希望杯第一屆（1990年）初中二年級(jí)第一試試題

一、選擇題：（每題1分,共10分）

1.一個(gè)角等于它的余角的5倍，那么這個(gè)角是（）

A.45°.B.75°.C.55°.D.65°

2.2的平方的平方根是（）

A.2.B.2.C.±2.D.4

3.當(dāng)x=l時(shí),aoxM-aix'+aox"-aix,-aix'+aixS-aox'+aix'-aox'+aix的值是（）

A.0B.3o.C.HiD.a。—

4.AABC,若AB=〃，BC=1+后，CA=J7,則下列式子成立的是（）

A.ZA>ZC>ZB;B.ZC>ZB>ZA;C.ZB>ZA>ZC;D.ZC>ZA>ZB

5.平面上有4條直線，它們的交點(diǎn)最多有()

A.4個(gè)B.5個(gè).C.6個(gè).D.7

6.5行-7的立方根是[]

(A)V2-1.(B)1-V2.(C)±(V2-1).(D)V2+1.

g化為最簡(jiǎn)二次根式是[]

7.把二次根式“.

(A).(B)—.(C)—J—a.(D)J-a

8.如圖1在AABC中，AB=BC=CA,且AD=BE=CF,但D,E,F不是AB,BC,CA的中點(diǎn).又

AE,BF,CD分別交于M,N,P,如果把找出的三個(gè)全等三角形叫做一組全等三角

形，那么從圖中能找出全等三角形（）

A.2組B.3組.C.4組D.5組。

2

9已知x+2^+2y-lx__匚二1------+匕1等于一個(gè)固定的值,

x-12y+y+x-1x-\

則這個(gè)值是（）

A.0.B.1.C.2.D.4.

10.己知工二」y

1一-

X2個(gè),1——

1---

把f199。化簡(jiǎn)后，等于（）

A.—B.1-x.C.-.D.x.

X-]x

二、填空題（每題1分，共10分）

3.V8—J98+V50=.

4.如圖2,ZA=60°,Z1=Z2,則NABC的度數(shù)是

5.如圖3,0是直線AB上一點(diǎn)，/A0D=H7°,NB0C=123°,則NC0D的度數(shù)是度.

6.△ABC中，ZC=90°,NA的平分線與/B的平分線交于0點(diǎn)，則NA0B的度數(shù)是

度.

7.計(jì)算下面的圖形的面積（長(zhǎng)度單位都是厘米）（見(jiàn)圖4）.答：

8.方程Y+px+qR,當(dāng)p>0,q<0時(shí)，它的正根的個(gè)數(shù)是____個(gè).

9.x,y,z適合方程組

3x-2y+z_6x+zx+y

飛2-

x+y+zx—1_y+1

3x+4y=5z-l

則1989x-y+25z=.

10.己知3x"'+4x-7=0,Rljex'+l1X3-7X2-3X-7=

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)12345678910

答案BCABCACDBA

提示：

1.因?yàn)樗蠼莂=5(90°-a),解得a=75°.故選(B).

2.因?yàn)?的平方是4,4的平方根有2個(gè)，就是±2.故選(C).

3.以x=l代入，得ao-ai+a(>-a「ai+ai-afl+a「ao+ai=2a0-3ai+3a「2a<1=0.故選(A).

4.AB=^>3,RC=1+我<25而25<、萬(wàn)<3,根據(jù)大邊對(duì)大角，有/c>NB>/A.

5.如圖5,數(shù)一數(shù)即得.

6.因?yàn)?圾-7>0,這就排除了(8)和(0).

又因原式中有一個(gè)負(fù)號(hào).所以也不可能是(D),只能選(A).

8.有AABE,AABM,AADP,AABF,Z\AMF等五種類型.選(D).

9.題目說(shuō)是一個(gè)固定的值，就是說(shuō)：不論x,y取何值，原式的值不變.于是以x=y=0

代入，得:

匚.匚+匚=1

-1TT故選(B).

1。?計(jì)算/二三)/=l-x/==-7T,

A1AAl

—X

可皿=而1990=3X663+L

'"JSwo=7

x-1

故選(A).

二、填空題

題號(hào)1234567g910

答案11224012030135?135119900

提示:

1.J130?-66?=>(130-66)(130+66)

=J64x196=8x14=112

/「32

2.原式=[1.1-0.14,---

=0.96x25=24

3.原式=20-7點(diǎn)+50=0

4.ZADC=Z2+ZADB=Z1+ZADB=18O°—ZA=120°

所以NADC的度數(shù)是120度.

5.NCOD度數(shù)的一半是30度.

因?yàn)楣CODJ23。+口7。-18。。二30。

22

90°

=180。135".

2

7.所求面積=12x3+6x9+￡^x9=135(cm2)

8.V△=p2-4q>p2.

???-p士后表示一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù).

