精算師模擬題和答案分析2024單項選擇題（每題1分，共30題）

1.已知某保險產品在未來1年內發生賠付的概率為0.2，若有5個獨立的被保險人購買了該產品，那么至少有1個被保險人在未來1年內發生賠付的概率是（）

A.0.32768

B.0.67232

C.0.8

D.0.2

答案：B

分析：先求5個被保險人都不發生賠付的概率，因為每個被保險人不發生賠付的概率為$1-0.2=0.8$，且相互獨立，所以5個都不發生賠付的概率為$0.8^5=0.32768$。那么至少有1個被保險人發生賠付的概率為$1-0.32768=0.67232$。

2.設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，則λ的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

分析：泊松分布的概率公式為$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$。已知$P(X=1)=P(X=2)$，即$\frac{e^{-\lambda}\lambda^{1}}{1!}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{2}}{2!}$，化簡可得$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，因為$\lambda>0$，所以解得$\lambda=2$。

3.某保險公司的一份保單規定，若被保險人在保險期間內發生重大疾病，將獲得10萬元的賠付。已知該疾病的發生率為0.05，若保險公司希望每份保單的期望利潤為1000元，那么每份保單的保費應該定為（）

A.5000元

B.5100元

C.6000元

D.6100元

答案：B

分析：設保費為x元。被保險人不發生重大疾病的概率為$1-0.05=0.95$，此時保險公司利潤為x元；發生重大疾病的概率為0.05，此時保險公司利潤為$x-100000$元。期望利潤$E=0.95x+0.05(x-100000)=1000$，展開得$0.95x+0.05x-5000=1000$，$x-5000=1000$，解得$x=5100$元。

4.已知某投資項目的收益率X服從正態分布$N(0.1,0.04)$，則該項目收益率大于0.14的概率為（）（參考：若$Z\simN(0,1)$，$P(Z<0.2)=0.5793$）

A.0.4207

B.0.2103

C.0.5793

D.0.7897

答案：A

分析：首先進行標準化，令$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，其中$\mu=0.1$，$\sigma=\sqrt{0.04}=0.2$。則$P(X>0.14)=P(\frac{X-0.1}{0.2}>\frac{0.14-0.1}{0.2})=P(Z>0.2)=1-P(Z<0.2)=1-0.5793=0.4207$。

5.某保險產品的賠付額X有如下分布：$P(X=0)=0.6$，$P(X=1000)=0.3$，$P(X=2000)=0.1$，則該賠付額的方差為（）

A.390000

B.490000

C.590000

D.690000

答案：B

分析：先求期望$E(X)=0\times0.6+1000\times0.3+2000\times0.1=300+200=500$。再求$E(X^{2})=0^{2}\times0.6+1000^{2}\times0.3+2000^{2}\times0.1=300000+400000=700000$。根據方差公式$D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=700000-500^{2}=700000-250000=450000$。

6.若兩個隨機變量X和Y相互獨立，且$D(X)=2$，$D(Y)=3$，則$D(2X-Y)$的值為（）

A.5

B.7

C.11

D.13

答案：C

分析：根據方差的性質$D(aX+bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)$（X、Y相互獨立），對于$D(2X-Y)$，$a=2$，$b=-1$，則$D(2X-Y)=2^{2}D(X)+(-1)^{2}D(Y)=4\times2+1\times3=8+3=11$。

7.已知某壽險保單在第1年末的現金價值為1000元，第2年末的現金價值為1200元，若年利率為5%，則該保單在第2年的利息收入為（）

A.50元

B.60元

C.70元

D.80元

答案：A

分析：第1年末現金價值為1000元，按照5%的年利率，第2年的利息收入為$1000\times5\%=50$元。

8.設某風險的損失額X服從指數分布，其概率密度函數為$f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x>0$，已知$E(X)=5$，則$P(X>10)$的值為（）

A.$e^{-2}$

B.$1-e^{-2}$

C.$e^{-0.5}$

D.$1-e^{-0.5}$

答案：A

分析：對于指數分布，$E(X)=\theta$，已知$E(X)=5$，則$\theta=5$。指數分布的分布函數為$F(x)=1-e^{-\frac{x}{\theta}}$，所以$P(X>10)=1-P(X\leqslant10)=1-(1-e^{-\frac{10}{5}})=e^{-2}$。

