eq\a\vs4\al\co1(第四節雙曲線)A組三年高考真題（2016～2014年）1.(2016·全國Ⅰ，5)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(－1，3)B.(－1，eq\r(3))C.(0，3)D.(0，eq\r(3))2.(2016·全國Ⅱ，11)已知F1，F2是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，則E的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\f(3,2)C.eq\r(3)D.23.(2015·福建，3)若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()A.11B.9C.5D.34.(2015·安徽，4)下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是()A.x2－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(y2,4)－x2＝1D.y2－eq\f(x2,4)＝15.(2015·廣東，7)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝16.(2015·四川，5)過雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|＝()A.eq\f(4\r(3),3)B.2eq\r(3)C.6D.4eq\r(3)7.(2015·新課標全國Ⅱ，11)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A.eq\r(5)B.2C.eq\r(3)D.eq\r(2)8.(2015·新課標全國Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))9.(2014·天津，5)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1B.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(3x2,25)－eq\f(3y2,100)＝1D.eq\f(3x2,100)－eq\f(3y2,25)＝110.(2014·廣東，4)若實數k滿足0<k<9，則曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的()A.離心率相等B.實半軸長相等C.虛半軸長相等D.焦距相等11.(2014·新課標全國Ⅰ，4)已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為()A.eq\r(3)B.3C.eq\r(3)mD.3m12.(2014·重慶，8)設F1，F2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(9,4)D.313.(2014·山東，10)已知a>b>0，橢圓C1的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3),2)，則C2的漸近線方程為()A.x±eq\r(2)y＝0B.eq\r(2)x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝014.(2014·大綱全國，9)已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1、F2，點A在C上.若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)15.(2016·山東，13)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________.16.(2015·浙江，9)雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1的焦距是______，漸近線方程是______.17.(2015·北京，10)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的一條漸近線為eq\r(3)x＋y＝0，則a＝________.18.(2015·湖南，13)設F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一個焦點，若C上存在點P，使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點，則C的離心率為________.19.(2015·江蘇，12)在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個動點.若點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實數c的最大值為________.20.(2014·浙江，16)設直線x－3y＋m＝0(m≠0)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A，B.若點P(m,0)滿足|PA|＝|PB|，則該雙曲線的離心率是________.21.(2014·江西，20)如圖，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的右焦點為F，點A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA(O為坐標原點).(1)求雙曲線C的方程；(2)過C上一點P(x0，y0)(y0≠0)的直線l：eq\f(x0x,a2)－y0y＝1與直線AF相交于點M，與直線x＝eq\f(3,2)相交于點N.證明：當點P在C上移動時，eq\f(|MF|,|NF|)恒為定值，并求此定值.B組兩年模擬精選(2016～2015年)1.(2016·山東青島模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x＋2y＋5＝0，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(3x2,25)－eq\f(3y2,100)＝1D.eq\f(x2,100)－eq\f(y2,25)＝12.(2015·河南開封模擬)已知a>b>0，橢圓C1的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3),2)，則C1、C2的離心率分別為()A.eq\f(1,2)，3B.eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(6),4)，2D.eq\f(1,4)，2eq\r(3)3.(2015·青島一中月考)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則()A.a2＝eq\f(13,2)B.a2＝13C.b2＝eq\f(1,2)D.b2＝24.(2015·河北石家莊一模)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F恰好是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，且兩曲線的交點連線過點F，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.1＋eq\r(2)D.1＋eq\r(3)5.(2016·山東日照模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，其右頂點是A，若雙曲線C右支上存在兩點B，D，使△ABD為正三角形，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是________.6.