9.方程組可化簡(jiǎn)為：

3x+3y=4z,

<8x+5z=8,

3x+4y=5z-1.

解得：x=l,y=-l,z=0.

A1989x-y+25z=1990.

10.'.,6X'+11X''-7X"3X-7=(3X2+4X-7)(2x、x+l)而3X2+4X-7=0.

希望杯第一屆(1990)第二試試題

一、選擇題：(每題1分，共5分)

1.等腰三角形周長(zhǎng)是24cm,一腰中線將周長(zhǎng)分成5：3的兩部分，那么這個(gè)三角形的

底邊長(zhǎng)是1]A.7.5B.12.C.4.D.12或4

2.已知P=J1988X1989x1990x1991+1+(-1989)],那么P的值是[]

A.1987B.1988.C.1989D.1990

3.a>b>c,x>y>z,M=ax+by+cz,N=az+by+cx,P=ay+bz+cx,Q=az+bx+cy,則[]

A.M>P>N且M>Q>N.B.N>P>M0.N>Q>M

C.P>M>Q±LP>N>Q.D.Q>M>PJ1Q>N>P

4.凸四邊形ABCD中，ZDAB=ZBCD=90°,/CDA：/ABC=2：1,AD：CB=1：￡,則/BDA=[]

A.30°B.45°.C.60°.D.不能確定

5.把一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形分割成面積相等的四部分，使得在其中的一部分內(nèi)存在

三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)邊長(zhǎng)大于1的正三角形，滿足上述性質(zhì)

的分割[]

A.是不存在的.B.恰有一種.C.有有限多種，但不只是一種.D.有無(wú)窮多種

二、填空題：（每題1分，共5分）

1.AABC中，ZCABZB=90°,NC的平分線與AB交于L,NC的外角平分線與BA

的延長(zhǎng)線交于N.已知CL=3,貝IJCN=.

2.若JE+（帥-2>=0,那么

111

---1--------------F........................的值是

ab（a+1）（。+1）（a+1990）（/?+1990）-----

3.已知a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8,貝h的取值范圍是.

4.AABC中，/B=30",AB=JLBC=JL三個(gè)兩兩互相外切的圓全在aABC中，這三

個(gè)圓面積之和的最大值的整數(shù)部分是.

abcabacbeabc

5.設(shè)a,",是非零整數(shù),那么時(shí)*網(wǎng)*向*的*同*同f+國(guó)的值等于

三、解答題：（每題5分，共15分）

1.從自然數(shù)1,2,3…，354中任取178個(gè)數(shù)，試證：其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是

177.

2.平面上有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形ABCD和A'B'C'D',且正方形A'B'C'D'

的頂點(diǎn)A'在正方形ABCD的中心.當(dāng)正方形kB，CD'繞A'轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正方

形的重合部分的面積必然是一個(gè)定值.這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？證明你的判斷.

3.用1,9,9,0四個(gè)數(shù)碼組成的所有可能的四位數(shù)中，每一個(gè)這樣的四位數(shù)與自

然數(shù)n之和被7除余數(shù)都不為1,將所有滿足上述條件的自然數(shù)n由小到大排成一列

mVmVn3Vli4.......，

試求：ni?必之值.

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)12345

答案CBACD

提示：

1.若底邊長(zhǎng)為12.則其他二邊之和也是12,矛盾.故不可能是(B)或(D).

又：底為4時(shí)，腰長(zhǎng)是10.符合題意.故選(C).

2.,:P=7(1988：>+3xl988)(19883+3x1988+2)+1-19892

=V(19882+3x1988+1)2-19892

=19882+3X1988+1-19892

=(1988+1)，1988-19892=1988

3.只需選a=l,b=0,c=T,x=l,y=0,z=T代入,由于這時(shí)M=2,N=-2,P=-l,Q=-l.從

而選(A).

4.由圖6可知：當(dāng)NBDA=60°時(shí)，ZCDB

也是60°.從而滿足/D:BC=1：73.故選(⑦.

5.如圖7按同心圓分成面積相等的四部分.在最外面一部分中顯然可以找到三個(gè)點(diǎn),

組成邊長(zhǎng)大于1的正三角形.如果三個(gè)圓換成任意的封閉曲線，只要符合分成的

四部分面積相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三個(gè)點(diǎn)，使得組成邊長(zhǎng)大于

1的正三角形.故選(D).

二、填空題

題號(hào)12345

答案31991c>Q或c22消0-1或7

1992

提示：

1.如圖8：ZNLC=ZB+Z1=ZCAB-9O°+Z1=ZCAB-Z3=NN..\NC=LC=3.

——+…+--------------------------

ab3+1990)(3+1990)

1+19931992=…+

1x2

(1991~1992)1991

1992

3.a+b==,ab=一，

a,b是方程x?+cx+§=0的兩個(gè)實(shí)根.

c

,/△=c2-->0.

c

即c<0或

[C3>32.

c<0或c>2旃.

