第3章功和能本章重點：3.1；3.2；3.3；3.4

？

3.1

功保守力力對空間的積累3.1.1功由所做的功∶1、外力對質點的功定義元功：直角坐標下：2、多個力作用時的功（對質點）合力對質點所做的功，等于每個分力所做的功的代數和。（1）功是標量（可正、可負、可為零）（2）功與路徑有關，是過程的函數（過程量）（3）功是力對空間的積累（4）功的單位為焦耳（J）說明物體位移為dx時，彈簧的彈性力做的元功為1、彈簧彈力的功當物體處于

x

處時所受的彈力為：物體由x1

移動到x2

處時彈性力所做的功為：由此可見：彈簧伸長時，彈力做負功；彈簧收縮時，彈力做正功。 彈性力的功A的大小僅與始末狀態有關，而與路徑無關。3.1.2幾種常見力的功矢量式為：2、重力的功

作用于質點上的重力

位移元

在由P1到P2的過程中重力做功為:重力的功只與始、末位置有關，與具體路徑無關。質點下降時重力做正功，質點上升時重力做負功。

3、萬有引力的功。討論：①萬有引力做功僅與始末狀態有關，與路徑無關。②在不同的位置，其功的正負和數值不同，在c，d點A=0,在f點附近做正功，在e點附近做負功。③軌道為圓形時，A=0。m1在m2的引力場中沿任意路徑由a移到b

。4、摩擦力的功

質量為m的質點，在固定的粗糙水平面上由初始位置P1沿某一路徑L1運動到末位置P2，路徑長度為s。質點由P1點沿L1運動到P2點的過程中，摩擦力所做的功為:摩擦力的功不僅與始、末位置有關，而且與具體的路徑有關。

由于摩擦力的方向總是與速度的方向相反，所以元功為3.1.3保守力與非保守力特點：功只與初、末位置有關，而與質點的具體路徑無關。1、保守力：做功只與物體的始末位置有關，而與路徑無關的力。例：重力、萬有引力、彈性力、靜電力等保守力的環流等于零。3、非保守力：力所做的功與路徑有關，或力沿閉合路徑的功不為零。這種力為非保守力。

如摩擦力、粘滯阻力、沖力、火箭的推動力等2、保守力沿任何一閉合路徑所做的功為零。證明：平均功率：瞬時功率：3.1.4功率表示做功快慢的物理量定義：功隨時間的變化率.SI單位:焦耳/秒(瓦特)定義：與位置坐標有關的能量稱為勢能

3.2勢能3.2.1勢能重力、萬有引力、彈性力做功的公式分別為保守力做功與始、末位置有關，而與路徑無關。保守力做功必然伴隨著能量的變化，而這種能量僅與位置坐標有關。積分路徑是任意的。質點從a點移到零勢能點的過程中，保守力做的功。重力勢能為

萬有引力勢能為

彈性勢能為

③只有保守力場才能引入勢能的概念。①勢能是屬于整個系統的。②勢能只有相對的意義，在零勢能點確定之后，各點的勢能才具有唯一的確定值。說明質點在保守力場中任意兩點（如點a和點b）的勢能差等于把質點從a點經過任意路徑移到b點的過程中保守力F所做的功。即重力勢能差、萬有引力勢能差和彈性勢能差分別為可統一寫成

勢能定理3.2.2保守力與勢能梯度在保守力場中，質點在某點所受的保守力等于該點勢能梯度矢量的負值。—哈密頓算符3.3.1質點的動能定理末態的狀態量初態的狀態量導致狀態量變化1.質點的動能由于運動而具有的能量。

標量狀態量

3.3動能定理2.質點的動能定理合外力對質點做的功等于該質點動能的增量。

—質點的動能定理①功是動能變化的量度： 外力做正功，質點動能增加

外力做負功，質點動能減少②A為過程量，與過程有關，而Ek為狀態量③A與v應對應同一慣性系3.用動量表示動能mpEK22=動能定理的微分形式動能定理的積分形式說明例題1

質量為m、線長為l的單擺，可繞O點在豎直平面內擺動。初始時刻擺線被拉至水平，然后自由放下，求擺線與水平線成角時，擺球的速率和線中的張力。解擺球受擺線拉力T和重力mg,合力做的功為由動能定理牛頓第二定律的法向分量式為:

