顯下降,單自由度系統受迫振動 / 穩態響應的特性,穩態響應特性,（5）對于有阻尼系統， 并不出現在s=1處

5、，而且稍偏左,單自由度系統受迫振動 / 穩態響應的特性,穩態響應特性,（6）當,振幅無極值,單自由度系統受迫振動 / 穩態響應的特性,穩態響應特性,記：,品質因子,在共振峰的兩側取與 對應的兩點 ，,帶寬,Q與 有關系 ：,阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭,單自由度系統受迫振動 / 穩態響應的特性,穩態響應特性,相頻特性曲線,（1）當s1（ ）,以s為橫坐標畫出 曲線,相位差,位移與激振力在相位上幾乎相同,（2）當s1（ ）,位移與激振力反相,（3）當,共振時的相位差為 ，與阻尼無關,單自由度系統受迫振動 / 穩態響應的特性,有阻尼單自由度系統,外部作用力規律：,假設系統固有頻率：,從

6、左到右：,單自由度系統受迫振動 / 穩態響應的特性,線性系統的受迫振動,簡諧力激勵的強迫振動 穩態響應的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機械阻抗與導納,單自由度系統受迫振動,受迫振動的過渡階段,在系統受到激勵開始振動的初始階段，其自由振動伴隨受迫振動同時發生。系統的響應是暫態響應與穩態響應的疊加,顯含 t，非齊次微分方程,非齊次微分方程 通解,齊次微分方程 通解,非齊次微分方程 特解,阻尼自由振動 逐漸衰減 暫態響應,持續等幅振動 穩態響應,回顧：,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,受迫振動的過渡階段,先考慮無阻尼的情況,假定正弦激勵,通解：,齊次通解,非齊次特

7、解,初始條件決定,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件響應,自由伴隨振動,強迫響應,特點：以系統固有頻率為振動頻率,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件響應,自由伴隨振動,強迫響應,如果是零初始條件,自由伴隨振動,強迫響應,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,零初始條件,(2) s 1,(1) s 1,穩態受迫振動進行一個循環時間內，自由伴隨振動完成多個循環,自由伴隨振動進行一個循環時間內，穩態受迫振動完成多個循環,受迫振動響應成為自由振動響應曲線上迭加的一個振蕩運動,受迫振動響應成為穩態響應曲線上迭加的一個振蕩運動,單自由度系統受迫振動 / 受迫

8、振動的過渡階段,由于系統是線性的，也可利用疊加定理求解,通解：,初始條件響應,自由伴隨振動,強迫響應,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,即使在零初始條件下，也有自由振動與受迫振動相伴發生,實際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態運動會逐漸衰減，進而消失，最終系統為穩態響應,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,解：,的全解：,如果要使系統響應只以 為頻率振動,必須成立：,初始條件：,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,解：,的全解：,正確？,全解：,由,求一階導數：,由,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,全解：,因此：,的全解：,相同,不同,單自

9、由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,全解：,如果要使系統響應只以 為頻率振動,初始條件：, 0,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,若激勵頻率與固有頻率十分接近 （但并不等于）,令：, 小量,考慮零初始條件，有：,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,代入：,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,1,可看作頻率為 但振幅按 規律緩慢變化的振動,這種在接近共振時發生的特殊振動現象稱為”拍”,拍的周期：,圖形包絡線：,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,當,隨 t 增大，振幅無限增大，無阻尼系統共振的情形,響應曲線,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡

10、階段,討論有阻尼系統在過渡階段對簡諧激勵的響應,初始條件響應,自由伴隨振動,強迫響應,利用前述相同的方法，有：,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件響應,經過充分長時間后，作為瞬態響應的前兩種振動都將消失，只剩穩態強迫振動,自由伴隨振動,強迫響應,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件響應,自由伴隨振動,強迫響應,對于零初始條件：,單自由度系統受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,表示出零初始條件下， 時系統在過渡階段的振動情況。,（a）激振力 （b）自由伴隨振動 （c）穩態強迫振動 （d）過渡階段的強迫振動,線性系統的受迫振動,簡諧力激勵的強迫振動 穩態響應的特