4..因?yàn)锳43C的面積?、傷?sin30。

=羋＜1,所以△ABC內(nèi)的三個(gè)圓面積之和肯定

比1小，因而整數(shù)部分為零

5.當(dāng)a,b,c均為正時(shí)，值為7.

當(dāng)a,b,c不均為正時(shí)，值為T.

三、解答題

1.證法一把1到354的自然數(shù)分成177個(gè)組：(1,178),(2,179),(3,180),…，

(177,354).這樣的組中，任一組內(nèi)的兩個(gè)數(shù)之差為177.從廣354中任取178個(gè)

數(shù)，即是從這177個(gè)組中取出178個(gè)數(shù)，因而至少有兩個(gè)數(shù)出自同一個(gè)組.也即至

少有兩個(gè)數(shù)之差是177.從而證明了任取的178個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是

177.

證法二從1到354的自然數(shù)中，任取178個(gè)數(shù).由于任何數(shù)被177除，余數(shù)只能是

0,1,2,176這177種之一.

因而178個(gè)數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)a,b的余數(shù)相同，也即至少有兩個(gè)數(shù)a,b之差是

177的倍數(shù)，即ab=kX177.

又因廣354中，任兩數(shù)之差小于2X177=354.所以兩個(gè)不相等的數(shù)a,b之差必為

177.即

ab=177.

...從自然數(shù)1,2,3,…，354中任取178個(gè)數(shù),其中必有兩個(gè)數(shù),它們的差是177.

2.如圖9,重合部分面積Sr￡BF是一個(gè)定值.

證明：連A'B,A'C,由A'為正方形ABCD的中心，知

A'C=A'B=—AB.NA'BE=ZAZCF=45°.

2

又，當(dāng)A'B'與A'B重合時(shí)，必有A'D'與A'C重合，故知NEA'B=ZFAzC.

在看FC和AA'EB中,

A'C=A'B

NA'BE=NA'CF，=Z\A'FC逐ZXA'EB.

NEA'B=NFA'C

SA/EB尸SA，BC?

而Su，?c=948xWC(正方形對(duì)角線互相垂直)

總臣q-%物，.

，兩個(gè)正方形的重合部分面積必然是一個(gè)定值.

3.可能的四位數(shù)有9種：

1990,1909,1099,9091,9109,9910,9901,9019,9190.

其中1990=7X284+2,1909=7X272+5.

1099=7X157,9091=7X1298+5,9109=7X1301+2,

9910=7X1415+5,9901=7X1414+3,

9019=7X1288+3,9190=7X1312+6.

即它們被7除的余數(shù)分別為2,5,0,5,2,5,3,3,6.

即余數(shù)只有0,2,3,5,6五種.

它們加1,2,3都可能有余1的情形出現(xiàn).如0+1三1,6+2=1,5+3=(mod7).

而加4之后成為：4,6,7,9,10,沒(méi)有一個(gè)被7除余1,所以4是最小的n.

又：加5,6有：5+3=1,6+2三1.(mod7)而加7之后成為7,9,10,12,13.沒(méi)有

一個(gè)被7除余1.所以7是次小的n.

即m=4,nz=7

DiXn2=4X7=28.

第二屆(1991年)初中二年級(jí)第一試試題

一、選擇題：(每題1分，共15分)

1.如圖1,已知AB=8,AP=5,0B=6,則OP的長(zhǎng)是[]

A.2;B.3;C.4;D.5

AOPB

2.方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根是1],------------

(1)

A.1,6;B.2,3;C.2,3;D.1,6

3.已知△ABC是等腰三角形，貝旺]

A.AB=AC;B.AB=BC;C.AB=AC或AB=BC;D.AB=AC或AB=BC或AC=BC

_______4_3

4.a-.1—,c=-f,則a,b,c的大小關(guān)系是[]

g—3+1

4

A.a>b>cB.a=b=cC.a=c>bD.a=b>c

5.若aWb,貝ij(b-a)Ja-b等于1]

A.-Z?)3;B.;C.—y](a—b)3;D.^-(b-a)3

6.已知x,y都是正整數(shù)，那么三邊是x,y和10的三角形有[]

A.3個(gè)B.4個(gè)；C.5個(gè)D.無(wú)數(shù)多個(gè)

7.兩條直線相交所成的各角中，[]

A.必有一個(gè)鈍角;B.必有一個(gè)銳角;C.必有一個(gè)不是鈍角;D.必有兩個(gè)銳角

8.已知兩個(gè)角的和組成的角與這兩個(gè)角的差組成的角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角[]

A.一個(gè)是銳角另一個(gè)是鈍角;B.都是鈍角;C.都是直角;D.必有一個(gè)角是直角

9.方程*2+k|+1=0有[]個(gè)實(shí)數(shù)根.

