河南省名校聯盟2024?2025學年高三階段性測試（六）數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．橢圓的焦距為（

）A．1 B．2 C．4 D．62．已知某正四棱臺的上、下底面面積分別為1，16，高為2，則該正四棱臺的體積為（

）A．12 B．14 C．15 D．163．若成等比數列，則（

）A．4 B．6 C．9 D．124．函數的最小正周期為（

）A． B． C． D．5．已知集合，若且，則（

）A． B．C． D．6．已知，則（

）A． B．C． D．7．已知某校包含甲、乙、丙在內的7名同學參加了某次數學競賽，并包攬了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中的兩人占據前兩名，則這7名同學獲獎的名次情況共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種8．已知，且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知為復數，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．10．已知正方體的棱長為，點在底面上（含邊界），且，則下列說法正確的是（

）A．點的軌跡的長度為B．直線與平面所成角的正切值最大為C．平面截該正方體的內切球所得截面的面積為D．若動點在線段上，為的中點，則的最小值為11．雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，點在上，點，點在直線上，則下列說法正確的是（

）附：雙曲線在其上一點處的切線方程為.A．B．C．作于點，則（為坐標原點）D．若的延長線交于點，則的內心在定直線上三、填空題（本大題共3小題）12．統計學中通常認為服從正態分布的隨機變量只取中的值，簡稱為原則.假設某廠生產的包裝盒的厚度（單位：），某天檢測員隨機抽取了一個包裝盒，測得其厚度不小于16，他立即判斷生產出現了異常，由此可知的最大值為.13．已知函數，若函數至少有2個零點，則實數的取值范圍為.14．已知某種長方體花崗巖的規格為（其中第個數分別為長、寬、高，且長寬高），若從長方體某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取一次共可得到三種不同規格的長方體，按照上述方式對第1次所截得的長方體進行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進行第3次截取，則第3次截取后得到的不同規格的長方體的種數，在上述種不同規格的長方體中任取1種，該種長方體的長與寬之差小于的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．某景區試賣一款紀念品，現統計了該款紀念品的定價（單位：元）與銷量（單位：百件）的對應數據，如下表所示：1212.51313.51414131198(1)求該紀念品定價的平均值和銷量的平均值；(2)計算與的相關系數；(3)由（2）的計算結果，判斷能否用線性回歸模型擬合與的關系，并說明理由.參考數據：.參考公式：相關系數.16．已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：在上單調遞增.17．已知數列的各項均不為0，其前項和為，且.(1)若，求；(2)若，求.18．已知拋物線為上一點.(1)證明：以點為圓心且過點的圓與的準線相切.(2)若動直線與相交于兩點，點滿足（為坐標原點），且直線的斜率之和為.（i）求的方程；（ii）過點作的切線，若，求的面積的最小值.19．如圖，在空間直角坐標系中，點分別在軸上（點異于點），且.(1)當（表示面積）取得最大值時，求點到平面的距離.(2)若，動點在線段上（含端點），探究：是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.(3)記平面與平面、平面、平面的夾角分別為，比較與1的大小關系，并說明理由.

