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常德市一中2025年上學期高一年級期中考試數學參考答案題號1234567891011答案BDDABCDCBCBCAC、12.13.14.2三、解答題：15．解：（1）由已知可得．（3分）因為為純虛數，所以，故．所以．（6分）（2）由（Ⅰ）可得，．（9分）即，，所以，．（12分）所以向量在向量上的投影向量為．（15分）16．解：（1）記圓柱底面的一條直徑為AB，取AB中點，連接．設圓柱的高為h，則，所以．（2分）所以圓柱的底面積為，側面積為，（4分）圓柱的表面積為．（6分）圓柱的體積為．（8分）（2）由（Ⅰ）知，圓柱的側面積（13分）當且僅當時取等號，即當時，圓柱的側面積最大，最大值為．（15分）17.解:（1）因為菱形的邊長為，，，，由向量的線性運算法則，可得，所以.（2）由（1）知，，可得，即，，即，所以.18.解:(1)取中點為，連接，在中，為中點，為中點，，在平行四邊形中，為的中點，，，四邊形為平行四邊形，面面，平面；(2)連接，相交于，連接，面，面面面，，，即存在點M，M為PD上靠近P點的三等分點.19.解:(1)，，，，又，，，,，(2)，，又，，設，，，，三角形的三個角均小于120，根據題意可得，又，，，．(3)由，，，由余弦定理可得，同理可得，，相加可得，又，所以，由于,所以又故，所以，故，且故，當且僅當時等號成立，又，所以，令，則

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