8.3.2《獨立性檢驗》教學設計一、教學目標（一）新課標要求理解獨立性檢驗的基本思想，掌握統計量的計算方法及其在判斷兩個分類變量相關性中的應用。能夠運用獨立性檢驗的方法解決實際問題，培養數據分析和邏輯推理能力。（二）核心素養數據分析：通過對實際案例數據的整理、分析和計算，提升從數據中提取有效信息并進行合理推斷的能力。邏輯推理：依據獨立性檢驗的原理和規則，進行合理的邏輯推導，準確判斷兩個分類變量之間的關系。二、教學重難點（一）教學重點獨立性檢驗的原理，包括零假設的設定、統計量的意義及計算。運用獨立性檢驗解決實際問題的步驟和方法。（二）教學難點深入理解獨立性檢驗中零假設的內涵以及小概率事件在推斷中的作用。準確應用獨立性檢驗于不同實際情境，避免邏輯錯誤和計算失誤。三、教學方法講授法、案例教學法、小組合作探究法四、教學過程（一）導入（2分鐘）由于在生活中我們常常會遇到判斷兩個分類變量之間是否存在關聯的問題.就像教材中呈現的，性別與體育鍛煉的經常性這兩個分類變量，僅從數據表面很難直接判斷它們之間是否有關聯.因為由頻率具有隨機性，與概率之間存在差異，樣本容量較小時，犯錯誤的概率較大.那有沒有一種科學有效的方法來進行準確判斷呢？今天我們就一起來學習獨立性檢驗，它能幫助我們解決這類問題.（二）新課講授（18分鐘）獨立性檢驗的基本概念考慮以為樣本空間的古典概型.設和為定義在上，取值于的成對分類變量.我們希望判斷事件和之間是否有關聯.首先，我們引入零假設或原假設我們需要判斷零假設或原假設是否成立.這里，表示從中隨機選取一個樣本點，該樣本點屬于的概率；而表示從中隨機選取一個樣本點，該樣本點屬于的概率．零假設等價于可以推斷出，因此，零假設等價于與獨立.對于兩個分類變量和，零假設表示和相互獨立.例如在剛才提到的性別與體育鍛煉的例子中，零假設就是性別與體育鍛煉的經常性無關.如果通過簡單隨機抽樣得到了和的抽樣數據列聯表上表是對分類變量和的抽樣數據的列聯表：最后一行的前兩個數分別是事件和的頻數；最后一列的前兩個數分別是事件和的頻數；中間的四個數是事件的頻數；其中是樣本容量．為了檢驗零假設是否成立，我們用概率和對應的頻率的乘積估計概率，而把視為事件發生的頻數的期望值.這樣，該頻數的觀測值和比較接近．綜上，如果零假設成立，下面四個量的取值都不應該太大：，，，.反之，當這些量的取值較大時，就可以推斷不成立．我們需要一個既合理又能夠計算分布的統計量，來推斷是否成立為此，我們需要借助一個重要的統計量——統計量.我們是將上面四個差的絕對值取平方后分別除以相應的期望值再求和，得到其計算公式為其中在列聯表中都有特定的含義.獨立性檢驗的原理當我們計算出的值后，如何依據它來判斷零假設是否成立呢？這里涉及到小概率事件和臨界值的概念.我們先確定一個小概率值，常見的有0.1、0.05、0.005等，若,稱為的臨界值.每個小概率值都對應一個臨界值.如果，這意味著在零假設成立的情況下，發生了小概率事件。根據小概率事件在一次試驗中不大可能發生的原理，我們就有理由拒絕零假設，即認為兩個分類變量和不獨立；反之，如果，我們就沒有充分的證據拒絕零假設，從而可以認為和是獨立的.這種利用的取值推斷分類變量和是否獨立的方法稱為獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.例如，對于小概率值，我們有如下的具體檢驗規則：（1）當時，我們推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05；（2）當時，我們沒有充分證據推斷不成立，即認為和獨立．（三）例題示范（9分鐘）例2依據小概率值的獨立性檢驗，分析例1中的抽樣數據，能否據此推斷兩校學生的數學成績優秀率有差異？該例研究的是兩校學生的數學成績優秀率是否存在差異.第一步，確定零假設：兩校學生的數學成績優秀率無差異。第二步，從表8.32中獲取數據：第三步，將數據代入計算公式進行計算：第四步，已知小概率值，對應的臨界值2.706,由于0.837<2.706，所以我們沒有充分的證據拒絕零假設，即認為兩校的數學成績優秀率沒有差異.例3某兒童醫院采用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良，我們要分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.首先設定零假設：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.然后根據條件得到列聯表：計算根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即兩種療法效果無差異．（四）練習鞏固（6分鐘）教材練習3：為考察某種藥物對預防疾病的效果，進行了動物試驗，得到如下列聯表：依據=0.05的獨立性檢驗，分析藥物對預防疾病的有效性.請同學們分組進行討論和計算，運用我們剛剛學到的獨立性檢驗方法來解決這個問題.教師巡視各小組，觀察學生的討論和計算過程，適時給予指導和提示.請小組代表上臺展示他們的解題過程和結論.簡單地說，反證法是在某種假設之下，推出一個矛盾結論，從而證明不成立；而獨立性檢驗是在零假設之下，如果出現一個與相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯誤的概率不大于這個小概率．另外，在全部邏輯推理正確的情況下，反證法不會犯錯誤，但獨立性檢驗會犯隨機性錯誤．（五）課堂小結（4分鐘）請同學們回顧一下本節課我們都學習了哪些內容.教師進行補充和完善，再次強調獨立性檢驗的關鍵要點：總結上面的例子，應用獨立性檢驗解決實際問題大致應包括以下幾個主要環節：（1）提出零假設：和相互獨立，并給出在問題中的解釋．（2）根據抽樣數據整理出列聯表，計算的值，并與臨界值比較．（3）根據檢驗規則得出推斷結論．（4）在和不獨立的情況下，根據需要，通過比較相應的頻率，分析和間的影響規律．注意，上述幾個環節的內容可以根據不同情況進行調整例如，在