PAGEPAGE5課時作業28一、選擇題1．函數f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x取微小值時，x的值是()A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，f′(x)的圖象如下圖．∵在x＝－1的旁邊左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，∴x＝－1時取微小值．答案：C2.[2012·陜西高考]設函數f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，則()A.x＝eq\f(1,2)為f(x)的極大值點B.x＝eq\f(1,2)為f(x)的微小值點C.x＝2為f(x)的極大值點D.x＝2為f(x)的微小值點解析：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－2,x2)，當x＝2時，f′(x)＝0；當x>2時，f′(x)>0，函數f(x)為增函數；當0<x<2時，f′(x)<0，函數f(x)為減函數，所以x＝2為函數f(x)的微小值點．答案：D3.設a∈R，若函數y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點，則()A.a<－1 B.a>－1C.a>－eq\f(1,e) D.a<－eq\f(1,e)解析：y′＝a＋ex，由ex＋a＝0得ex＝－a，x＝ln(－a)．可知x＝ln(－a)為函數的極值點．∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.∴a<－1.答案：A4.已知函數f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,3) D.eq\f(16,3)解析：由圖可知f(1)＝0，f(2)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,8＋4b＋2c＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,c＝2.))∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2.由圖可知x1，x2為f(x)的極值點，∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(2,3).∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).答案：C二、填空題5．若函數y＝－x3＋6x2＋m的極大值等于13，則實數m等于__________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，簡單得出當x＝4時函數取得極大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－196．已知實數a，b，c，d成等比數列，且曲線y＝3x－x3的極大值點坐標為(b，c)，則ad＝__________.解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，且當x>1時，y′<0，當－1≤x≤1時，y′≥0，當x<－1時，y′<0，故x＝1為y＝3x－x3的極大值點，即b＝1.又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2.又∵a，b，c，d成等比數列，∴ad＝bc＝2.答案：27．已知函數y＝xf′(x)的圖象如下圖所示(其中f′(x)是函數f(x)的導函數)，給出以下說法：①函數f(x)在區間(1，＋∞)上是增函數；②函數f(x)在區間(－1,1)上單調遞增；③函數f(x)在x＝－eq\f(1,2)處取得極大值；④函數f(x)在x＝1處取得微小值．其中正確的說法是__________．解析：題號正誤緣由分析①由圖象知，當x∈(1，＋∞)時，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)遞增②當x∈(－1,0)時，xf′(x)>0，故f′(x)<0；當x∈(0,1)時，xf′(x)<0，故f′(x)<0.綜上，當x∈(－1,0)∪(0,1)時，f′(x)<0，故f(x)在區間(－1,0)，(0,1)上是減函數③f(x)在區間(－1,0)上單調遞減，故x＝－eq\f(1,2)不是極值點④f(x)在區間(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數，故f(x)在x＝1處取得微小值答案：①④三、解答題8．[2013·重慶高考]設f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)．(1)確定a的值；(2)求函數f(x)的單調區間與極值．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋eq\f(6,x).令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)，由點(0,6)在切線上可得6－16a＝8a－6，故a＝eq\f(1,2).(2)由(1)知，f(x)＝eq\f(1,2)(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋eq\f(6,x)＝eq\f(x－2x－3,x).令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.當0<x<2或x>3時，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數；當2<x<3時，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上為減函數．由此可知f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝eq\f(9,2)＋6ln2，在x＝3處取得微小值f(3)＝2＋6ln3.9．設函數f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩個根分別為1,4.(1)當a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)內無極值點，求a的取值范圍．解：由f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.因為f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩個根分別為1,4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋c－9＝0，,16a＋8b＋c－36＝0.))(*)(1)當a＝3時，由(*)式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c－6＝0，,8b＋c＋12＝0.))解得b＝－3，c＝12.又因為曲線y＝f(x)過原點，所以d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內無極值點”等價于“f′(x)＝