第第頁廣東省東莞市2024年中考數學二模試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．實數－3的相反數是（）A．－13 B．13 C．32．如圖是由4個大小相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，點P（－5，－2）關于y軸對稱的點的坐標是（）A．（－5，2） B．（－2，5） C．（2，－5） D．（5，－2）4．一個多邊形的內角和是720°，這個多邊形的邊數是（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知點P（m-2，2m-1）在第二象限，且m為整數，則m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．36．如圖，△ABC是等腰直角三角形，a∥b.若∠1=125°，則∠2的度數是（）A．30° B．35° C．40° D．45° 第6題圖 第9題圖 第10題圖7．某小組在一次“在線測試”中做對的題數分別是10，8，6，9，8，7，8，對于這組數據，下列判斷中錯誤的是（）A．眾數是8 B．中位數是8 C．平均數是8 D．方差是88．已知x＝1是關于x的一元二次方程（1－k）x2＋k2x－1＝0的根，則常數k的值為（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或－19．如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝3，BC＝3，E為邊CD上一點．將△BCE沿BE所在的直線翻折，點C恰好落在AD邊上的點F處，CF與BE交于點M，取AF的中點N，連接MN，則MN的長為（）A．3 B．2 C．6－1 D．310．如圖1，在Rt△ABC中，點D為AC的中點，動點P從點D出發，沿著D→A→B的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到點B，在此過程中線段CP的長度y隨著運動時間x的函數關系如圖2所示，則BC的長為（）A．1353 B．45 C．12二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．國家統計局公布了2023年的人口數據：2023年末全國人口140967萬人，比上年末減少208萬人，其中208萬用科學記數法表示為．12．因式分解：3m2－12＝．13．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C在格點上，則∠A正切值是． 第13題圖 第14題圖 第15題圖14．如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，∠A＝60°，弧BD是以點A為圓心，AB長為半徑的弧，弧CD是以點B為圓心，BC長為半徑的弧，則陰影部分的面積為cm2．15．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一個動點，連接AD．過點C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是。三、解答題（一）（本大題共2小題，每小題5分，共10分）16．計算：417．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD為∠BAC的平分線．（1）尺規作圖：過點D作AC的垂線DE，交AC于點E．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若∠C＝30°，AB＝3，則△ACD的面積是．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）18．先化簡，再求值：(1?2x?1)÷x219．如圖，用兩個邊長為8cm的小正方形紙片沿中間對角線剪開，拼成一個大正方形．（1）大正方形的邊長是cm．（2）麗麗同學想用這塊大正方形紙片裁剪出一塊面積為12cm2且長和寬之比為3∶2的長方形紙片，她能裁出來嗎？請說明理由．20．為了解中考體育科目訓練的效果，九年級學生中隨機抽取了部分學生進行了以此中考體育科目測試（把測試結果分為四個等級，A等：優秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并將結果匯成了如圖1、2所示兩幅不同統計圖，請根據統計圖中的信息解答下列問題：（1）本次抽樣測試的學生人數是人；（2）圖1扇形圖中D等所在的扇形的圓心角的度數是▲，并把圖2條形統計圖補充完整；（3）已知得A等的同學有一位男生，體育老師想從4名同學中隨機選擇兩位同學向其他同學介紹經驗，請用列表法或畫樹狀圖的方法求出選中的兩人剛好是一男一女的概率．五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．某學校準備購進一批足球和籃球，從體育商城了解到：足球單價比籃球單價少25元，用250元購買足球與用375元購買籃球的數量相等．（1）求足球和籃球的單價各是多少元；（2）若該學校準備同時購進這兩種足球和籃球共80個，并且足球的數量不多于籃球數量的3倍，求本次購買最少花費多少錢．22．獨輪車（圖1）俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，西漢時已在一些田間隘道上出現．北宋時正式出現獨輪車名稱，在北方，幾乎與毛驢起同樣的運輸作用．如圖2所示為從獨輪車中抽象出來的幾何模型．在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點P，且PD⊥BC，垂足為點D．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若tanC＝12，BD＝2，求⊙O23．如圖，△ABO中，A（0，4），B（－3，0），AB繞點B順時針旋轉與BC重合，點C在x軸上，連接AC，若反比例函數y＝mx是與直線AC僅有一個公共點E（1）求直線AC和反比例函數y＝mx（2）把△ACB沿直線AC翻折到△ACD，AD與反比例函數交于點F，求△FCD的面積．六、解答題（四）（本大題共2小題，每小題10分，共20分）24．在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段BC上一動點，連接AE．（1）如圖①，過點B作BF⊥AE于點G，交直線CD于點F．以點F為直角頂點在正方形ABCD的外部作等腰Rt△CFH，連接AH，EH．求證：△AEH是等腰直角三角形；（2）如圖②，在（1）的條件下，記AH、EH分別交CD于點P、Q，連接PE．①試探究PE、BE、DP之間的數量關系；②設BE＝m，△PQE中邊PE上的高為h，請用含m的代數式表示h．并求h的最大值．25．已知拋物線y＝x2＋bx＋c經過點A（－1，0）和點C（0，－3），與x軸交于另一點B．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為第四象限內拋物線上的點，連接CP、AP、AC，如圖1，若△ACP的面積為1，求P點坐標；（3）設點M為拋物線上的一點，若∠MAB＝2∠ACO時，求M點坐標．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：0-（-3）=3