9.某保險公司有1000個獨立的被保險人，每個被保險人在一年內發生事故的概率為0.01，用泊松近似計算一年內發生事故的被保險人個數不少于2的概率為（）（參考：$e^{-10}\approx4.54\times10^{-5}$，$e^{-1}\approx0.3679$）

A.0.2642

B.0.3679

C.0.6321

D.0.7358

答案：D

分析：這里$n=1000$，$p=0.01$，則$\lambda=np=1000\times0.01=10$。設一年內發生事故的被保險人個數為X，近似服從參數為$\lambda=10$的泊松分布。$P(X\geqslant2)=1-P(X=0)-P(X=1)$，$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$，$P(X=0)=\frac{e^{-10}\times10^{0}}{0!}=e^{-10}$，$P(X=1)=\frac{e^{-10}\times10^{1}}{1!}=10e^{-10}$，$P(X\geqslant2)=1-e^{-10}-10e^{-10}=1-11e^{-10}\approx1-11\times4.54\times10^{-5}\approx0.7358$。

10.已知某保險產品的純保費為500元，附加費用率為20%，則該產品的毛保費為（）

A.500元

B.600元

C.700元

D.800元

答案：B

分析：毛保費=純保費×(1+附加費用率)，已知純保費為500元，附加費用率為20%，則毛保費為$500\times(1+20\%)=500\times1.2=600$元。

11.若隨機變量X服從二項分布$B(n,p)$，且$E(X)=4$，$D(X)=2.4$，則$n$和$p$的值分別為（）

A.$n=10$，$p=0.4$

B.$n=20$，$p=0.2$

C.$n=5$，$p=0.8$

D.$n=8$，$p=0.5$

答案：A

分析：對于二項分布$B(n,p)$，$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。已知$E(X)=4$，$D(X)=2.4$，則$np=4$，$np(1-p)=2.4$，將$np=4$代入$np(1-p)=2.4$得$4(1-p)=2.4$，$1-p=0.6$，$p=0.4$，再代入$np=4$得$n=10$。

12.某投資組合由兩種資產A和B組成，資產A的權重為0.6，資產B的權重為0.4，資產A的收益率標準差為0.2，資產B的收益率標準差為0.3，兩種資產收益率的相關系數為0.5，則該投資組合的收益率標準差為（）

A.0.18

B.0.204

C.0.22

D.0.24

答案：B

分析：根據投資組合標準差公式$\sigma_{p}=\sqrt{w_{A}^{2}\sigma_{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma_{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\rho_{AB}\sigma_{A}\sigma_{B}}$，其中$w_{A}=0.6$，$\sigma_{A}=0.2$，$w_{B}=0.4$，$\sigma_{B}=0.3$，$\rho_{AB}=0.5$。代入可得：$\sigma_{p}=\sqrt{0.6^{2}\times0.2^{2}+0.4^{2}\times0.3^{2}+2\times0.6\times0.4\times0.5\times0.2\times0.3}=\sqrt{0.0144+0.0144+0.0144}=\sqrt{0.0432}=0.204$。

13.某保險事故的發生次數服從參數為λ的泊松分布，若已知在某一時間段內發生事故次數為0的概率為0.5，則λ的值為（）

A.$\ln2$

B.$\ln0.5$

C.2

D.0.5

答案：A

分析：泊松分布$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$，已知$P(X=0)=0.5$，即$\frac{e^{-\lambda}\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda}=0.5$，兩邊取自然對數得$-\lambda=\ln0.5$，所以$\lambda=\ln2$。

14.已知某年金在每年年初支付1000元，共支付10年，年利率為6%，則該年金的現值為（）（參考：$(P/A,6\%,10)=7.3601$）

A.7360.1元

B.7801.7元

C.8360.1元

D.8801.7元

答案：B

分析：先付年金現值公式$P=A\times[(P/A,i,n-1)+1]$，這里$A=1000$元，$i=6\%$，$n=10$，$(P/A,6\%,9)=6.8017$，則$P=1000\times(6.8017+1)=7801.7$元。

