PAGE1第5練解三角形一、單選題1．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2B-sinA．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、余弦定理等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和基本計(jì)算實(shí)力.2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b=5，C=60°，且△ABC的面積為53A．8+21B．9+21C．10+21D【答案】B【解析】由題意，依據(jù)三角形面積公式，得12absinC=53，即12a?5?32=53，解得a=4，依據(jù)余弦定理得c3．已知在銳角中，角的對(duì)邊分別為,且.則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理和余弦定理得,化簡(jiǎn)得.4．銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)意，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A點(diǎn)晴：本題考查的是三角恒等變換，正余、弦定理的綜合應(yīng)用.關(guān)鍵有兩方面;先從動(dòng)身結(jié)合正余弦定理，得到角，可由銳三角形這個(gè)條件列式得到，另一方面結(jié)合正弦定理表示，求值域即可得解.5．如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°A．502mB．503mC．252m【答案】A點(diǎn)睛：（1）本題主要考查正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的駕馭實(shí)力.(2)求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：①分析：分析題意，弄清已知和所求；②建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出已知與所求，并畫(huà)出示意圖；③求解：正確運(yùn)用正、余弦定理求解；④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義.6．已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)意cosA=A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等邊三角形D．直角三角形【答案】D【解析】由cosA=bc，即b故選：D．7．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故選8．在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線(xiàn)AM和CN所成的角的余弦值是（）A．32B．1010C．35D【答案】D【解析】【分析】【詳解】過(guò)點(diǎn)N作AM的平行線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，則AE＝3EB，連接EC，設(shè)AB＝4，在△NEC中有EN=5由余弦定理得cos∠ENC=∴直線(xiàn)AM和CN所成的角的余弦值是25故選D．【點(diǎn)睛】利用幾何法求異面直線(xiàn)所成角的步驟：①作：利用定義轉(zhuǎn)化為平面角，對(duì)于異面直線(xiàn)所成的角，可固定一條，平移一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特別的位置，頂點(diǎn)選在特別的位置上．②證：證明作出的角為所求角．③求：把這個(gè)平面角置于一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形求空間角．9．在ΔABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ΔABC的面積為S，且a=1，4S=b2+A．4πB．2πC．πD．π【答案】D【解析】【分析】【詳解】在ΔABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，既有2bccosA=b2+c2-a2=b2+c2-1，又由面積公式，得S=12bc故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見(jiàn)用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（肯定要留意探討鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.10．在ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=23,c=22，1+tanAtanA．π6B．π4C．π4或3π4【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理將原式中邊化弦，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得cosA的值，依據(jù)同角三角函數(shù)可得sinA，最終依據(jù)正弦定理求出sinC，從而求出角【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查解三角形以及三角函數(shù)恒等變換的公式，要嫻熟駕馭公式之間的互化，由正弦求角度時(shí)，留意一題多解的狀況，由于本題有角度限制，所以要舍去一個(gè)結(jié)果.11．已知銳角△ABC的內(nèi)角為A，B，C，點(diǎn)M為AB上的一點(diǎn)，cos∠ACM=313，AC=15，CM=3A．1522,152B．15,152C．【答案】A【解析】分析：ΔAMC中，由余弦定理可得AM=62，ΔAMC中，由正弦定理得sin∠MAC=22,∠MAC=π當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，AB=152詳解：ΔAMC中，由余弦定理可得，AM2=AC2ΔAMC中，由正弦定理得，AMsin∠ACM得sin∠MAC=2當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，∵ΔABC為銳角三角形，∴15AB的取值范圍為1522點(diǎn)睛：本題主要考查余弦定理、正弦定理及特別角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)潔題.對(duì)余弦定理肯定要熟記兩種形式：（1）a2=b2+c2-2bccosA；（12．已知臺(tái)風(fēng)中心位于城市A東偏北α(α為銳角)度的150公里處，以v公里/小時(shí)沿正西方向快速移動(dòng)，2.5小時(shí)后到達(dá)距城市A西偏北β(β為銳角)度的200公里處，若cosα=34A．60B．80C．100D．125【答案】C【點(diǎn)睛】本小題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查余弦定理解三角形，考查兩角和的余弦公式，考查同角三角函數(shù)關(guān)系.首先要依據(jù)題目畫(huà)出圖象，要對(duì)方向角熟識(shí)，上北下南左西右東，在A點(diǎn)東西向和BC是平行的，內(nèi)錯(cuò)角相等，將已知角都轉(zhuǎn)移到ΔABC中，然后利用正弦定理和余弦定理解三角形.二、填空題13．13．在△ABC中，AB=2，AC=7，∠ABC=2π3，則【答案】1【解析】由題意，依據(jù)余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cos14．在ΔABC中,a,b,c是角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng),若sinA:sinB:sin【答案】1點(diǎn)睛：正弦定理為實(shí)現(xiàn)“邊角互化”供應(yīng)了依據(jù)，而當(dāng)已知三邊比例關(guān)系時(shí)，則可利用余弦定理求出任何一個(gè)內(nèi)角的余弦值.15．在ΔABC中，A=π6且12sinB=cos2C2【答案】3【解析】【分析】【詳解】依據(jù)題意，△ABC中，12sinB=cos2C2，則有1則有cocC=sinB﹣1＜0，則C為鈍角，B為銳角；又由A=π6，則B+C=5則sinB=1+cosC?sin（56π﹣C）=1+cosC?cos（C+π3）=C為鈍角，則C=23π，B=56π則△ABC中，A=B=π6，則有AC=BC，△ABC設(shè)D為BC中點(diǎn)，AD=7，設(shè)AC=x，則有cosC=x解可得x=2，則S△ABC=12×AC×BC×sinC=12×2×2×sin2故答案為:3【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查余弦定理解三角形和三角形面積計(jì)算，考查三角恒等變換，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭水平和分析推理實(shí)力.(2)本題解題的關(guān)鍵是求出B、C，由此分析三角形ABC的形態(tài)．16．已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且a=6，4sinB=5sinC，有以下四個(gè)命題：①滿(mǎn)意條件的△ABC不行能是直角三角形；②當(dāng)A=2C時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為15時(shí)，若O為△ABC的內(nèi)心，則△AOB的面積為7；④△ABC的面積的最大值為40．其中正確命題有__________（填寫(xiě)出全部正確命題的序號(hào)）．【答案】②③④【解析】【分析】【詳解】對(duì)于①，a=6，4sinB=5sinC即4b=5c，設(shè)b=5t，c=4t，由36+16t2=25t2，可得t=43，滿(mǎn)意條件的△ABC可能是直角三角形，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，a=6可得：4cos2C-1=可得sinA=2sinCcosC=378，可得：c=4，b=5，則a+b+c=15，故②正確；