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意得，，故，∴橢圓的焦距為2.故選B.2．【答案】B【詳解】.故選B.3．【答案】C【詳解】根據等比中項的概念可得，.故選C.4．【答案】A【詳解】的最小正周期為.故選A.5．【答案】C【詳解】由題可知且解得.故選C.6．【答案】D【詳解】由題可知，故.故選D.7．【答案】C【詳解】甲、乙、丙中選兩人占前兩名，有種情況，其余五名可任意排列，故所有的情況有種.故選C.8．【答案】D【詳解】如圖所示：由題意得.設，則.作點關于直線的對稱點，連接.由題可知，則，在中，由余弦定理可得；所以，當且僅當三點共線時取等號.故選D.9．【答案】AD【詳解】對于A，設，當時，，得，得，即，故A正確；對于B，令，可知，故B錯誤；對于C，令，可知，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選AD.10．【答案】ACD【詳解】對于A，根據正方體性質可得，可知，故點的軌跡是以為圓心，1為半徑的四分之一圓，如下圖所示：則其軌跡的長度為，故A正確；對于B，易知當點位于棱上時，直線與平面所成的角最大，此時，即直線與平面所成角的正切值最大為，故B錯誤；對于C，易知內切球的半徑為，球心位于正方體的中心，其到平面的距離為，易知，，點平面的距離為；可得球心到平面的距離為，故截面圓的半徑滿足，則所得截面的面積為，故C正確；對于D，如下圖：先固定點，當點在上時，最小，再讓點移動，當三點共線時，最小，此時，故D正確.故選ACD.11．【答案】BCD【詳解】設雙曲線的半焦距為.根據雙曲線的對稱性，不妨設點在第一象限.對于A，由題意得，，，解得，故，，A錯誤.對于B，由題可知雙曲線右頂點坐標為，故，則，∴直線的斜率存在，∵點在直線上，∴，∴，則，∵，∴，故，解得，故B正確.對于C，由題意得，點處的切線方程為，切線斜率為，∵，故直線與雙曲線相切，是切點.由雙曲線的光學性質可知，雙曲線上任意一點處的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，則平分，延長，與的延長線交于點，連接，則為等腰三角形，，∵為的中點，為的中點，∴，故C正確.對于D，記的內心為，則是的平分線，是的平分線，由選項C可得，直線是雙曲線的切線，切點分別為點，設，則直線的方程為，直線的方程為，聯立兩式，解得，由得，，設直線，則式可化為，即點在定直線上，故D正確.故選BCD.12．【答案】2【詳解】解析由題可知，解得，故的最大值為2.13．【答案】【詳解】因為，作出的大致圖象如圖所示，則至少有2個零點等價于直線與的圖象至少有2個交點，由圖可知，即實數的取值范圍為.14．【答案】8/0.375【詳解】列表如下，重復的去掉.原始狀態第1次截取第2次截取，第3次截取，,,由表可知，第3次截取后得到的不同規格的長方體的種數.在上述8種不可規格的長方體中任取1種，該種長方體的長與寬之差小于10cm的有共3種，故所求概率為.15．【答案】(1)13；11(2)(3)可以用線性回歸模型擬合與之間的關系，理由見解析【詳解】（1）由題可知，；（2）計算得，故；（3）由（2）可知，與的相關系數的絕對值近似為0.992，大于0.75且非常接近1，說明與的線性相關性很強，從而可以用線性回歸模型擬合與之間的關系.16．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題可知，則，又，故所求切線方程為.（2）由（1）知，，因為，所以設，則，由復合函數的單調性易知在上單調遞增，且，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，從而，故在上單調遞增.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）令，可得，∵，∴，∵，∴.（2）由題意得，.當時，，∴，即，∴，∵，∴，∴數列的奇數項、偶數項均成公差為2的等差數列，∴，∴.當時，，故數列是以1為首項，1為公差的等差數列，∴.18．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）.【詳解】（1）由題可知點為的焦點，設為點，拋物線的準線方程為.∵為上一點，∴由拋物線的定義得等于點到的準線的距離，∴以為圓心且過點的圓與的準線相切.（2）設.（i）當時，點關于軸對稱，點，直線關于軸對稱，成立.當時，由得，直線的方程為，將點的坐標代入，可得，則.聯立直線與的方程，可得，∴.∵，∴，化簡可得，則，由得，，由得，故的方程為.（ii）設直線，與的方程聯立，可得，由，得，由得，，故點.設的中點為，∵，∴，故.∵，∴三點共線，且為線段的中點，∴的面積為的面積的，由為的中點得，的面積為的面積的，∴的面積為的面積的.∵，∴.∵點到直線的距離，∴，當且僅當時等號成立，故的面積的最小值為.19．【答案】(1);(2)存在，;(3)，理由見解析.【詳解】（1）不妨設，則且，故，當且僅當時等號成立，取得最大值，此時.記點到平面的距離為.因為，又，所以