15.某保險公司對一類風險的賠付額進行統計，發現賠付額X滿足$P(X=0)=0.4$，$P(X=100)=0.3$，$P(X=200)=0.2$，$P(X=300)=0.1$，則該賠付額的中位數為（）

A.0

B.100

C.200

D.300

答案：B

分析：首先計算累積概率，$P(X\leqslant0)=0.4$，$P(X\leqslant100)=0.4+0.3=0.7$，中位數是使得累積概率達到0.5的值，因為$P(X\leqslant0)<0.5$，$P(X\leqslant100)>0.5$，所以中位數為100。

16.設隨機變量X和Y的聯合概率密度函數為$f(x,y)=\begin{cases}kxy,0<x<1,0<y<1\\0,其他\end{cases}$，則$k$的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：D

分析：根據聯合概率密度函數的性質$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$，則$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}kxy\dxdy=1$，先對x積分得$\int_{0}^{1}ky[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}dy=\frac{k}{2}\int_{0}^{1}y\dy$，再對y積分得$\frac{k}{2}[\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1}=\frac{k}{4}=1$，解得$k=4$。

17.某再保險合同規定，原保險人自留額為100萬元，分保額為300萬元。若某風險事故的損失額為450萬元，則原保險人應承擔的損失金額為（）

A.100萬元

B.150萬元

C.300萬元

D.450萬元

答案：A

分析：因為原保險人自留額為100萬元，當損失額為450萬元時，原保險人先承擔自留額部分，即100萬元，超出部分由再保險人承擔。

18.已知某風險的損失分布函數為$F(x)=\begin{cases}0,x<0\\1-e^{-0.1x},x\geqslant0\end{cases}$，則該風險的損失超過10的概率為（）

A.$e^{-1}$

B.$1-e^{-1}$

C.$e^{-0.1}$

D.$1-e^{-0.1}$

答案：A

分析：$P(X>10)=1-P(X\leqslant10)=1-F(10)=1-(1-e^{-0.1\times10})=e^{-1}$。

19.某保險公司的保費收入為1000萬元，賠款支出為600萬元，費用支出為200萬元，則該公司的賠付率為（）

A.40%

B.60%

C.80%

D.100%

答案：B

分析：賠付率=賠款支出/保費收入×100%，已知賠款支出為600萬元，保費收入為1000萬元，則賠付率為$\frac{600}{1000}\times100\%=60\%$。

20.若隨機變量X服從均勻分布$U(a,b)$，且$E(X)=3$，$D(X)=\frac{4}{3}$，則$a$和$b$的值分別為（）

A.$a=1$，$b=5$

B.$a=2$，$b=4$

C.$a=0$，$b=6$

D.$a=-1$，$b=7$

答案：A

分析：對于均勻分布$U(a,b)$，$E(X)=\frac{a+b}{2}$，$D(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}$。已知$E(X)=3$，即$\frac{a+b}{2}=3$，$a+b=6$；$D(X)=\frac{4}{3}$，即$\frac{(b-a)^{2}}{12}=\frac{4}{3}$，$(b-a)^{2}=16$，$b-a=4$。聯立方程組$\begin{cases}a+b=6\\b-a=4\end{cases}$，兩式相加得$2b=10$，$b=5$，代入$a+b=6$得$a=1$。

21.某投資項目在第1年末的現金流為200萬元，第2年末的現金流為300萬元，第3年末的現金流為400萬元，若年利率為5%，則該項目現金流的現值為（）（參考：$(P/F,5\%,1)=0.9524$，$(P/F,5\%,2)=0.9070$，$(P/F,5\%,3)=0.8638$）

A.787.54萬元

B.807.54萬元

C.827.54萬元

D.847.54萬元

答案：B

分析：現值$P=200\times(P/F,5\%,1)+300\times(P/F,5\%,2)+400\times(P/F,5\%,3)=200\times0.9524+300\times0.9070+400\times0.8638=190.48+272.1+345.52=807.54$萬元。