A.4;B.2;C.1;D.0

10.一個(gè)兩位數(shù)，用它的個(gè)位、十位上的兩個(gè)數(shù)之和的3倍減去-2,仍得原數(shù)，這個(gè)兩

位數(shù)是[]

A.26;B.28;C.36;D.38

11.若11個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1991,把這些數(shù)按大小順序排列起來(lái)，第六個(gè)數(shù)是1]

A.179;B.181;C.183;D.185

12.如果岳>瓜+1,那么1(x+2)3-+3)2等于[]

A.2x+5B.2x-5;C.11).1

13.方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+l=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根是[]

A.yfs+V3;B.A/5+>/2;C.^3+>/2;D.V5—V3

14.當(dāng)a<T時(shí)，方程(a3+l)x2+(a2+l)x-(a+l)=0的根的情況是[]

A.兩負(fù)根;B.一正根、一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值大

C.一正根、一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值小;D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

15.甲乙二人，從M地同時(shí)出發(fā)去N地.甲用一半時(shí)間以每小時(shí)a公里的速度行走，另一

半時(shí)間以每小時(shí)b公里的速度行走；乙以每小時(shí)a公里的速度行走一半路程，另一半路

程以每小時(shí)b公里的速度行走.若aWb時(shí)，貝旺]到達(dá)N地.

A.二人同時(shí)；B.甲先；

C.乙先；D.若a>b時(shí)，甲先到達(dá)，若a<b時(shí)，乙先

二、填空題：(每題1分，共15分)

1.一個(gè)角的補(bǔ)角減去這個(gè)角的余角，所得的角等于度.

2.有理化分母：”7二=___.

V5+V7

3.方程Jx+1+x=0的解是x=.

4.分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=

5.若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k的值是.

6.如果2x2-3xT與a(xT)2+b(xT)+c是同一個(gè)多項(xiàng)式的不同形式,那么"十"二.

c

7.方程x2-y2=1991有個(gè)整數(shù)解.

8.當(dāng)m時(shí)，方程(mT)x2+2mx+m-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

9.如圖2,在直角AABC中，AD平分/A,且BD：DC=2：1,則NB等于度.

10.如圖3,在圓上有7個(gè)點(diǎn)，A,B,C,D,E,F,和G,連結(jié)每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的線段共可作出一條.

11.D,E分別是等邊4ABC兩邊AB,AC上的點(diǎn)，且AD=CE,BE與CD交于F,則NBFC等于—度.

12.如圖4,△ABC中，AB=AC=9,ZBAC=120",AD是AABC的中線,AE是aABD的角平分

線，DF〃AB交AE延長(zhǎng)線于F,則DF的長(zhǎng)為.

13.在aABC中，AB=5,AC=9,則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)的取值范圍是.

14.等腰三角形的?腰上的高為10cm,這條高與底邊的夾角為45°,則這個(gè)三角形的面積

15.已知方程x2+px+q=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，p,q是自然數(shù)，且是質(zhì)數(shù)，這個(gè)方程

的根是______

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)123456789101112131415

答案BBDCCDCDDABACCB

提示：

1.V0P=0B-PB=0B-(AB-AP)=6-(8-5)=3.二選(B).

2.?.?以2,3代入方程，適合.故選(B).

3.???有兩條邊相等的三角形是等腰三角形....選(D).

4.Va=l,b=-l,c=l..??選(C).

5.《a-5有意義,則瓦

(2?-a)^a-b--(a-

=-依-爐.故選?.

6.?；x=y>5的任何正整數(shù)，都可以和10作為三角形的三條邊.，選(D).

7.兩直線相交所成角可以是直角，故而(A),(D)均不能成立..?.選(C).

8.設(shè)兩個(gè)角為a,0.則(a+B)+(a-B)=180°,

即a=90°.故選(D).

9...?不論x為何實(shí)數(shù)，x2+|x|+l總是大于零的..?.選(D).

10.設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為瓦，則3(4+6)+2=10°+仇即72=26+2,可見(jiàn)a只能為偶數(shù)，b+1是7的

倍數(shù).故取(A).

11.設(shè)這11個(gè)連續(xù)奇數(shù)為：2n+l,2n+3,2n+5,…，2n+21.則

(2n+l)+(2n+3)+(2n+5)+???+(2n+21)=1991.

即ll(2n+ll)=1991.

解得n=85..?.第六個(gè)數(shù)是2X85+11=181.故選(B).

12.由虎x>75x+l,得(消-發(fā))x<-+

即芯<—(V3+V2),即—(V3+)巧)<—3.

而，(x+2)3—+31=x+2—\x+3\

=x+2+x+3=5+2x.

.?.選(A).

13.原方程可化為

(2X5-20X3+2X)+(x4-10x2+l)=0.

即(2x+l)(x4-10x2+l)=0.

而x=6+M(x-S>=(8

X2-2V3X+3=2,(X2+1)2=12X3

即x4-10x2+1=0.故取(C).

