21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）北師版數學九年級上冊第1章特殊平行四邊形中的旋轉、最值、動點問題專題訓練一、旋轉問題1．如圖，在△ABC中，AC＝BC，點D，E分別是邊AB，AC的中點，將△ADE繞點E旋轉180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不對2．如圖，點P是正方形ABCD邊AB上一點(不與A，B重合)，連接PD，將線段PD繞點P順時針旋轉90°得線段PE，連接BE，則∠CBE等于 .3．如圖，點E是正方形ABCD內一點，連接AE，BE，CE，將△ABE繞點B順時針旋轉90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝ 度．4．如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形AB′C′D′的位置，旋轉角為α(0°<α<90°)．若∠1＝110°，則∠α＝ .5.如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE，CF相交于點D.(1)求證：BE＝CF；(2)當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．6.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點A，點G，E分別在線段AD，AB上．(1)如圖①，連接DF，BF，若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，則下列說法“在旋轉過程中線段DF與BF的長始終相等”是否正確？若正確，請說明理由；如不正確，請舉反例說明；(2)如圖②，若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，連接DG，在旋轉的過程中，你能否找到一條線段與DG始終相等，并以圖為例說明理由．二、最值問題

7．如圖，正方形ABCD的面積為16，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE的和最小，則這個最小值為()

A．2B．4

C．6D．89．8.如圖，在菱形ABCD中，AC＝6eq\r(2)，BD＝6，E是BC邊的中點，P，M分別是AC，AB上的動點，連接PE，PM，則PE＋PM的最小值是()A．6 B．3eq\r(3)C．2eq\r(6) D．4.59.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形內部有一動點P滿足S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，則點P到A，B兩點的距離之和PA＋PB的最小值為_____________.10．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，則EF的最小值為 .三、動點問題11.如圖①，點F從菱形ABCD的頂點A出發，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖②是點F運動時，△FBC的面積y(cm2)隨時間x(s)變化的關系圖象，則a的值為()A.eq\r(5) B．2C.eq\f(5,2) D．2eq\r(5)12.如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在坐標軸上，B(8，7)，D(5，0)，點P是邊AB或邊BC上的一動點，連接OP，DP，當△ODP為等腰三角形時，點P的坐標為____________13．在矩形ABCD中，AD＝32cm，AB＝24cm，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q.若P從點A出發，以1cm/s的速度向D運動，設點P的運動時間為ts，則當t＝____________時，以點P和點Q以及點A，B，C，D中的兩個點為頂點的四邊形是菱形．14.如圖，M，N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM＝BN，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F，連接CF，若正方形的邊長為6，則線段CF的最小值是 .15.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E是BC的中點，點F在AD上運動，沿直線EF折疊四邊形CDFE，得到四邊形GHFE，其中點C落在點G處，連接AG，AH，則AG的最小值是 .16．菱形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，其中點A的坐標為(1，0)，點B的坐標為(0，eq\r(3))，動點P從點A出發，沿A→B→C→D→A→B→…的路徑，在菱形的邊上以每秒0.5個單位長度的速度移動，移動到第2018秒時，點P的坐標為 ．17．菱形OBCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B(2，0)，∠DOB＝60°，點P是對角線OC上一個動點，點E(0，－1)，當EP＋BP最短時，點P的坐標為 ．18．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，P，Q分別是AB，AC上的動點，且滿足BP＝AQ，D是BC的中點，連接AD，PD，PQ，DQ.

(1)求證：△PDQ是等腰直角三角形；

(2)當點P運動到什么位置時，四邊形APDQ是正方形？請說明理由．19．如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；(2)判斷直線EG是否經過一個定點，并說明理由．20．如圖①，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上一動點(點G與C，D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE.

(1)試探究線段BG，DE之間存在怎樣的關系并證明你的結論；

(2)將圖①中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度α，得到如圖②、③所示的情形，(1)中的結論是否仍成立？若成立，選擇任意一種情形給出證明；若不成立，請說明理由．21．在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點E，F，垂足為點O.(1)如圖①，連接AF，CE.試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；(2)如圖②，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，已知點P的速度為5cm/s，點Q的速度為4cm/s，運動時間為ts，當以A，P，C，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB上一動點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于點E，垂足為點F，連接CD，BE.