證明：由牛頓第二定律：又由于故有：即：亦即：補充例題：在光滑的水平桌面上平放有半圓形屏障。質量為m的滑塊以速度v0沿切線方向進入屏障內，滑塊與屏障間的摩擦系數為μ，試證明：當滑塊從屏障的另一端滑出時，摩擦力所做的功為：作定積分，得：即：故：由質點的動能定理得：質點系所有內力之和為零1、質點系、內力和外力：外力：質點系以外的物體對系統的作用力稱為外力。內力：質點系內各質點之間的相互作用力稱為內力。注意：質點系中任意一個質點，例如第i個質點受的系統內其它質點作用力的矢量和不一定為零。質點系內各質點受的外力的矢量和稱為質點系受的合外力，即3.3.2質點系的動能定理：質點系：含兩個或兩個以上的質點的力學系統。

對m1:對m2:對各質點應用動能定理：兩式相加，得：即2、質點系的動能定理：2、n

個質點的系統：推廣：

所有外力對系統做的功與內力對系統做的功之和等于質點系總動能的增量。4、內力能改變系統的總動能。1、功是動能變化的量度。功為過程量，動能為狀態量。2、動能是質點因運動而具有的做功本領。3、功與動能必須對應同一慣性系。說明質點系動能定理的微分形式質點系動能定理的積分形式兩質點間的一對作用力和反作用力所做功之和等于其中一個質點受的力沿著該質點相對于另一質點所移動的路徑所做的功。一對作用力和反作用力的功m1、m2組成一個封閉系統在

t時間內om1m2TA做負功、T

B做正功，其代數和為零。由動能定理得∶解得：系統初態動能為：例題2、物體mA和mB通過一不能伸縮的細繩相連，mA

由靜止下滑，mB

上升，mA滑過S的距離時，mA和mB的速率v=?(摩擦力及滑輪的質量不計)。解：選取物體A、B與細繩組成一系統，系統所受外力為重力PA、PB

支持力N；內力為繩子的拉力。末態動能為：

3.4機械能守恒定律能量守恒定律3.4.1質點系的功能原理質點系動能定理的微分形式和積分形式分別為

內力做的功包含保守內力所做的功和非保守內力所做的功，則

而則質點系的功能原理的微分形式和積分形式可以寫成：E表示動能和勢能之和，稱為機械能。

系統機械能的增量等于外力和非保守內力對它做的功。

————質點系的功能原理質點系的功能原理與質點系的動能定理所含的物理內容一樣，但表達方式不同。它對于不同的慣性系也保持其形式不變。需要指出的是:在動能定理中,功包括所有外力功和內力功。在功能原理中的功,包括外力功和非保守內力功。決不能把保守內力的功,在功能原理中計算在內,因為它已用勢能的形式考慮在內。

說明3.4.2機械能守恒定律如果每一微小過程中外力做的功和非保守內力做的功之和為零，則此過程中的機械能守恒。語言表述：如果一個系統所受的外力和非保守內力對它所做的總功始終為零，或只有保守內力做功而其它內力和外力都不做功，則系統各物體的動能和勢能可以相互轉換，但其和為一恒量。3.4.3能量守恒定律：對一個孤立系統來說，無論發生何種變化，各種形式的能量可以相互轉換，但無論如何轉換，能量既不能產生，也不能消滅，總量保持不變。時，例題3

有一質量略去不計的輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環的頂點P，另一端系一質量為m的小球，小球穿過圓環并在圓環上做摩擦可略去不計的運動。設開始時小球靜止于A點，彈簧處于自然狀態，其長度為圓環的半徑R。當小球運動到圓環的底端B點時，小球對圓環沒有壓力。求此彈簧的勁度系數。解

取彈簧、小球和地球為一個系統，小球與地球間的重力、小球與彈簧間的作用力均為保守內力。而圓環對小球的支持力和P點對彈簧的拉力雖都為外力，但都不做功，所以，小球從A運動到B的過程中，系統的機械能守恒。取彈簧為自然狀態時的彈性勢能為零；取B點處的重力勢能為零，由機械能守恒定律可得對于B點處，由牛頓第二定律得聯立上面二式，可得例題4要使物體脫離地球的引力范圍，求從地面發射該物體的速度最小值為多大？（忽略空氣阻力）

解：由機械能守恒定律得到

要脫離地球的引力范圍，需滿足：最小發射速度：例題5

目前，天體物理學家預言有一類天體，其特征是它的引力非常之大，以至包括光在內的任何物質都不能從它上面發射出來，這種天體被稱為黑洞（blackhole)。若由于某種原因，太陽變成了一個黑洞，它的半徑必須小于何值？

解

由機械能守恒定律當時m要從M上逃逸，有：逃逸速度為,v與m無關,與R、M有關.光也不能從此天體上逃逸出來，成為黑洞若一個質量M的天體，只要半徑R縮小到某一臨界值此天體就成為黑洞。太陽M=1.99×1030kg,R=6.96×108m成為黑洞。當2004年發現的當時號稱最龐大最古老的黑洞。其質量是太陽質量的100多億倍，相當于銀河系內所有