11、性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機械阻抗與導納,單自由度系統受迫振動,簡諧慣性力激勵的受迫振動,背景：地基振動，轉子偏心引起的受迫振動 特點：激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比例,坐標：,動力學方程：,基座位移規律 ：,x1 相對基座位移,受力分析（某瞬時t）,D：基座位移振幅,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,以物體與支座靜止時的平衡位置為原點,動力學方程：,回顧：,令：,有：,其中：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,幅頻曲線,相頻曲線,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,有阻尼的單自由度承受支撐運動,支撐運動：,系統固

12、有頻率從左到右：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,若以絕對位移 x 為坐標,其中：,則有：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,代入：,無阻尼情況：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,幅頻曲線,可看出：,當 時，,振幅恒為支撐運動振幅D,當 時，,振幅恒小于D,增加阻尼反而使振幅增大,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,例：,汽車的拖車在波形道路上行駛,已知拖車的質量滿載時為 m1=1000 kg,空載時為 m2=250 kg,懸掛彈簧的剛度為 k =350 kN/m,阻尼

13、比在滿載時為,車速為 v =100 km/h,路面呈正弦波形，可表示為,求： 拖車在滿載和空載時的振幅比,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,參考文獻振動力學(倪振華)P107,解：,汽車行駛的路程可表示為：,路面的激勵頻率：,l =5 m,因此：,得：,c、k 為常數，因此 與 成反比,因此得到空載時的阻尼比為：,滿載和空載時的頻率比：,因為有：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,滿載時頻率比,記：滿載時振幅 B1，空載時振幅 B2,有：,滿載時阻尼比,空載時阻尼比,空載時頻率比,因此滿載和空載時的振幅比：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動

14、,支承運動小結,相對位移,基座位移規律 ：,絕對位移,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,高速旋轉機械中，偏心質量產生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉機械總質量為M，轉子偏心質量為m，偏心距為e，轉子轉動角速度為,x：機器離開平衡位置的垂直位移,則偏心質量的垂直位移：,由達朗伯原理，系統在垂直方向的動力學方程：,簡化圖形,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,參考文獻振動力學(倪振華)P99,me ：不平衡量,：不平衡量引起的離心慣性力,設：,得：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,B 又寫為 ：,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫

15、振動,例：偏心質量系統,共振時測得最大振幅為0.1 m,由自由衰減振動測得阻尼系數為,假定,求： （1）偏心距 e，,（2）若要使系統共振時振幅為0.01 m，系統的總質量需要增加多少？,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,解:（1）,共振時測得最大振幅為0.1 m,由自由衰減振動測得阻尼系數為,共振時最大振幅,（2）若要使系統共振時振幅為0.01 m,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,單自由度系統受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,偏心質量小結,解1：,解2：,線性系統的受迫振動,簡諧力激勵的強迫振動 穩態響應的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的

16、受迫振動 機械阻抗與導納,單自由度系統受迫振動,機械阻抗與導納,工程中常用機械阻抗來分析結構的動力特性,機械阻抗定義為簡諧激振時復數形式的輸入與輸出之比,動力學方程：,：輸入,：輸出,代入，得：,復頻響應函數,根據定義，位移阻抗：,單自由度系統受迫振動 / 機械阻抗和導納,位移阻抗與復頻響應函數互為倒數， 也稱為導納,輸出也可以定義為速度或加速度，相應的機械阻抗稱為速度阻抗和加速度阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,機械阻抗的倒數稱為機械導納，相應 、 、 分別有位移導納、速度導納和加速度導納,單自由度系統受迫振動 / 機械阻抗和導納,位移阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,機械阻抗和機械導納都僅僅取決于系統本身的動力特性（m，k，c），它們都是復數,現已有多種專門測試機械阻抗的分析儀器，根據系統的機械阻抗可以確定和分析系統的固有頻率，相對阻尼系數等參數及其它動力特征,單自由度系統受迫振動 / 機械阻抗和導納,復頻響應函數又可寫為：,模及