故答案為：C.

【分析】根據互為相反數的兩個數之和為0解題即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：從左面看，有兩層，上層只有一個正方形且靠左邊，下層有兩個正方形，A符合題意.

故答案為：A.

【分析】根據簡單幾何體的視圖原則解題即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵0-（-5）=5

∴點P關于y軸對稱的點的坐標為（5，-2）

故答案為：D.

【分析】關于y軸對稱的點，橫坐標互為相反數，縱坐標相等.4．【答案】C【解析】【分析】根據內角和定理180°?（n-2)即可求得．【解答】∵多邊形的內角和公式為（n-2)?180°，

∴（n-2)×180°=720°，

解得n=6，

∴這個多邊形的邊數是6．

故選C．【點評】本題主要考查了多邊形的內角和定理即180°?（n-2)，難度適中．5．【答案】B【解析】【解答】∵點P（m-2，2m-1）在第二象限，∴m?2<02m?1>0解得：12∵m為整數，∴m=1，故答案為：B.【分析】根據第二象限內的點的坐標特征：橫坐標小于0，縱坐標大于0列不等式組可求出m的取值范圍，根據m為整數即可確定m的值.6．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，

∵a∥b，

∴∠1+∠ABD=180°，

∵∠1=125°，

∴∠ABD=180°-125°=55°，

∵∠ABC=90°，

∴∠2=180°-90°-55°=90°-55°=35°.

故答案為：B．

【分析】先根據平行線的性質（兩直線平行，同旁內角互補）得出∠ABD的度數，再直角得∠ABC=90°，再根據平角的定義即可得出結論。7．【答案】D【解析】【解答】解：A、8出現3次，次數最多，眾數是8，A正確；

B、將數據從小到大排列為6，7，8，8，8，9，10，中位數是8，B正確；

C、10+8+6+9+8+7+87=8，平均數是8，C正確；

D、1710?82+8?82+6?88．【答案】A【解析】【解答】解：∵x=1是方程的根

∴（1-k）+k2-1=0，解得k=0或1

∵是一元二次方程

∴1-k≠0，即k≠1

∴k=0

故答案為：A.

【分析】根據一元二次方程根的性質，將已知根代入方程，可得關于k的一元二次方程，解方程即可得關于k的一元二次方程；再根據一元二次方程的二次項系數不為0，進行驗證即可求解.9．【答案】D【解析】【解答】解：連接AC，如下圖：

∵△BCE沿BE所在的直線翻折，點C恰好落在AD邊上的點F處

∴BE⊥CF，MF=MC

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ABC=90°

∴AC=32+32=23

∵N是AF的中點，MF=MC

∴MN=12AC=10．【答案】C【解析】【解答】解：由圖2可知，當x=0時，CP=3，此時點P在點D處；

∴CD=3

∵D是AC的中點

∴AC=2CD=6

當點P在AB上運動時，由圖2可知，CP值最小時，運動的時間為3+25，此時CP⊥AB；

此時，點P走過的路程=AC+AD=（3+25）×1=3+25；

∴AP=3+25-3=25

∴CP=252?62=4

∵∠A=∠A，∠ACB=∠APC=90°

∴11．【答案】2【解析】【解答】解：由題意可得：

208萬用科學記數法表示為2.08×106

12．【答案】3（m＋2）（m－2）【解析】【解答】解：3m2-12=3(m2-4)=3（m+2）（m-2）

故答案為：3（m+2）（m-2）.