32

14.aVT時(shí),a+l<0,a+l>0,a+l<0.而若方程的兩根為x1,x2,則有

五?&=-<o,表示有一正根一負(fù)根.

又Xl+X2=-WW>0,表示負(fù)根的絕對(duì)值小于

a4-1

正根.故取(C).

15.設(shè)M,N兩地距離為S,甲需時(shí)間口，乙需時(shí)間t2,則有

atJ2+bt[/2=S,以=婆+辿.

ab

2S(a+b)S

即Bnt=-----,t=2-------.

1a+b22ab

2s3+5)S

a2ab

S[4a3-(a+爐]

2ab(a+小)

一…“<0.

2ab(a+i)

.\t1<t2)即甲先.

另外：設(shè)a=l,b=2,則甲走6小時(shí)，共走了9公里，這時(shí)乙走的時(shí)間為

4.54.53

---F-r-=77x4.5〉6?

122

從這個(gè)計(jì)算中，可以看到，a,b的值互換，不影響結(jié)果.故取(B).

二、填空題

題號(hào)12345678

223

答案90-6+.135一心(x+yXx+xy+y)-3-8、3日

7m引—且tn#1

4

題號(hào)9101112131415

答案302112092<AD<750(cm2)-1，-2

2

提示：

1.設(shè)所求角為a,則有

(180°-a)-(90°-a)=90°.

2芯-幣_(tái)(君-幣y

'+幣―(石+")(萬(wàn)-5)

J-2后一+后.

-2

3**\/x=-x,x+l=x,x-x-1—0?

解得X=告自，由于x<0,

故方程的解是X=]—^.

4.x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)

=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)

=(x+y)(x2+xy+y2)

5.設(shè)二根為X],-xp則x1+(-X])=-(k2-9).

即k2—9=0.即k二±3.

又，要有實(shí)數(shù)根，必須有△》().

即(k2-9)2-4(k+2)>0.

顯然k=3不適合上面的不等式，，k=-3.

6.由2x2-3xT=a(x+l)2+b(xT)+c是恒等式，故由x=l代入，得c=-2；x2項(xiàng)的系數(shù)相等，

有a=2,這時(shí)再以x=0代入，得T=a-b+c.即b=l.

?.?-a-+-b=-2-+--1=3—,

c-22

7.x2-y2=1991,(x-y)(y+x)=11X181可以是

fx-y=11Ax-y=181fx-^=1

[x+y=181^[x+^=ll馱L+y=1991

x-yzz1991

{X+j=1又因X—與X+y可正可負(fù)，故知

共有8組解.

8.△=(2m)2-4(m-l)(m-3)=4(4m-3)>0,

即又：w=l時(shí)方程是一次方程，當(dāng)然不會(huì)

4

有兩個(gè)實(shí)根，故且加=1時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

4

9.BD：DC=2:1,故有AB：AC=2：1,直角三角形斜邊與直角邊之比為2:1,則有

ZB=30°.

10.從A出發(fā)可連6條，從B出發(fā)可連5條，(因?yàn)锽A就是AB),從C出發(fā)可連4條，…，從

F出發(fā)可連一條.共計(jì)1+2+3+4+5+6=21(條).

另法：每個(gè)點(diǎn)出發(fā)均可連6條，共有42條.但每條都重復(fù)過(guò)一次，

如AB與BA.故總數(shù)應(yīng)為等=21(條).

11.如圖28.

ZF=Z1+ZA+Z2.

又：ZXADC絲Z\CEB.

Z1=Z3.

ZF=Z3+ZA+Z2=ZB+ZA=120°.

12.AABC是等腰三角形，D為底邊的中點(diǎn)，故AD又是垂線，又是分角線，故NBAD=60°,

ZADB=90°.又：AE是分角線，故NDAE=

ZEAB=30°.

又：DF〃AB,/.ZF=ZBAE=30°.

在aADF中，ZDAF=ZF=30°..*.AD=DF.

而在AADB中，AB=9,ZB=30°.

99

/.AD=-.ADF=-.

22

13.V4<BC<14..??當(dāng)BC為4時(shí)，BD=CD=2,

AD<7.當(dāng)BOM時(shí)，BC=CD=7,

有AD>2.A2<AD<7.

14.等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是45°,則頂角是90°,高就是腰,其長(zhǎng)為10cm.

面積是gxl0xl0=50(cm2)

15.設(shè)兩根為X],X2,則

x】+x2=_p①xp2=q(2)

由題設(shè)及①，②可知，xi，X2均為負(fù)整數(shù).q為質(zhì)數(shù)，若q為奇數(shù)，則x1，X2均為奇數(shù).從

而P為偶數(shù)，而偶質(zhì)數(shù)只有2,兩個(gè)負(fù)整數(shù)之和為-2,且不相等，這是不可能的.

若q為偶數(shù)(只能是2),兩個(gè)負(fù)整數(shù)之積為2,且不相等，只能是T和-2.

