考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規定的地方.3.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規范答題，在本試卷紙上答題一律無效.4.考試結束后，只需上交答題卷.第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則的虛部是（）A.-1 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由復數的概念與運算求解．【詳解】由，得，的虛部是，故選：A2設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由對數運算和指數運算求解集合，，然后根據集合的運算，即可求解.【詳解】因為，所以，所以集合，因為，所以，即，所以集合，所以，因為或，所以或或，所以.故選：.3.已知是奇函數，則常數（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據奇函數的性質求解即可.【詳解】因為是奇函數，且定義域為，所以，解得，此時，，即，滿足奇函數定義，故選：C4.在正方體中，分別為的中點，則（）A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】【分析】建系，分別求出所需各面的法向量，再用法向量垂直與平行逐個選項求出即可.【詳解】如圖，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設邊長為2，則，則，，設平面的法向量為，則，令，則，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量，平面的法向量為，對A，因為，則可知與不平行，故A錯誤；對B，因為，則與不垂直，故B錯誤；對C，因，所以與不平行，故C錯誤；對D，因為，與垂直，故D正確；故選：D.5.袋子中裝有3個紅球和4個藍球，甲先從袋子中隨機摸一個球，摸出球不再放回，然后乙從袋子中隨機摸一個球，若甲?乙兩人摸到紅球的概率分別為，則（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求出后可得正確的選項.【詳解】設為“甲摸到紅球”，為“乙摸到紅球”，而乙兩人摸到紅球可分為甲摸到紅球后乙摸到紅球、甲摸到藍球后乙摸到紅球，則，而，故，故選：A.6.在平行四邊形中，點是的中點，點分別滿足，設，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用平面向量基底法用表示，再利用向量垂直的性質與數量積的運算法則即可得解.【詳解】因為點是的中點，，所以，；因為，所以，則，故A正確.故選：A.7.已知正項等差數列的前項和為，則“”是“為等差數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據兩者之間的推出關系可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】設等差數列的公式為，若，則，故，故，故，故即為等差數列，故“”是“為等差數列”的充分條件.若為等差數列，設其公差為，則，故，故，其中.因為為等差數列，故也應該符合上式，故，故，故，故，，故，故“”是“為等差數列”的必要條件.綜上，“”是“為等差數列”的充要條件，故選：C.8.雙曲線的左右焦點分別為是雙曲線右支上一點，點關于平分線的對稱點也在此雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，由題意可知且三點共線，設，根據雙曲線的定義求得，，，在、中分別利用余弦定理計算即可求解.【詳解】如圖，設關于平分線的對稱點為Q，則該角平分線為線段的垂直平分線，所以，且三點共線，設，則，，所以，在中，由余弦定理，得，又，所以，解得，所以，在中，由余弦定理，得，整理，得，由，解得.即雙曲線的離心率為.故選：B二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內，如果四邊形是邊長為2的正方形，則（）A.異面直線與所成角大小為B.二面角的平面角的余弦值為C.此八面體一定存在外接球D.此八面體的內切球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，運用坐標法計算異面直線所成角及二面角可判斷A項、B項，由可判斷C項，運用等體積法求得內切球的半徑，進而可求得內切球的表面積即可判斷D項.【詳解】連接、交于點，連接、，因為四邊形為正方形，則，又因為八面體的每個面都是正三角形，所以、、三點共線，且面，所以以為原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，，對于A項，，，設異面直線與所成角為，則，所以，即異面直線與所成角大小為，故A項正確；對于B項，，，，設面的一個法向量為，則，取，則，，則，設面的一個法向量為，則，取，則，，則，所以，又因為面與所成的二面角的平面角為鈍角，所以二面角平面角的余弦值為，故B項錯誤；對于C項，因為，所以為此八面體外接球的球心，即此八面體一定存在外接球，故C項正確；對于D項，設內切球的半徑為，則八面體的體積為，又八面體的體積為，所以，解得，所以內切球的表面積為，故D項正確.故選：ACD.10.函數相鄰兩個最高點之間的距離為為的對稱中心，將函數的圖象向左平移后得到函數的圖象，則（）A.在上存在極值點B.方程所有根的和為C.若為偶函數，則正數的最小值為D.若在上無零點，則正數的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】根據給定條件，求出函數及的解析式，結合余弦函數的圖象、性質逐項分析判斷得解.【詳解】依題意，，解得，由，得，而，則，，，對于A，當時，，顯然當時，函數取得極大值，A正確；對于B，由，得函數的圖象關于點對稱，直線過點，因此直線與的圖象交點關于點對稱，共有個交點，即方程共有個根，所有根的和為，不存在使得，B錯誤；對于C，函數是偶函數，則，，因此當時，正數取得最小值，C正確；對于D，函數，當時，，由在上無零點，得，則，解得，顯然，即，于是，所以正數的取值范圍為，D錯誤.故選：AC11.在平面直角坐標系中，如果將函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉（為弧度）后，所得曲線仍然是某個函數的圖象，則稱為“旋轉函數”，則（）A.，函數都為“旋轉函數”B.若函數為“旋轉函數”，則C.若函數為“旋轉函數”，則D.當或時，函數不是“旋轉函數”【答案】BCD【解析】【分析】對A，舉例說明即可；對BCD，設將旋轉后得出方程，則只需與原函數僅有一個交點即可，然后逐項求解判斷即可.