寧波“十校”2025屆高三3月聯考數學試題卷考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規定的地方。3.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規范答題，在本試卷紙上答題一律無效。4.考試結束后，只需上交答題卷。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知隨機變量，則（）A.2 B.3 C.4 D.92.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.在平面直角坐標系中，動點滿足方程，則動點軌跡的離心率為（）A. B.2 C. D.4.已知函數為偶函數，則（）A. B. C. D.5.已知，則的最大值為（）A. B. C.1 D.6.對空間中的非零向量，記向量與，的夾角為，對，，則的最大值是（）A.5 B.6 C.7 D.87.在四邊形ABCD中，已知，若，，，則BD的長度為（）A.4 B. C.5 D.8.已知函數，對任意，都有恒成立，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.在二項式的展開式中，前3項的系數成等差數列，則下列結論中正確的是（）A.B.展開式中所有奇數項的二項式系數和為128C.常數項為D.展開式中系數最大項為第3項和第4項10.已知函數部分圖像如圖所示，則下列說法中正確的是（）A.的圖像關于直線對稱B.的圖像關于點對稱C.將函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像D.若方程在上有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是11.在棱長為2的正方體中，P為面內以AD為直徑的半圓上的動點，則（）A.BP的最大值為B.BP與平面ABCD所成角的最大值的正弦值為C.的最小值為D.二面角的最小值的正切值為第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復數z滿足，則的最小值為________。13.已知點F為拋物線：的焦點，過F的直線l（傾斜角為銳角）與交于A，B兩點（點A在第一象限），交其準線于點C，過點A作準線的垂線，垂足為D，若，則________.14.生活中經常會統計一列數據中出現不同數據的個數。設，對于有序數組，記為，，，，中所包含的不同整數的個數，比如：，.當取遍所有的個有序數組時，的總和為________。四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知函數.（1）化簡，并求的值；（2）在銳角△ABC中，內角A滿足，求的值。16.（15分）在三棱錐中，，，，D為AC的中點。（1）求證：；（2）若二面角的大小為，求直線AC與平面PBC所成的角。17.（15分）已知函數，，為自然對數的底數。（1）當時，求函數在點處的切線方程；（2）若不等式對任意恒成立，求k的取值范圍。18.（17分）已知橢圓E：的離心率為，且過點.（1）求橢圓E的標準方程；（2）已知點，，過點P作直線l（不與x軸重合）交橢圓E于A，B，連接BG交E于點C，連接AC，直線AC與x軸交于點H.（i）求的值；（ii）若點A在線段BP上，求的取值范圍。19.（17分）對于數列，若存在正整數T，使得從數列的第N項起，恒有成立，則稱數列為第N項起的周期為T的周期數列。（1）已知數列滿足，且，證明：3是的一個周期。（2）已知數列，，（其中a，，a，b不全為0），，證明：存在正整數N，使得時，成立，并求出滿足條件的一個周期T.（3）已知數列，，，求證：不是周期數列。

寧波“十校”2025屆高三3月聯考數學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1-4DCCA 5-8BBDC二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.ABD 10.AB 11.ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12. 13.2 14.10505提示：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）【解析】（1）， 6（2），因為，故，因為，故，所以，故 1316.（15分）【解析】（1）作于E，連PE.在△ACB中，，則，又，故，.在△APB中，，則，.在△PAE中，，又，則由于，，，則平面PDE，又平面PDE，故 7（2）由（1）得，，，則二面角的平面角為，又，，則，在△PDA中，，則.方法1：由于D為AC的中點，，且，則.又，，則平面PBC，則為直線AC與平面PBC所成的角，又，故直線AC與平面PBC所成的角為. 15方法2：由（1）得，，則平面ABC，取AB中點F，連DF，則，，以D為坐標原點，分別以DA，DF，DP所在直線為x，y，z軸，建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面PBC的一個法向量，則令得，得，設直線AC與平面PBC所成的角為，則.故直線AC與平面PBC所成的角為 1517.（15分）【解析】（1）當時，，由于，，，故函數在點處的切線方程為，即 5（2）方法1：由于，令，則，因為，有，則在區間上單調遞增，即在區間上單調遞增，所以.①當時，有，則在區間上單調遞增，由，得，故；②當時，有，因為在區間上單調遞增，若，有，則存在使得，當時，取，有，則存在，使得，綜上，當時，存在，使得，即.故當時，，則在區間上單調遞減；當時，，則在區間上單調遞增，故，（（））由，得，代入（（））得，令，則由于，由得，，當，，在區間上單調遞增；當時，，在區間上單調遞減，又因為，，，故當時，，所以滿足的實數的取值范圍為.又因為，令，則，所以在區間上單調遞增，故，綜上所述，實數k的取值范圍為 15方法2：①當時，不等式恒成立，此時；②當時，問題轉化為對任意恒成立 7令，則.令，則.因為，有，所以在上單調遞增。又因為，所以是在上的唯一零點，所以當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以，所以.③當時，問題等價于對任意恒成立。此時，由于當時，故在區間上單調遞減，且，當時，.故當時，，在區間上單調遞減，.綜上所述，實數k的取值范圍為 1518.（17分）【解析】（1）橢圓E的標準方程為 4，（2）（i）設，，，記，，則直線AB的方程：，聯立橢圓方程，消去x得由韋達定理得，則.另一方面BG：，聯立橢圓方程，消去x得由韋達定理得，則.由于，則.∴ 10（ii）由上面的結論可知，H為線段AC的中點，則.進一步有.由上面的直線AB與聯立橢圓方程，消去x得.由判別式，得.由韋達定理得，，.得故的取值范圍是 17，19.（17分）【解析】（1）由于，①，②由②①得，，即，又，則，故3是的一個周期。 5（2）由遞推和，，得，，，.（i）若，則，，，，.（ii）若，則，，，，.無論何種情況，都有，.由遞推關系得，會逐漸進入循環，對的自然數，恒有.故是的一個周期. 10（3）假設是周期數列，則至少存在，，不妨設，使得.由遞推關