【分析】先提取公因式3，再根據平方差公式展開即可.13．【答案】114．【答案】4【解析】【解答】解：連接BD，如下圖：

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=AD=4cm，AD∥BC

∵∠A=60°

∴三角形ABD是等邊三角形

∴∠ABD=60°

∴∠ABC=180°-60°=120°

∴∠CBD=120°-60°=60°

∴S陰影=S扇形BDC-（S扇形ABD-S△ABD）=S△ABD=12×4×42?22=43

15．【答案】13【解析】【解答】解：如圖，取AC的中點F，連接BC、BF、EF，則CF=12AC=2，

∵CE⊥AD，AC=4，

∴EF=12AC=2，

則點E在以EF為半徑的圓F上，

∵AB是半圓O的直徑，

∴BC=AB2?AC2=3，

∴BF=BC2+CF2=13，

∴當B、E、F三點共線時，BE取得最小值，16．【答案】解：原式＝2－1＋4－4×1＝2－1＋4－2＝3；17．【答案】（1）解：如圖，以點D為圓心作圓，交AC于兩點，分別以相交的兩點為圓心，作圓交三角形內部一點，連接該交點并延長與AC的交點為E，連接DE即為所求；（2）318．【答案】解：(1?＝x?1?2＝x?3＝xx?3當x＝3+3時，原式＝3【解析】【分析】根據分式的化簡求值原則，先將括號內的式子統分，分母不變，分子合并同類項化為最簡；然后根據完全平方公式和提公因式法將被除數的分子分母化為多項式相乘的形式；最后根據分數的除法原則進行計算化為最簡后，將x的值代入分式計算求值即可.19．【答案】（1）4（2）解：設長方形紙片的長為3x（cm），寬為：2x（cm），∴3x?2x＝12，解得x＝2，∴3x＝32＞4，∴不能使裁下的長方形紙片的長寬之比為：3∶2，且面積為12（cm2）．20．【答案】（1）25（2）解：43.2°10÷40%＝25（人）D等級的人數為25－4－10－8＝3，條形統計圖補充為：（3）解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果數，其中選中的兩人剛好是一男一女的結果數為6，所以選中的兩人剛好是一男一女的概率＝61221．【答案】（1）解：設足球的單價是x元，則籃球的單價是（x＋25）元，根據題意得：250x解得：x＝50，經檢驗x＝50是所列方程的解，且符合題意，∴x＋25＝50＋25＝75（元）．答：足球的單價是50元，籃球的單價是75元；（2）解：設購買足球m個，則購買籃球（80－m）個，根據題意得：m≤3（80－m），解得：m≤60，設學校購買足球和籃球的總費用為w元，則w＝50m＋75（80－m），即w＝－25m＋6000，∵－25＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m＝60時，w取得最小值，為4500元∴答：本次購買最少花費4500元．【解析】【分析】（1）根據題意設未知數，根據用250元購買足球與用375元購買籃球的數量相等，列分式方程，解方程即可求解；

（2）根據這兩種足球和籃球共80個，列不等式，即可求出m的范圍；根據總費用=足球的單價×足球的數量+藍球的單價×籃球的數量，得到一次函數；根據一次函數的性質即可求求解.22．【答案】（1）證明：連接OP，如圖2，

∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A，∴∠OPA＝∠C，∴OP∥BC又∵PD⊥BC，∴OP⊥PD∴PD是⊙O的切線．（2）解：連接PB，如圖2，∵AB為直徑，∴∠APB＝90°，∴∠C＋∠PBC＝90°，又∵∠BPD＋∠PBC＝90°，∴∠C＝∠BPD在Rt△PBD中，∵tan∴PD＝4，∴PB＝22∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC，∴△BDP∽△BPC，∴BP∶BC＝BD∶BP．即25∶BC＝2∶2解得BC＝10，∴BA＝BC＝10，∴⊙O的半徑為5【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的性質和等量代換原則，可得∠OPA＝∠C；根據同位角相等，兩直線平行，可得OP∥BC；根據兩直線平行，內錯角相等，可得OP⊥PD，即可求證；