(2016·四川成都模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為2x＋3y＝0，則雙曲線的離心率是________.7.(2016·豫晉冀三省調研)已知雙曲線C的中心在原點，且左、右焦點分別為F1、F2，以F1F2為底邊作正三角形，若雙曲線C與該正三角形兩腰的交點恰為兩腰的中點，則雙曲線C的離心率為________.8.(2016·廣東茂名模擬)已知拋物線y2＝4x與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦點F，O是坐標原點，點A、B是兩曲線的交點，若(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0，則雙曲線的實軸長為________.9.(2016·湖南常德3月模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左頂點為M，右焦點為F，過F的直線l與雙曲線交于A，B兩點，且滿足：eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(MF,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，則該雙曲線的離心率是________.10.(2016·重慶萬州模擬)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10)).點M(3，m)在雙曲線上.(1)求雙曲線方程；(2)求證：eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積.答案精析A組三年高考真題（2016～2014年）1.A[∵方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由雙曲線性質，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故選A.]2.A[離心率e＝eq\f(F1F2,MF2－MF1)，由正弦定理得e＝eq\f(F1F2,MF2－MF1)＝eq\f(sinM,sinF1－sinF2)＝eq\f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq\r(2).故選A.]3.B[由雙曲線定義||PF2|－|PF1||＝2a,∵|PF1|＝3,∴P在左支上,∵a＝3,∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故選B.]4.C[由雙曲線性質知A、B項雙曲線焦點在x軸上，不合題意；C、D項雙曲線焦點均在y軸上，但D項漸近線為y＝±eq\f(1,2)x，只有C符合，故選C.]5.B[因為所求雙曲線的右焦點為F2(5，0)且離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故選B.]6.D[焦點F(2，0)，過F與x軸垂直的直線為x＝2，漸近線方程為x2－eq\f(y2,3)＝0，將x＝2代入漸近線方程得y2＝12，y＝±2eq\r(3)，∴|AB|＝2eq\r(3)－(－2eq\r(3))＝4eq\r(3).選D.]7.D[如圖，設雙曲線E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0),則|AB|＝2a,由雙曲線的對稱性,可設點M(x1，y1)在第一象限內,過M作MN⊥x軸于點N(x1，0)，∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝eq\r(3)a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.將點M(x1，y1)的坐標代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，可得a2＝b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(2)，選D.]8.A[由題意知M在雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上，又在x2＋y2＝3內部，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－y2＝1，,x2＋y2＝3，))得y＝±eq\f(\r(3),3)，所以－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).]9.A[由題意可知，雙曲線的其中一條漸近線y＝eq\f(b,a)x與直線y＝2x＋10平行，所以eq\f(b,a)＝2且左焦點為(-5,0),所以a2＋b2＝c2＝25,解得a2＝5,b2＝20,故雙曲線方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.選A.]10.D[由0<k<9，易知兩曲線均為雙曲線且焦點都在x軸上，由eq\r(25＋9－k)＝eq\r(25－k＋9)，得兩雙曲線的焦距相等，選D.]11.A[∵雙曲線的方程為eq\f(x2,3m)－eq\f(y2,3)＝1，焦點F到一條漸近線的距離為eq\r(3).]12.B[由雙曲線的定義得||PF1|-|PF2||＝2a,又|PF1|＋|PF2|＝3b,所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|-|PF2|)2＝9b2-4a2,即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)-eq\f(9b,a)－4＝0,則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3b,a)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3b,a)－4))＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－\f(1,3)舍去))，則雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(5,3).]13.A[橢圓C1的離心率為eq\f(\r(a2－b2),a),雙曲線C2的離心率為eq\f(\r(a2＋b2),a)，所以eq\f(\r(a2－b2),a)·eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a4－b4＝eq\f(3,4)a4，即a4＝4b4，所以a＝eq\r(2)b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝±eq\f(1,\r(2))x，即x±eq\r(2)y＝0.]14.A[由雙曲線的定義知|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＝2|AF2|，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a.∵e＝eq\f(c,a)＝2，∴c＝2a，∴|F1F2|＝4a.