22.某保險產品的風險保費為300元，安全附加費為50元，費用附加費為100元，則該產品的純保費為（）

A.300元

B.350元

C.400元

D.450元

答案：A

分析：純保費就是風險保費，所以該產品的純保費為300元。

23.設隨機變量X和Y滿足$Y=2X+3$，若$E(X)=2$，$D(X)=1$，則$E(Y)$和$D(Y)$的值分別為（）

A.$E(Y)=7$，$D(Y)=4$

B.$E(Y)=7$，$D(Y)=2$

C.$E(Y)=5$，$D(Y)=4$

D.$E(Y)=5$，$D(Y)=2$

答案：A

分析：根據期望和方差的性質，$E(aX+b)=aE(X)+b$，$D(aX+b)=a^{2}D(X)$。這里$a=2$，$b=3$，$E(X)=2$，$D(X)=1$，則$E(Y)=2\times2+3=7$，$D(Y)=2^{2}\times1=4$。

24.某保險公司對某類風險的損失數據進行統計，發現損失額X近似服從對數正態分布，已知$\lnX$服從正態分布$N(3,1)$，則$E(X)$的值為（）（參考：若$Z\simN(\mu,\sigma^{2})$，$E(e^{Z})=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}$）

A.$e^{3.5}$

B.$e^{3}$

C.$e^{2.5}$

D.$e^{2}$

答案：A

分析：因為$\lnX\simN(3,1)$，根據$E(e^{Z})=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}$（其中$Z=\lnX$，$\mu=3$，$\sigma^{2}=1$），則$E(X)=E(e^{\lnX})=e^{3+\frac{1}{2}}=e^{3.5}$。

25.某再保險安排采用成數再保險方式，原保險人與再保險人的成數比例為7:3。若原保險業務的保費收入為500萬元，賠款支出為300萬元，則再保險人應承擔的賠款金額為（）

A.90萬元

B.100萬元

C.110萬元

D.120萬元

答案：A

分析：成數再保險中，再保險人承擔的賠款金額=賠款支出×再保險人成數比例。已知賠款支出為300萬元，再保險人成數比例為0.3，則再保險人應承擔的賠款金額為$300\times0.3=90$萬元。

26.已知某年金在每年年末支付500元，共支付5年，年利率為4%，則該年金的終值為（）（參考：$(F/A,4\%,5)=5.4163$）

A.2500元

B.2708.15元

C.2908.15元

D.3108.15元

答案：B

分析：普通年金終值公式$F=A\times(F/A,i,n)$，這里$A=500$元，$i=4\%$，$n=5$，$(F/A,4\%,5)=5.4163$，則$F=500\times5.4163=2708.15$元。

27.設隨機變量X服從參數為2的指數分布，則$P(X>2)$的值為（）

A.$e^{-4}$

B.$1-e^{-4}$

C.$e^{-2}$

D.$1-e^{-2}$

答案：C

分析：指數分布的概率密度函數為$f(x)=\lambdae^{-\lambdax}(x\geqslant0)$，分布函數為$F(x)=1-e^{-\lambdax}(x\geqslant0)$，這里$\lambda=2$，則$P(X>2)=1-P(X\leqslant2)=1-(1-e^{-2\times2})=e^{-2}$。

28.某保險產品的費率厘定采用純保費法，已知該產品的純保費為400元，費用率為15%，利潤率為5%，則該產品的毛費率為（）

A.460元

B.480元

C.500元

D.520元

答案：C

分析：毛費率=純保費÷(1-費用率-利潤率)，已知純保費為400元，費用率為15%，利潤率為5%，則毛費率為$400\div(1-0.15-0.05)=400\div0.8=500$元。

29.若隨機變量X和Y的相關系數為0.8，$D(X)=4$，$D(Y)=9$，則$Cov(X,Y)$的值為（）

A.4.8

B.3.6

C.2.4

D.1.2

答案：A

分析：相關系數$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，已知$\rho_{XY}=0.8$，$D(X)=4$，$D(Y)=9$，則$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}=0.8\times\sqrt{4\times9}=0.8\times6=4.8$。

30.某投資組合包含三種資產A、B、C，它們的權重分別為0.3、0.3、0.4，收益率標準差分別為0.1、0.2、0.3，資產A與B的相關系數為0.5，A與C的相關系數