第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年河南省部分名校高二（下）4月期中聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.4名同學去3個十字路口作交通協管志愿者，每名同學可自由選擇1個十字路口，不同選擇方法的種數是A.81 B.64 C.24 D.122.曲線y=f(x)=xx?1在點(2,f(2))處的切線斜率為A.2 B.?2 C.?1 D.13.設函數f(x)=xe2x，則A.3e4 B.5e4 C.4.體育課上，四組同學進行籃球訓練．現將7個籃球進行分配，每個組都分到籃球的分配方法有(

)A.23種 B.22種 C.21種 D.20種5.已知函數f(x)=(x+2)ex，x∈[?5,5]，則f(x)的最小值為A.?3e?3 B.?3e?5 C.6.投擲一枚正方體骰子兩次，則在第一次正面朝上的點數為奇數的條件下，第二次正面朝上的點數大于4的概率為A.12 B.14 C.137.在規定時間內，甲、乙、丙能正確解答某道題的概率分別為0.5，0.6，0.4，且這三人是否能按時正確解答該題相互獨立．記甲、乙、丙三人中能按時正確解答該題的人數為X，則E(X)=A.1.8 B.1.7 C.1.6 D.1.58.設函數f(x)=|lnx|,x>0,ex(x+1),x≤0.若函數f(x)的圖象與直線A.(1,+∞) B.?1e2,0 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.現有牌面互不相同的五張撲克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3張和方塊有2張．從中不放回地抽取2次，每次抽取一張，則下列說法正確的有A.第二次抽到黑桃的概率為35

B.在抽取過程中，至少有一次抽到方塊的概率為310

C.若已知第二次抽到的是方塊，則第一次也抽到方塊的概率為14

D.設抽到黑桃的次數為10.下列說法中，正確的有A.(1?2x)6的展開式中，x2的系數是60

B.(1+3x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x411.已知函數f(x)=e2x?2ax?1A.若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x，則a=1

B.若a=1，則函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增

C.若a>e2，則函數f(x)在[1,+∞)上的最小值為a?alna?1

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數f(x)=12x2?13.某學校組織乒乓球比賽，采取3局2勝制．甲、乙兩同學進行淘汰賽，假設每局比賽中甲獲勝的概率均為23，且各局比賽的結果相互獨立．則在甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率是_________．14.函數f(x)=lnx?mx2，若對任意0<a<b，f(b)?f(a)b?a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知函數f(x)=13x3?(1)求函數f(x)的解析式；(2)求函數f(x)的單調區間．16.(本小題15分)某次物理考試后，學校隨機抽取了100名參加本次考試的學生的成績(單位：分)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)為進一步調查學生每天學習物理的時間，從樣本采用比例分層抽樣從成績在[70,80)，[80,90)內的學生中抽取13人，再從中任選3人進行調查，求抽到成績在[80,90)內的人數X的分布列和數學期望．17.(本小題15分)某超市舉辦購物抽獎活動，顧客根據購物金額，獲得抽獎次數．設置甲、乙、丙三個抽獎箱，購物顧客每次從甲、乙、丙三個抽獎箱中隨機選一個抽獎箱抽取一張獎券．已知甲箱每次抽取中獎的概率為13，乙箱和丙箱每次抽取中獎的概率均為1(1)已知某顧客有三次抽獎機會，現有兩種抽獎方案供選擇：方案一：從甲、乙、丙三個抽獎箱中各抽取一次，中獎三次獲得金額50元的代金券，中獎兩次獲得金額20元的代金券，其他情況沒有獎勵．方案二：從甲抽獎箱中抽取三次，中獎三次獲得金額70元的代金券，中獎兩次獲得金額30元的代金券，其他情況沒有獎勵．計算獲得代金券金額的期望，分析該顧客選擇哪個方案比較合適．(2)若某顧客有一次抽獎機會，他等可能地選擇甲、乙、丙三個抽獎箱中的一個抽獎，已知該顧客抽取中獎，求該顧客選擇乙抽獎箱的概率．18.(本小題17分)已知函數f(x)=2x(1)當a=3時，求f(x)的極值；(2)若a>0，求f(x)在區間[0,1]上的最小值．19.(本小題17分)已知函數f(x)=(1)若a=0，求函數f(x)的極值；(2)求證：f(x)≥1．

參考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.D

6.C

7.D

8.D

9.ACD

10.ABD

11.BCD

12.(1,+∞)

13.4514.(?∞,?115.解：(1)由題意可知，由f(x)=13x已知函數圖像在(1,f(1))處的切線方程是12x+3y?7=0，即y=?4x+7所以f′(1)?=?a?1=?4，f(1)=?23+a+b=?53．

解得a=?3，b=2，

(2)由(1)可知，f(x)的解析式為f(x)=則f′令f′(x)=0，解得x=?令f′(x)>0，解得則函數f(x)在(?∞,?1)和令f′(x)<0，解得?1<

16.解：(1)由題意，得(0.010+0.020+a+0.020+0.005)×10=1.解得a=0.045．

(2)由題意，抽取的13人中，成績在[70,80)，[80,90)的學生人數分別為13×0.0450.045+0.020=9，

13×0.0200.045+0.020=4，則X的可能取值為0，1，2，3．

P(X=0)=C40X0123P4272272所以X的數學期望E(X)=0×4214317.解：(1)方案一中，中獎三次的概率為13中獎兩次的概率為13所以獲得代金券金額的期望為50×1方案二中，中獎三次的概率為C3中獎兩次的概率為C3所以獲得代金券金額的期望為70×1因為656(2)設事件A為“顧客選擇甲抽獎箱”，事件B為“顧客選擇乙抽獎箱”，事件C為“顧客選擇丙抽獎箱”，事件D為“抽取的獎券中獎”，由題意得PAPD|A=13，P=1PB|D所以已知該顧客抽取中獎，求該顧客選擇乙抽獎箱的概率3818.解：(1)∵當a=3時，f(x)=2x3?3x2+b，

f′(x)=6x2?6x=6x(x?1)，

∴當x<0或x>1時，f′(x)>0，當0<x<1時，f′(x)<0，

∴f(x)在x=0處取得極大值，在x=1處取得極小值，

即f(x)極大值=f(0)=b，f(x)極小值=f(1)=?1+b；

(2)∵f(x)=2x3?ax2+b，f′(x)=6x2?2ax=2x(3x?a)，

令f′(x)=0，解得x=0或x=a3，

當a>0時，則當x<0或x>a3時，f′(x)>0，

當0<x<a3時，f′(x)<0，

∴f(x)的單調增區間為(?∞,0)，(a3,+∞)，單調減區間為(0,a3)；

若a319.解：(1)若a=0，則f(x)=ex?ln(x+1)，x>?1，所以f′(x)=ex?1x+1，x>?1．

令?(x)=f′(x)，則?′(x)=ex+1(x+1)2>0在(?1,+∞)上恒成立，

所以?(x)在(?1,+∞)上單調遞增，即f′(x)在(?1,+∞)上單調遞增．

又f′(0)=0，

所以當?1<x<0時，f′(x)<0，f(x)在(?1,0)上單調遞減，

當x>0時，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調遞增，

所以當x=0時，函數f(x)取得極小值，f(0)=1，無極大值；

(2)證明：f(x)=ex+a?ln(x+1)?a，定義域為(?1