∴cos∠AF2F1＝eq\f(|AF2|2＋|F1F2|2－|AF1|2,2|AF2|·|F1F2|)＝eq\f(（2a）2＋（4a）2－（4a）2,2×2a×4a)＝eq\f(1,4)，故選A.]15.2[由已知得|AB|＝eq\f(2b2,a),|BC|＝2c,∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c,又∵b2＝c2-a2,整理得：2c2-3ac-2a2=0，兩邊同除以a2得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)－3eq\f(c,a)－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).]16.2eq\r(3)y＝±eq\f(\r(2),2)x[由雙曲線方程得a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴焦距為2eq\r(3)，漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.]17.eq\f(\r(3),3)[雙曲線漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，又b＝1，∴a＝eq\f(\r(3),3).]18.eq\r(5)[不妨設F(c，0)，則由條件知P(－c，±2b)，代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1得eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).]19.eq\f(\r(2),2)[雙曲線x2－y2＝1的漸近線為x±y＝0，直線x－y＋1＝0與漸近線x－y＝0平行，故兩平行線的距離d＝eq\f(|1－0|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2).由點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，得c≤eq\f(\r(2),2)，故c的最大值為eq\f(\r(2),2).]20.eq\f(\r(5),2)[聯立直線方程與雙曲線漸近線方程y＝±eq\f(b,a)x可解得交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(am,3b－a)，\f(bm,3b－a)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－am,3b＋a)，\f(bm,3b＋a)))，而kAB＝eq\f(1,3)，由|PA|＝|PB|，可得AB的中點與點P連線的斜率為－3，即eq\f(\f(\f(bm,3b－a)＋\f(bm,3b＋a),2)－0,\f(\f(am,3b－a)＋\f(－am,3b＋a),2)－m)＝－3，化簡得4b2＝a2，所以e＝eq\f(\r(5),2).]21.(1)解設F(c，0)，因為b＝1，所以c＝eq\r(a2＋1)，直線OB的方程為y＝－eq\f(1,a)x，直線BF的方程為y＝eq\f(1,a)(x－c)，解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，－\f(c,2a))).又直線OA的方程為y＝eq\f(1,a)x，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(c,a)))，kAB＝eq\f(\f(c,a)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2a))),c－\f(c,2))＝eq\f(3,a).又因為AB⊥OB，所以eq\f(3,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1，解得a2＝3，故雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)證明由(1)知a＝eq\r(3)，則直線l的方程為eq\f(x0x,3)－y0y＝1(y0≠0)，即y＝eq\f(x0x－3,3y0).因為直線AF的方程為x＝2，所以直線l與AF的交點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2x0－3,3y0)))；直線l與直線x＝eq\f(3,2)的交點為Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\f(3,2)x0－3,3y0))).則eq\f(|MF|2,|NF|2)＝eq\f(\f(（2x0－3）2,（3y0）2),\f(1,4)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x0－3))\s\up12(2),（3y0）2))＝eq\f(（2x0－3）2,\f(9yeq\o\al(2,0),4)＋\f(9,4)（x0－2）2)＝eq\f(4,3)·eq\f(（2x0－3）2,3yeq\o\al(2,0)＋3（x0－2）2)，因為P(x0，y0)是C上一點，則eq\f(xeq\o\al(2,0),3)－yeq\o\al(2,0)＝1，代入上式得eq\f(|MF|2,|NF|2)＝eq\f(4,3)·eq\f(（2x0－3）2,xeq\o\al(2,0)－3＋3（x0－2）2)＝eq\f(4,3)·eq\f(（2x0－3）2,4xeq\o\al(2,0)－12x0＋9)＝eq\f(4,3)，所求定值為eq\f(|MF|,|NF|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).B組兩年模擬精選(2016～2015年)1.A[由題意知：eq\f(b,a)＝eq\f(1,2),c＝5,所以a2＝20,b2＝5,則雙曲線的方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1,故選A.]2.B[由題意知，eq\f(\r(a2－b2),a)·eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a2＝2b2，則C1、C2的離心率分別為e1＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(\r(6),2)，故選B.]3.C[由題意知,a2＝b2＋5,因此橢圓方程為(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x,聯立方程消去y,得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0,∴直線截橢圓的弦長d＝eq\r(5)×2eq\r(\f(a4－5a2,5a2－5))＝eq\f(2,3)a，解得a2＝eq\f(11,2)，b2＝eq\f(1,2).4.C[因為兩曲線的交點的連線過點F，所以兩曲線的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，±p))，代入雙曲線方程可得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))\s\up12(2),a2)－eq\f(p2,b2)＝1，因為eq\f(p,2)＝c，所以c4－6a2c2＋a4＝0所以e4－6e2＋1＝0，又e＞1，解得e＝1＋eq\r(2)，故選C.]5.1＜e＜eq\f(2\r(3),3)[雙曲線c的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x,要使△ABD為正三角形,則只需過右頂點A,且斜率為eq\f(\r(3),3)的直線與雙曲線有兩個不同的交點,即只需該直線的斜率大于漸近線y＝eq\f(b,a)x的斜率.∴eq\f(\r(3),3)＞eq\f(b,a)，∴b＜eq\f(\r(3),3)a.即b2＜eq\f(1,3)a2，則c2＜a2＋eq\f(1,3)a2，即c＜eq\f(2\r(3),3)a，則e＜eq\f(2\r(3),3)，又e＞1，所以1＜e＜eq\f(2\r(3),3).]6.eq\f(\r(13),3)[由漸近線方程可設a＝3k,b＝2k,(k＞0),∴c＝eq\r(13)k，雙曲線離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3).]7.eq\r(3)＋1[設以F1F2為底邊的正三角形與雙曲線C的右支交于點M，連接MF1，則在Rt△MF1F2中，有|F1F2|＝2c，|MF1|＝eq\r(3)c，|MF2|＝c，由雙曲線的定義知|MF1|－|MF2|＝2a，即eq\r(3)c－c＝2a，所以雙