湖南省常德市2023-2024學年高一數學下學期6月份月考試題考試范圍：必修二第六章~第九章時間：120分鐘滿分：100分一、單選題(每個小題3分，共24分)1.某校為調查學生跑步鍛煉的情況，從該校3000名學生中隨機抽取300名學生，并統計這300名學生平均每周的跑步量（簡稱“周跑量”，單位：周），得到如圖所示的頻率分布直方圖.稱周跑量不少于周的學生為“跑步達人”，用頻率分布直方圖估計這3000名學生中“跑步達人”的人數為（）A.66 B.132 C.660 D.720【答案】C【解析】【分析】根據頻率分布直方圖計算頻率，即可求解人數.【詳解】由頻率分布直方圖可知：周跑量在的頻率為，所以3000名學生中“跑步達人”的人數為，故選：C2.已知向量滿足，則與的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【分析】由題意，先求出，然后根據向量夾角公式即可求解.【詳解】解：因為，所以，設與的夾角為，則，因為，所以，故選：B.3.長方體相交于一個頂點的三條棱長的比是，體對角線長為，則這個長方體的表面積為（）A.12 B.22 C.32 D.44【答案】B【解析】【分析】設棱長為，然后根據對角線長為可求出，然后可得答案.【詳解】因為長方體相交于一個頂點的三條棱長的比是所以可設棱長為所以其體對角線長為，解得所以這個長方體的表面積為故選：B4.若圓錐軸截面是等邊三角形且軸截面的面積為，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圓錐的幾何特征列方程可得圓錐底面圓的半徑，再由圓錐的體積公式即可得解.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為，則，解得，所以圓錐的體積.故選：D.【點睛】本題考查了圓錐幾何特征應用及體積的求解，考查了運算求解能力，屬于基礎題.5.已知向量，，，若與的夾角為，且⊥，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運算得到，再由向量垂直得到方程，求出.【詳解】，即，所以，因為⊥，所以，解得故選：A6.若虛數是方程的一個根，則實數，的值分別為（）A.1，2 B.，2 C.1， D.，【答案】B【解析】【分析】由實系數方程的虛數根成對出現的性質得另一根，然后由韋達定理求解．【詳解】關于的方程有一個根為（，為虛數單位），則也是此方程的一個根．所以，，解得，．故選：B．7.2020年春節后，因受疫情影響，某高中學校為學生導學助學開展網課，為了解網課教學方式對學生視力影響情況，在學校抽取了名同學進行視力調查.如圖為這名同學視力的頻率分布直方圖，其中前組的頻率成等比數列，后組的頻數成等差數列，設最大頻率為，在4.6到5.0之間的數據個數為，則的值分別為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據頻率分布直方圖，分別求得，，，，進而求得頻率，在結合等差數列，求得，求得，，，，，進而求得的值，即可求解.【詳解】這100名同學視力的頻率分布直方圖，其中前4組的頻率成等比數列，因為的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為，所以后6中的頻數成等差數列，所以，解得，所以的頻率為，的頻率為，的頻率為，的頻率為，的頻率為，所以的頻率為，所以，在到之間的數據個數為.故選：A.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的頻率、頻數的求法，以及等差數列、等比數列的性質等基礎知識的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.8.已知分別是三個內角的對邊，下列關于的形狀判斷一定正確的為（）A.，則為直角三角形B.，則為等腰三角形C.，則為直角三角形D.，則為等腰三角形【答案】C【解析】【分析】將用正弦定理轉化為，由的取值范圍可判斷的形狀；由進行化簡可得，由解方程，進而可判斷可判斷的形狀.【詳解】對于AB，當時，由正弦定理可得，即，因為，所以，所以，即，得，所以，則，于是為直角三角形或鈍角三角形，故AB錯誤；對于CD，當時，由，得，整理得，由正弦定理，，（是外接圓的半徑）由余弦定理，，即，解得或，即，解得或，故為直角三角形，故C正確，D錯誤；故選：C.二、多選題(每個小題5分，共15分，若只選對部分，給2分)9.為了了解參加運動會1000名運動員的年齡情況，從中抽取了10名運動員的年齡進行統計分析.下列說法中正確的有（）A.1000名運動員的年齡是總體 B.所抽取的10名運動員是一個樣本C.樣本容量為10 D.每個運動員被抽到的機會相等【答案】ACD【解析】【分析】根據抽樣方法，利用總體、樣本、樣本容量的定義逐項判斷作答.【詳解】對于A，1000名運動員的年齡是總體，故A正確；對于B，所抽取的10名運動員的年齡是一個樣本，故B錯誤；對于C，樣本容量為10，故C正確；對于D，每個運動員被抽到的機會相等，故D正確.故選：ACD.10.