高級中學名校試題PAGEPAGE1浙江省“七彩陽光”新高考研究聯盟2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題考生須知：1.本卷共四頁滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結束后，只需上交答題紙.一、單選題（每小題5分共40分）1.若雙曲線的離心率為，則其漸近線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知：，則又，所以雙曲線的漸近線方程為：，所以可知漸近線的斜率為故選：B2.已知空間兩條不同直線，兩個不同平面，下列命題正確的是（）①，則②，則③，則④，則A.①③ B.②④ C.①③④ D.①④【答案】C【解析】若，由線面垂直的性質，垂直同一個平面的兩條直線平行，則，故①正確；若，則或與相交或異面，故②錯誤；若，由垂直同一條直線的兩個平面平行，則，故③正確；若，由線面垂直和線面平行性質可得，故④正確.故選：C.3.已知直線，圓.則直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.與a有關【答案】A【解析】因為圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以直線與圓的位置關系是相交.故選：A4.東陽市一米陽光公益組織主要進行“敬老”和“助學”兩項公益項目，某周六，組織了七名大學生開展了“筑夢前行，陽光助學”活動后，大家合影留念，其中米一同學想與佳艷?劉西排一起，且要排她們中間，則全部排法有（）種.A.120 B.240 C.480 D.720【答案】B【解析】因為米一同學想與佳艷?劉西排一起，所以捆綁在一起，與剩余4個同學作為5個元素全排列有種，又因為米一同學想與佳艷?劉西排一起，且在他們中間，則佳艷?劉西全排列有種，所以全部排法有：種，故選：B5.已知等差數列，前項和為是方程兩根，則（）A.2020 B.2022 C.2023 D.2024【答案】D【解析】因為是方程兩根，所以，所以，所以.故選：D6.空間點，則點到直線的距離（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，所以，所以，所以點A到直線BC的距離.故選：D.7.已知橢圓，為橢圓上一動點（不含左右端點），左右端點為，則離心率e的范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，，，，，由題意可知，，即，得，則.故選：B8.三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】中，，由余弦定理得；設底面的外心為，外接圓的半徑為；由正弦定理，則；連結，此時的外接球的球心在上，利用直角可得：，設的外接球的半徑為；此時，在直角中，，即，解得；所以，三棱錐的外接球的表面積.故選：.二、多選題（每小題6分，共18分，多選.錯選0分少選則根據比例得分）9.已知直線和直線，則下列說法正確的是（）A.若，則表示與軸平行或重合的直線B.直線可以表示任意一條直線C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，當時，斜率為0，與軸平行或重合，故A正確；對于B，當時，斜率不存在，當時，斜率存在，能表示任意直線，故B正確；對于C，若，且或，則，故C錯誤；對于D，若，則由可得斜率之積為-1，故，若，可得，此時滿足，此時兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故，故D正確.故選：ABD.10.已知正項等比數列的公比為，前項積為，且滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.存在最大值【答案】ACD【解析】由已知，又，，所以，，A正確，B錯誤；，，所以，C正確；因為且，所以等比數列遞減數列，于是，則的最大值為，D正確.故選：ACD11.已知定義域為R的函數不恒為零，滿足等式，則下列說法正確的是（）A. B.在定義域上單調遞增C.是偶函數 D.函數有兩個極值點【答案】AD【解析】對于A，令得，即，A正確；對于B，若在定義域上單調遞增，當時，，令，得，即，與在定義域上單調遞增矛盾，故B錯誤；對于C，若是偶函數，則，且，因為，所以，所以，即，得或，又，所以恒成立，矛盾，故C錯誤；對于D，當時，，記，則所以，令解得或，因為不恒為零，所以在兩邊異號，所以為的極值點，所以函數有兩個極值點，D正確.故選：AD三、填空題（每小題5分共15分）12.拋物線的準線方程為_____.【答案】【解析】由拋物線，拋物線的準線方程為．故答案為：．13.展開式中常數項為__________.【答案】【解析】展開式中,通項公式為，令，求得，可得展開式中的常數項為.故答案為：15.14.已知正方體是邊長為1的正方體，點為正方體棱上的一動點，則使得的點有__________個.（用數字作答）【答案】【解析】正方體的棱長為1，則，顯然，因此，在過直線的某一平面內，點的軌跡是以為二焦點，長軸長的橢圓，半焦距，短半軸長，，在空間，點的軌跡是上述橢圓繞直線旋轉半周形成的幾何體，不妨稱此幾何體為橢球，顯然點都在此橢球內，連接，由平面，平面，得，點到直線的距離，令橢球被平面所截邊界曲線方程為，令點的橫坐標為，而，則，過點垂直于的直線與橢圓交點坐標為，于是，，，即點在橢圓外，因此正方體的頂點在橢球內，其余頂點都在橢球外，則棱與橢球各有一個公共點，取棱中點，連接，則，顯然，，，則點在橢球被平面所截邊界橢圓內，即點在橢球內，棱與橢球有2個公共點，同理棱與橢球都各有2個公共點，所以橢球與此正方體的所有棱的公共點個數為，即符合條件的點有18個.故答案為：18四、解答題（共77分）15.函數，求的最大值和最小值解：，又，時遞減，時遞增，且，，，16.如圖多面體，底面為菱形，，，，平面平面.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.解：（1）在中，，由，，所以，由余弦定理可得，所以，所以，即，又，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，在菱形中，又，平面，平面，平面，.（2）菱形中，所以為等邊三角形，取中點，連接，所以，又，所以，又平面，以分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，設，則，又，所以，所以，即，所以，設平面的一個法向量為，則，取設平面的一個法向量，則，取，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.17.（1）求圓和圓的公切線（2）若與拋物線相交，求弦長解：（1）當斜率存在時，設公切線為，因為與兩圓相切，所以，解得.切線當斜率不存在時，也符合題意，綜上：公切線為：或；（2）當切線和時經檢驗無交點，當切線為時，求得弦長為1，當切線為時，代入，得：，由韋達定理得，所以由弦長公式得：，，綜上：弦長1或18.在高等數學中對于二階線性遞推式求數列通項，有一個特殊的方法特征根法：我們把遞推數列的特征方程寫為①，若①有兩個不同實數根，則可令；若①有兩個相同的實根，則可令，再根據求出，代入即可求出數列的通項.（1）斐波那契數列（Fibonaccisequence），又稱黃金分割數列，因出自于意大利數學家斐波那契的一道兔子繁殖問題而得名.斐波那契數列指的是形如的數列，這個數列的前兩項為1，從第三項開始，每一項都等于前兩項之和，請求出斐波那契數列的通項公式；（2）已知數列中，數列滿足數列滿足，求數列的前項和.解：（1）易知斐波那契數列對應的特征方程為，解得兩個實根分別為，令，代入可得，解得，所以斐波那契數列的通項公式為（2）易知數列對應的特征方程為，解得，所以令，代入，解得，所以，所以，所以是公差為1的等差數列，，所以，所以19.已知點為焦點在軸上的等軸雙曲線上的一點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直