(1)求證：CE＝AD；

(2)當D運動到AB的中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

(3)若D運動到AB的中點，則∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？說明你的理由．23.如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC＝20cm，BD＝12cm，兩動點E，F同時以2cm/s的速度分別從點A，C出發在線段AC上相對運動，點E到點C，點F到點A時停止運動．(1)求證：當點E，F在運動過程中不與點O重合時，以點B，E，D，F為頂點的四邊形為平行四邊形；(2)當點E，F的運動時間t為何值時，四邊形BEDF為矩形？24.已知點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(不與A，B重合)，分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為點E，F，點Q為斜邊AB的中點．(1)如圖①，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是 ，QE與QF的數量關系式是 ；(2)如圖②，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；(3)如圖③，當點P在線段BA(或AB)的延長線上時，此時(2)中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．參考答案：一、旋轉問題1.A2.45°3.1354.20°5.解：(1)∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∴△AEB≌△AFC，∴BE＝CF(2)∵四邊形ACDE為菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE＝eq\r(2)AC＝eq\r(2)，∴BD＝BE－DE＝eq\r(2)－16.解：(1)根據圖形的對稱性，本來DF和BF相等，但是“在正方形AEFG繞點A旋轉的過程中，線段DF與BF始終相等”不正確．例如，當點F旋轉到AB上時，BF最短(小于AB)，而這時DF大于AD，即DF大于BF(2)可以找到一條線段BE與DG始終相等．理由如下：如圖②，連接BE.在正方形ABCD和正方形AEFG中，AE＝AG，AD＝AB，且∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAB－∠GAB＝∠GAE－∠GAB，即∠DAG＝∠BAE.∴△ADG繞點A順時針旋轉90°后能和△ABE重合．∴DG＝BE二、最值問題7.B8.C9.4eq\r(2)10.2.4三、動點問題11.C12.(8，4)或(eq\f(5,2)，7)13.7或2514.3eq\r(5)－315.216.(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))17.(2eq\r(3)－3，2－eq\r(3))18.解：(1)證明：∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中點，∴AD⊥BC，BD＝AD＝DC，∠B＝∠DAQ.又∵BP＝AQ，∴△BPD≌△AQD，∴PD＝QD，∠BDP＝∠ADQ.∵∠BDP＋∠ADP＝90°，∴∠ADQ＋∠ADP＝∠PDQ＝90°，∴△PDQ是等腰直角三角形(2)當點P運動到AB的中點時，四邊形APDQ是正方形．理由：由(1)知△ABD為等腰直角三角形．當點P運動到AB的中點時，DP⊥AB，即∠APD＝90°.又∵∠BAC＝90°，∠PDQ＝90°，∴四邊形APDQ為矩形．又∵DP＝AP＝eq\f(1,2)AB，∴矩形APDQ是正方形19.解：(1)如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2，∴四邊形EFGH為菱形，∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠HEF＝90°，∴菱形EFGH為正方形(2)直線EG經過一個定點．理由如下：如圖，連接BD，DE，BG，EG.EG與BD交于點O.∵BE平行且等于DG，∴四邊形BGDE為平行四邊形，∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，∴點O為正方形的角平分線的交點，∴直線EG必過正方形角平分線的交點20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，證明如下：

延長BG交DE于點H，

∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，

∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，

∴△BCG≌△DCE(SAS)，

∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.

又∠CBG＋∠BGC＝90°，∴∠CDE＋∠DGH＝90°，

∴∠DHG＝90°，∴BH⊥DE，即BG⊥DE(2)仍然成立，選圖②證明，證明如下：

設BG分別與CD，DE交于點H，O，

∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，

∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，

∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，

∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.

又∵∠BHC＝∠DHO，∠CBG＋∠BHC＝90°，

∴∠CDE＋∠DHO＝90°，∴∠DOH＝90°，

∴BG⊥DE21.解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.∵EF垂直平分AC，垂足為點O，∴OA＝OC，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF，∴四邊形AFCE為平行四邊形．又∵EF⊥AC，∴?AFCE為菱形．設AF＝CF＝xcm，則BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5cm(2)顯然，當P點在AF上，Q點在CD上時，A，C，P，Q四點不可能構成平行四邊形；同理：P點在AB上，Q點在DE或CE上時，也不可能構成平行四邊形．因此只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，如圖，連接AP，CQ，則以A，P，C，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，此時PC＝QA.∵點P的速度為5cm/s，點Q的速度為4cm/s，運動時間為ts，∴PC＝5tcm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝eq\f(4,3).∴以A，P，C，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t＝eq\f(4,3)22.解：(1)證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE＝AD(2)四邊形BECD是菱形，理由：∵D為AB的中點，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形．∵DE⊥BC，∴四邊形BECD是菱形(3)當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∵四邊形BECD是菱形，∴∠DBE＝2∠ABC＝90°，∴菱形BECD是正方形．故當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形23.解：(1)證明：連接DE，EB，BF，FD.∵兩動點E，F同時