（2）根據圓周角定理和等量代換原則，可得∠C=∠BPD；根據解直角三角形-邊角關系，可得PD的值；根據勾股定理，可得PB的值；根據三角形相似的判定和性質，可得對應邊成比例，進而可得BC的值，即可求解.23．【答案】（1）解：如圖

∵A（0，4），B（－3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝42∵BC＝AB，∴OC＝5－3＝2，∴C（2，0），設直線AC的解析式為y＝kx＋4，代入C（2，0）得，0＝2k＋4，解得k＝－2，∴直線AC為y＝－2x＋4，令－2x＋4＝kx．整理得2x2∵反比例函數y＝mx∴△＝0，即（－4）2－4×2×m＝0，解得m＝2，∴反比例函數的解析式為y＝2x（2）解：由題意可知AB＝BC＝CD＝DA，∴四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴F點的縱坐標為4，把y＝4代入y＝2x得，x＝1∴F（12∴AF＝12∵DF＝9∴∴△FCD的面積為9【解析】【分析】（1）根據直角坐標系中兩點間的距離，可得OA和OB的值；根據勾股定理，可得AB的值，進而可得BC的值；根據直角坐標系中點的坐標，可得點C的坐標；根據一次函數的性質，將已知點C的坐標代入函數即可求出直線AC的解析式；根據反比例函數與一次函數交點的性質，可得一元二次方程，根據只有一個交點，根的判別式為0，列一元一次方程，即可求出反比例函數的解析式；

（2）根據菱形的判定和性質，可得AD∥BC；根據反比例函數上點的性質，可得點F的坐標，進而可得AF的值；根據三角形的面積公式，可得三角形FCD的面積.24．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，BE＝CF，∵CF＝FH，∴BE＝FH，∵BC//FH，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF＝EH，∴AE＝EH，∴BF//EH，BF⊥AE，∴AE⊥EH，∴∠AEH＝90°，∴△AEH是等腰直角三角形；（2）解：①結論：PE＝BE＋PD．理由：如圖②中，將△ADP繞點A順時針旋轉90°得到△ABT，則C，B，T共線．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵△EAH是等腰直角三角形，∴∠EAH＝45°，∴∠EAT＝∠BAT＋∠BAE＝∠DAP＋∠BAE＝45°，∴∠EAT＝∠EAP，∵AE＝AE，AT＝AP，∴△EAT≌△EAP（SAS），∴PE＝ET，∵ET＝BT＋BE＝PD＋BE，∴PE＝BE＋PD．②∵△EAT≌△EAP，∴∠AET＝∠AEP，∵∠AEH＝90°，∴∠AET＋∠CEQ＝90°，∠AEP＋∠PEQ＝90°，∴∠CEQ＝∠PEQ，∴點Q到PE的距離的長＝CQ＝h，∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEQ，∴△BAE∽△CEQ，∴AB∴1∴h＝－m2＋m＝?∵－1＜0，∴m＝12時，H的值最大，最大值為1【解析】【分析】（1）根據正方形的性質，可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°；根據垂線的性質和等量代換原則，可得∠BAE＝∠CBF；根據三角形全等的判定（ASA）和性質，可得AE＝BF，BE＝CF，進而可得BE=FH；根據平行四邊形的判定和性質，可得BF=EH，進而可得AE=EH；根據等腰直角三角形的判定，可得△AEH是等腰直角三角形；

（2）①根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質，可得∠BAD=90°，∠EAH=45°；根據根據三角形全等的判定（SAS）和性質，可得PE=ET；根據線段的計算和等量代換原則，可得PE=BE+PD；

②根據三角形全等的性質，可得∠AET=∠AEP；根據三角形內角和定理和等量代換原則，可得∠CEQ=∠PEQ，進而可得∠BEA=∠CEQ；根據三角形相似的判定和性質，可得對應邊成比例，進而可得關于m的二次函數，化為頂點式，即可求最值.25．【答案】（1）解：將點A、C的坐標代入拋物線表達式得，1?b+c=0c=?3，解得b=?2故拋物線的表達式為y＝x2－2x－3；（2）解：如圖所示，過點P作PQ//y軸交直線AC于點Q∴又∵OA＝1∴PQ＝2設直線AC為y＝kx＋b?k+b=0b=?3，解得k=?3∴y＝