【詳解】對A：當旋轉時與軸重合，此時個對應多個值，故A錯誤；對B：將旋轉后所得直線為，則只需與原函數僅有一個交點；令，，當時，只有一個零點，所以，即，故B正確；對C：令，當在定義域內僅有唯一解時，即，當時，僅有一個解，故滿足題意；當時，的判別式，對任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意；故，故C正確；對D：若是“旋轉函數”，當僅有唯一解時，即，令，，令，則當時，方程為，得，僅有唯一解，符合題意；當時，當，，當，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又因為時，，，所以可得先減后增，不符合題意；當時，當，，當，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，有極大值也是最大值，即，則；綜上得存在時，是“旋轉函數”，故D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：（1）導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理；（2）利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用；（3）證明不等式，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.有甲乙兩生從“物理?化學?生物?政治?歷史?地理和技術”七門科目中選三門作為高考選考科目，學生甲物理和化學兩門必選，并在另外的五門中任選一門；學生乙必選政治學科，但一定不選物理?化學，則甲乙兩人有且只有一門選科相同的選科方法總數有__________種.（用數字作答）【答案】18【解析】【分析】分學生甲選擇政治和不選擇政治討論，結合計數原理求解即可.【詳解】若學生甲在另外五門中選擇政治，由于學生乙一定不選物理、化學，所以無論學生乙如何選，甲乙兩人一定有且只有一門選科相同，此時有種；若學生甲在另外五門中不選擇政治，此時甲有種選法，甲乙兩人有且只有一門選科相同，則乙有種選法，此時共有種選法；綜上，甲乙兩人有且只有一門選科相同的選科方法總數有種，故答案為：13.是圓上一動點，為的中點，為坐標原點，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】寫出圓的參數方程，進而可得點坐標，結合兩點間距離公式轉化為求三角函數的最值即可.【詳解】如圖所示，因為圓：的參數方程為，所以設點，則的中點，所以，當時，取得最大值為.故答案為：.14.已知函數滿足為的導函數，.若，則數列的前2023項和為__________.【答案】【解析】【分析】由，可得，從而得，然后利用倒序相加法從而可求解.【詳解】由題意知，所以，即，又因為，所以，所以，，將兩式相加可得：.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題主要是對求導后得，主要能夠找到的關系，再根據倒序相加法從而可求解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某校為了解本校學生課間進行體育活動的情況，隨機抽取了120名男生和120名女生，通過調查得到以下數據：120名女生中有20人課間經常進行體育活動，120名男生中有40人課間經常進行體育活動.（1）完成如下列聯表（單位：人），并判斷能否有的把握認為學生課間經常進行體育活動與性別有關聯.性別課間進行體育活動情況合計不經常經常男女合計（2）以樣本的頻率作為概率的值，在全校的學生中任取3人，記其中課間經常進行體育活動的人數為，求的分布列與數學期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯表見解析，有關聯；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據已知補全列聯表，根據獨立性檢驗，計算的值，與對比即可得出答案；（2）根據已知得出在全校學生中隨機抽取1人，其課間經常進行體育活動的概率為，則隨機變量的所有可能取值為，，，，且，計算出對應的概率，再結合期望公式求解即可.【小問1詳解】補全列聯表如下：性別課間進行體育活動情況合計不經常經常男8040120女10020120合計18060240提出零假設：學生課間經常進行體育活動與性別相互獨立，即課間是否經常進行體育活動與性別無關，依題意，，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即有的把握認為學生課間經常進行體育活動與性別有關聯；【小問2詳解】由題意得，學生課間經常進行體育活動的頻率為，所以在全校學生中隨機抽取1人，其課間經常進行體育活動的概率為，而隨機變量的所有可能取值為，，，，則由題意得，所以，，，，，，，，，的分布列如下：0123所以的數學期望.16.記的內角所對的邊分別是，且滿足.（1）證明：；（2）若的面積為，求；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據兩角和、差的正弦公式化簡后可證.（2）根據正弦定理可將面積轉化為角的三角函數關系式，化簡后可得，結合（1）中結果可求.【小問1詳解】由得，則，得，若，則，則均為直角，與題設矛盾，故，故，故，故.【小問2詳解】，所以，則，，從而，又，從而，，所以.17.在三棱錐中，.（1）證明：平面平面；（2）點為棱上，若與平面所成角的正弦值為，求的長；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖過作，由相似三角形的判定定理與性質求得，根據勾股定理的逆定理可得，結合面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標系，設，根據空間向量的線性運算表示出的坐標，利用空間向量法求線面角建立關于的方程，解之即可求解.【小問1詳解】過作，垂足為，由，得，，得，由，得，所以，即，所以；在中，，所以，又平面，所以平面平面，所以平面平面；【小問2詳解】如圖以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系；得，設，，設平面的一個法向量為，則，令，則，則，設直線與平面所成角為，則，，所以；18.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，左頂點為，過右焦點作直線與橢圓分別交于兩點（異于左右頂點），連接.（1）證明：與不可能垂直；（2）求的最小值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求出橢圓方程，設出點坐標，結合求解即可.（2）設直線方程，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理可表示，運用換元法進而將問題轉化為求關于的二次函數的最小值.【小問1詳解】由題意知，，又因為，所以橢圓方程為，則，證明：設，，則①，如圖所示，假設，即，所以，又，，所以②，由①②消去