???方程的根是T和-2.

希望杯第二屆(1991年)初中二年級(jí)第二試試題

一、選擇題：(每題1分，共io分)

1.如圖29,已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中占N%好的出占P為NA的

中點(diǎn)，Q為MA的中點(diǎn)，則MN：PQ等于()A―QPMN鏟飛

圖29

A.1：B.2;C.3;D.4

2.兩個(gè)正數(shù)m,n的比是t(t>l).若m+n=s,則m,n中較小的數(shù)可以表示為()

is5

A.ts;Bs-ts;C.----;D.----.

1+sl+t

3.y>0時(shí)，等于()

A.-xy]~xy;B.xyfxy;C.-xJxy;D.x1一xy.

4.(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,則a,b,c的關(guān)系可以寫(xiě)成()

A.a<b<c.B.(a-b)2+(b-c)2=0.C.c<a<b.D.a=b#c

5.如圖30,AC=CD=DA=BC=DE.則NBAE是NBAC的()

A.4倍.B.3倍.C.2倍.D.1倍

6.D是等腰銳角三角形ABC的底邊BC上一點(diǎn)，貝MD,BD,CD滿足關(guān)系式()

A.AD2=BD2+CD2.B.AD2>BD2+CD2.C.2AD2=BD2+CD2.D.2AD2>BD2+CD2

1Q

7.方程=y(x+「)的實(shí)根個(gè)數(shù)為()

111010

A.4B.3.C.2D.1

8.能使分式土―乙的值為1126的x2、y2的值是（）

y%

A.x2=l+-\/3,y'=2+^/3；B.x'=2+-\/3,y'=2—>/3；

C.X?=7+45/=7-473；D.xM+273-六2-技

9.在整數(shù)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中，設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)為x,偶數(shù)的個(gè)數(shù)為y,完

全平方數(shù)的個(gè)數(shù)為z,合數(shù)的個(gè)數(shù)為u.貝ijx+y+z+u的值為（）

A.17B.15.C.13D.11

10.兩個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,恰好是x的整系數(shù)方程xJ21x+t=0的兩個(gè)根，則2+4等于（）

ab

582402365

A.2213;B.—;C.-----;D.----.

214938

二、填空題（每題1分，共10分）

1.1989X19911991-1991X19891988=.

2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=.

3.（a2+ba+bc+ac）:[（b2+bc+ca+ab）:（c2+ca+ab+bc）]的平方根是

4.邊數(shù)為a,b,c的三個(gè)正多邊形，若在每個(gè)正多邊形中取一個(gè)內(nèi)角，其和為180°,那么

x+ay=5

5.方程組＜?有正整數(shù)解，則正整數(shù)a=_______.

y-x=\

6.從一升酒精中倒出；升,再加上等量的水,液體中還有酒精升;攪勻后,再

倒

出，升混合液，并加入等量的水，攪勻后，再倒出工升混合液，并加入等量的水,這時(shí),

33

所得混合液中還有一升酒精.

7.如圖31,在四邊形ABCD中.AB=6厘米,BC=8厘米,CD=24厘米,DA=26厘米.且

NABC=90°,則四邊形ABCD的面積是_____

8.如圖32,Z1+Z2+Z3Z4+Z5+Z6=.

9.卜+行|+|2x+4百］的最小值的整數(shù)部分是

10.已知兩數(shù)積ab/L且

2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,則@=______.

b

三、解答題：（每題5分，共10分，要求：寫(xiě)出完整的推理、計(jì)算過(guò)程，語(yǔ)言力求簡(jiǎn)明,

字跡與繪圖力求清晰、工整）

1.已知兩個(gè)正數(shù)的立方和是最小的質(zhì)數(shù).求證：這兩個(gè)數(shù)之和不大于2.

2.一塊四邊形的地（如圖33）（EO〃FK,OH〃KG）內(nèi)有一段曲折的水渠，現(xiàn)在要把這段

水渠EOHGKF改成直的.（即兩邊都是直線）但進(jìn)水口EF的寬度不能改變，新渠占地面

積與原水渠面積相等，且要盡可能利用原水渠，以節(jié)省工時(shí).那么新渠的兩條邊應(yīng)當(dāng)

怎么作？寫(xiě)出作法，并加以證明.

HG'B

圖33

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)12345678910

答案BDCBADCCAD

提示：

1.,.，MN=AN-AM.PQ=^-竽..,.選(B).

2.設(shè)m=3,n=1,則t=3,s=4.

只有=3^=1=n.故選(D).

3.由y>0,可知x<0.故選(C).

4.容易看到a=b=c時(shí)，原式成為3(x+a)2,是完全平方式.故選(B).

5.4ACD是等邊三角形，4BCA和4ADE均為等腰三角形.故知/BAC=30°,而/BAE=120°,

所以選(A).