根據國家統計局數據顯示，我國2010~2019年研究生在校女生人數及所占比重如圖所示，則下列說法正確的是（）A.2010~2019年，我國研究生在校女生人數逐漸增加B.可以預測2020年，我國研究生在校女生人數將不低于144萬C.2017年我國研究生在校女生人數少于男生人數D.2019年我國研究生在校總人數不超過285萬【答案】ABC【解析】【分析】根據統計圖表依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，從2010-2019年，我國研究生在校女生人數逐漸增加，故A正確；對選項B，由于2010-2019年，我國研究生在校女生人數逐年增加，且2019年人數為144.8萬，故B正確；對選項C，2017年我國研究生在校女生人數所占比重為48.4%，不足一半，故C正確；對選項D，，故2019年我國研究生在?？側藬党^285萬，故D項錯誤.故選：ABC11.已知某圓錐的母線長為1，其軸截面為直角三角形，則下列關于該圓錐的說法中正確的有（）A.圓錐的體積為B.圓錐的表面積為C.圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形D.圓錐的內切球表面積為【答案】ABC【解析】【分析】根據勾股定理求出圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積公式以及表面積公式可判斷A、B；根據圓錐側面展開圖與圓錐的數量關系，可得扇形的半徑以及弧長，即可求得圓心角，即可判斷C項；根據圓錐的軸截面，可知圓錐內切球的半徑即等于內切圓的半徑.根據等面積法即可求得外切圓的半徑（即外切球的半徑），代入球的表面積公式可判斷D.【詳解】如圖1為圓錐的軸截面，圓錐母線，且.則，所以底面半徑，圓錐的高.對于A項，圓錐的體積，故A正確；對于B項，圓錐的表面積，故B正確；對于C項，圓錐的側面展開圖的半徑，弧長為，則圓心角，故C正確；對于D項，如圖2，作出圓錐及其內切球的軸截面，設圓錐的內切球半徑為，易知，圓錐內切球的半徑即等于內切圓的半徑.，又，所以，所以.圓錐的內切球表面積，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題(每小題3分，共9分)12.設的內角的對邊分別為，，．若，，，則_____________【答案】或【解析】【詳解】試題分析：由，則可運用同角三角函數的平方關系：，已知兩邊及其對角，求角．用正弦定理；，則；可得．考點：運用正弦定理解三角形．（注意多解的情況判斷）13.某城市有學校1000所，其中大學20所，中學400所，小學580所，現在取50所學校作為一個樣本進行一項調查，用分層抽樣進行抽樣，應該選取小學__________所．【答案】29【解析】【分析】根據分層抽樣的定義，求出小學的數量在總體樣本中所占的比例即可得出答案.【詳解】因為總體樣本是1000所，小學580所，小學在總體樣本中所占的比例為，所以在小學中抽取的樣本為：所.故答案為：29.14.在三棱錐中，，，點是側棱的中點，且，則三棱錐的外接球的體積為___________．【答案】.【解析】【分析】先證明平面，求出三角形外接圓半徑，進而求出球體的半徑，在求出球的體積.【詳解】如圖所示，由，，得,由是的中點，，解得，又，所以，得，又，平面，所以平面.設球心為，點到底面的距離為，由正弦定理得的外接圓半徑，在三角形中，球的半徑，所以三棱錐的外接球的體積為.故答案為：15.已知非零向量滿足，且，求與的夾角.【答案】【解析】【分析】根據題意，設與的夾角為，由，整理變形可得，由，由數量積的計算公式可得，結合，即可求解.【詳解】設與的夾角為，，若，則，展開可得：，即，又因為，所以，因為，所以.【點睛】關鍵點點睛：將兩邊平方整理變形可得，結合，結合數量積的計算公式即可求解.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求角A的大小；（2）設，，求b．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理邊角關系可得，應用余弦定理求得，即可得A的大??；（2）由題設有，根據二倍角正弦公式求得，再應用正弦定理求b.【小問1詳解】由題設，即，所以，又，故.【小問2詳解】由（1）知：，則，而，故，所以，而，故.17.某校計劃在秋季運動會期間開展“運動與健康”知識大賽，為此某班開展了10次模擬測試，以此選拔選手代表班級參賽，下表為甲，乙兩名學生的歷次模擬測試成績．場次12345678910甲98949797959393959395乙92949394959496979798甲，乙兩名學生測試成績的平均數分別記作，方差分別記作．（1）求，；（2）以這10次模擬測試成績及（1）中的結果為參考，請你從甲，乙兩名學生中選出一人代表班級參加比賽，并說明你作出選擇的理由．【答案】（1），，，；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）直接利用平均數公式和方差公式計算即可，