6.以等邊三角形為例，當(dāng)D為BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，有AD2>BD2+CD2,當(dāng)D為BC邊的端點(diǎn)時(shí)，

有AD2=BD2+CD2,故有2AD2>BD2+CD2.故選(D).

7.當(dāng)|x|〉l時(shí)，有方程--1='(x+3,

由根與系數(shù)關(guān)系可知，方程有一正根一負(fù)根，且

正根符合要求，當(dāng)況＜1時(shí)，有方程1-，=5

(x+2)，同理可知也是一正根一負(fù)根，正根符

合要求，所以共有2個(gè)根.故選G).

故選(C).

只..x3y3x4-y4(x2-y2)(x2+y2)

yxxyxy

從Y=7+46y2=7-473,代入，是112#.

.?.選(C).

9.*.*x=4,y=5,z=4,u=4.???選(A).

10.由a+b=2La,b質(zhì)數(shù)可知a,b必為2與19兩數(shù).

=baa2+b222+192365田、出/一

而一+7=—；—=…八=故選(D).

abab2x1938

二、填空題

題號(hào)12345

答案1991(a+b+c)(a+2b+3c)±(a+c)11或2

題號(hào)678910

答案82360°3

77144(cm)27

提示：

1.1989X19911991-1991X19891988=1989

(1991X104+1991)-1991(1989X104+1988)

=1989X1991-1991X1988=1991.

2.原式

=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc

=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)

二(a+b+c”+(b+2c)(a+b+c)

=(a+b+c)(a+2b+3c).

3.原式=(a+c)(a+b):[(b+a)(b+c)：(c+a)(c+b)]

_(a+c)(a+b)2

(b+a))-

平方根為土(a+c).

4.正多邊形中，最小內(nèi)角為60°,只有a,b,c均為3時(shí)，所取的內(nèi)角和才可能為180°.

?-—d----+—+=—+-----F—=1.

abc333

5.兩式相加有

(1+a)y=6,因?yàn)閍,y均為正整數(shù),故a的可能值為5,這時(shí)y=l,這與y-x二1矛盾，舍去;

可能值還有a=2,a=l,這時(shí)y=2,y=3與y-x=l無(wú)矛盾.

/.好1或2.

6.倒一次后，剩下(3升酒精，倒第二次后剩

下的是《2尸升，倒第三次后，剩下的是(令22升酒精.

所以應(yīng)答持.

7.在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm,在中，三邊長(zhǎng)分別是10,24,

26,由勾股定理的逆定理可aADC為直角三角形.從而有面積為

11,

-x6x8+-x10x24=144(cm2).

8.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6,正好是以N2,Z3,/5為3個(gè)內(nèi)角的四邊形的4個(gè)內(nèi)角

之和.

和為360。.

9.根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，可知，當(dāng)x取-我或

-26時(shí)，可能是最小值，比較

x=-應(yīng)時(shí)，原式=卜20+4、同=424-閡.

x=-2用時(shí)，原式=卜24+闋=|2布-闋.

??.最小值是2、秒-魚(yú)，其整數(shù)部分為2.

10.由已知條件可知

a是方程2x2+1234567890x+3=0的一個(gè)根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一個(gè)根，后

者還可以看成:

11

是3fz-+1234567890工+2=0的根，或者說(shuō)

3-xy

y

；是2/+1234567890y+3=。的一個(gè)根，從而可以

b

認(rèn)為4和9是方程2x?+1234567890x+3=0的兩個(gè)根.

b

.1=^=2

廠廠5?

（注意：ab1,保證了a,1是方程2,+

b

1234567890%+3=0的兩個(gè)不等的根.

三、解答題

1.設(shè)這兩個(gè)正數(shù)為a,b.則原題成為已知a3+b3=2,求證a+bW2.

證明（反證法）：

若a+b>2由于a3+b3=2,必有一數(shù)小于或等于1,設(shè)為bWl,->a>2b,這個(gè)不等

式兩邊均為正數(shù)，-a3>（2-b）3.

fa3>8T2b+6b2-b3.

fa3+b3>8T2b+6b2.

-6b2-12b+6<0.

-b2-2b+l<0.

—（b-l）2<0.矛盾.

...a+b<2.即本題的結(jié)論是正確的.

2.本題以圖33為準(zhǔn).

由圖34知OK〃AB,延長(zhǎng)EO和FK,即得所求新渠.這時(shí)，HG=GM（都等于OK）,且OK

〃AB,故△OHG的面積和的面積相同.即新渠占地面積與原渠面積相等.而且

只挖了△!?從這么大的一塊地.

我們?cè)倏戳硪环N方法，如圖35.

作法：①連結(jié)EH,FG.

②過(guò)0作EH平行線交AB于N,過(guò)以1幣6平行線交于AB于M.

③連結(jié)EN和FM,貝！JEN,FM就是新渠的兩條邊界線.

又：EH/70N

.?.△EOH面積=z^FNH面積.

從而可知左半部分挖去和填出的地一樣多，同理，右半部分挖去和填出的地也一樣

多.即新渠面積與原渠的面積相等.

由圖35可知，第二種作法用工較多廠.?要挖的面積較大）.

故應(yīng)選第一種方法。

希望杯第三屆（1992年）初中二年級(jí)第一試試題

一、選擇題：（每題1分，共io分）

1.已知a>b>0,貝IJ有[]

a

A.a+b>l;B.ab>l;C.—;D.a-b>l.

b

2.已知三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2:3,若這個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為，那么它的最

長(zhǎng)邊等于[]

A.2;B.272;C.3;D.372.

3.若。=g（石+G）,b=；（近一百），那么T-ab+b?的值為[]

A.—;B.一;C.—;

222

4.J3-20的值等于[]

A."\/3—5/2;B."\/3—1;C.V3+A/2;D.5/2-1.

5.△ABC中，ZA=0-a,ZB=0,ZC=0+a,0°<a<0<90°.若/BAC與NBCA

的平分線相交于P點(diǎn)，則NAPC=[]

A.90°B.105°.C.120°D.150°

6.一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a(a>l),則與這個(gè)自然數(shù)相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方

根為[]

A.a-1,a+1;B.—+];C.Ja?-1,J/+1;D.a'-l,aJ+l.

7.已知實(shí)數(shù)a滿足U992-aI+J"1993=0,那么a-1992,的值為[]

A.1991.B.1992.C.1993.D.1994.

8.正整數(shù)a被7除，得到余數(shù)4,則￡+5被7除，得到的余數(shù)是[]

A.0.B.2.C.4.D.6.

9.\6—^35+\]6+y/35的值為[]

A.jy+\/5;B.J14;C.—(V7—V5);D.1.

10.方程x2+667x+1992=0的較大的那個(gè)實(shí)根的負(fù)倒數(shù)等于[]

二、填空題：(每題1分，共10分)

1.一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的3倍，則這個(gè)角的度數(shù)等于

2.二次根式xj—-化為最簡(jiǎn)根式應(yīng)是

3.若(xT)Jaox'+aixO+azx'-asx'-aaxZ-asx-ae,貝必6=

4.若a、b、c為AABC的三邊的長(zhǎng)，則《(a-b-c)2+《(b-c-a)2+個(gè)(c-a-b)2=_____.

5.如圖39,△ABC中,ZBCA=90°,ZBAC=60°,BC=4.在CA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D,使AD=AB,

則D,B兩點(diǎn)之間的距離等于.

6.V2的小數(shù)部分我們記作m,貝加2+01+及=.

7.若a>b>c>0,一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的兩個(gè)實(shí)根中，較大的一個(gè)

實(shí)根等于____.

8.如圖40,Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=.

9.一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，將它的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后

仍是一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，我們稱它為“無(wú)瑕質(zhì)數(shù)"，

則所有“無(wú)瑕質(zhì)數(shù)”之和等于_圖

10.若3x2+4yT0=0,貝iJ15x；!+3x;:y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=.

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)12345678910

答案cBADCCCDBD

提示：

1.用特殊值法,不妨設(shè)a=0.4,b=0.2,則a+b=0.6<l,可排除(A)；ab=O.08<1,可排

除(B)；

a-b=0.4-0.2=0,2<l,可排除①)，所以應(yīng)選(C).

事實(shí)上，a>0,b>0,且a〉b,所以*〉1成立.

b

2.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°及三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3,容易得出三個(gè)內(nèi)角為

30°,60°,90°.30°角對(duì)邊為最短邊，由題設(shè)知，

它的邊長(zhǎng)為也.90。角所對(duì)邊為最長(zhǎng)邊，即直角

三角形的斜邊，其長(zhǎng)應(yīng)為30°角對(duì)邊的2倍，即為

2應(yīng)，所以應(yīng)選(B).

a2-ab+b2=(a+b)2-3ab

=(75)2-3X^=^.二應(yīng)選(A).

4.4J3_20=-2、泛+1

2

=A/(V2-1)=V2-1.

二應(yīng)選(D).

5.由NA+NB+NC=180°,BR(9-a)+0+(0+a)=30=180°,

e=ZABC=60°,因此，g(N班c+

Z5C4)=|(1800-60。)=60°,

Z-APC=180*-g(NB/C+N3c4)

=180°-60°=120°

應(yīng)選(C).

6.設(shè)這個(gè)自然數(shù)為M,則赤=a>l,便知

M=/〉1,所以與M相鄰的兩個(gè)自然數(shù)分別為

n-l=a2-l,n+l=a2+l,其算術(shù)平方根分別為

信-1與信+1,故應(yīng)選(C).

7.由題意知a-199320,因而a》1993.

于是|1992-a|=aT992.

由11992-a|+Ja-1993=a,可知，a-1992

+Ja-1993=a即Ja-1993=1992,

從而a-1993=1992?,故a-199