試題PAGE1試題河北省石家莊二中2023-2024學年高一下學期期中數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知i是虛數單位，復數，則的虛部為（

）A．1 B．2 C．i D．2．若為的邊的中點，則（

）A． B．C． D．3．在中，內角滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形4．下列命題中正確的是（

）A．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體為圓錐B．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行C．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體為棱臺D．各側面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐5．當復數z滿足時，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，滿足，，PA為球O的直徑，且，則點P到底面ABC的距離為（

）A．4 B． C． D．7．已知向量與夾角為銳角，且，任意，的最小值為，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知的三個內角A、B、C滿足，當的值最大時，的值為（

）A．2 B．1 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知i為虛數單位，以下說法正確的是（

）A．復數在復平面對應的點在第一象限B．若復數，滿足，則C．為純虛數，則實數D．復數z滿足，則10．下列說法中正確的是（

）A．向量，不能作為平面內所有向量的一組基底B．若平面向量，，則在上的投影向量是C．兩個非零向量，，若，則與垂直D．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實數的取值范圍為11．已知三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則下列選項正確的是（

）A．的取值范圍是B．若D是AC邊上的一點，且，，則的面積的最大值為C．若三角形是銳角三角形，則的取值范圍是D．若三角形是銳角三角形，BD平分交AC于點D，且，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．向量，，且，則．13．如圖，在正四棱錐中，，．從A拉一條細繩繞過側棱PB到達C點，則細繩的最短長度為．14．已知點在所在的平面內，則下列各結論正確的個數是．①若為的垂心，．則②若為邊長為2的正三角形，則的最小值為③若，則動點的軌跡經的外心④若為的重心，過點的直線分別與、交于、兩點，若，，則四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，滿足，，．(1)求的值；(2)求向量與的夾角的余弦值．16．如圖，正方體的棱長為，是的中點．(1)證明：平面；(2)設與交點為，求三棱錐的體積．17．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足．(1)求角；(2)若，，求的周長．18．（1）某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡角為的觀禮臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部B的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一水平面上，若國歌播放的時間約為50秒，升旗手應以約多大的速度勻速升旗？（2）為繪制海底地貌圖，測量海底兩點C，D間的距離，海底探測儀沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，C，D在同一個鉛垂平面內．海底探測儀測得，，，，同時測得海里．求C，D之間的距離．19．如圖，直角中，點M，N在斜邊BC上（M，N異于B，C，且N在M，C之間）.（1）若AM是角A的平分線，，且，求三角形ABC的面積；（2）已知，，，設.①若，求MN的長；②求面積的最小值.

參考答案1．【答案】A【詳解】，所以的虛部為.故選：A.2．【答案】B【詳解】解：因為為的邊的中點，所以，根據向量加法法則得，所以.故選：B3．【答案】B【詳解】，故，即，因為，所以，故為等腰三角形.故選：B4．【答案】B【詳解】對于A，直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體是圓錐，若以斜邊所在直線為旋轉軸，得到的是同底的兩個圓錐的組合體，故A錯誤.對于B，根據棱柱的定義可知，棱柱的上下底面互相平行，故B正確，對于C，如圖，有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體的側棱延長后有可能不相交于一點，所以有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺，C錯誤，對于D，如圖，三棱錐中，，滿足底面是等邊三角形，三個側面，，都是等腰三角形，但長不一定等于，即三條側棱不一定全相等，故D錯故選：B.5．【答案】B【詳解】設，復數滿足，所以，表示到點的距離為1，所以到原點的距離的最小值為，即的最小值是4.故選：B6．【答案】A【詳解】三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑且，球心是的中點，球半徑，過作平面，垂足是，滿足，，是中點，且，，點到底面的距離為．故選：A．7．【答案】D【詳解】已知，又任意，的最小值為，則的最小值3，記，則的最小值為3，即，即，又向量與夾角為銳角，則，即，即，即，則，又向量滿足，則，即，即，即.故選：D．8．【答案】C【詳解】因為，由正弦定理得，所以，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以當的值最大時，.故選：C.9．【答案】CD【詳解】對于A，復數在復平面對應的點為在虛軸上，故A錯誤，對于B，若，滿足，但不相等，故B錯誤，對于C，為純虛數，可得，可得，故C正確，對于D，由得，所以，故，D正確，故選：CD.10．【答案】ABC【詳解】A選項，向量，故，平行，不能作為平面內所有向量的一組基底，A正確；B選項，若平面向量，，則在上的投影向量為，B正確；C選項，兩個非零向量，，，兩邊平方得，解得，則與垂直，C正確；D選項，，，若與的夾角是銳角，故且與不同向共線，即且，解得且，D錯誤.故選：ABC11．【答案】AB【詳解】A選項，因為，所以，所以，即，由余弦定理得，即，又，所以，，因為，所以，所以，所以，故A正確；B選項，因為，所以，所以，又，所以，即，當且僅當，即時，等號成立，所以，即的面積的最大值為，故B正確；C選項，，因為，所以，所以，所以，所以，故C錯誤；D選項，由題意得：，由角平分線以及面積公式得，化簡得，所以，所以，當且僅當，即時取等號，此時，而，所以，與三角形是銳角三角形矛盾，所以等號不成立，故D錯誤；故選：AB12．【答案】/【詳解】，由可得，解得，故答案為：13．【答案】/【詳解】如圖，將側面展開在一個平面，由題意，在中，，所以在中，，由余弦定理得，所以，即細繩的最短長度為.故答案為：.14．【答案】①③④【詳解】對于①，為的垂心，則，又，所以，所以①正確；對于②，取的中點，連接，以為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，

則，，，設，則，故當，時，取得最小值，最小值為，所以②錯誤；對于③，，，所以，如圖，設是的中點，則，故，即，故則動點的軌跡經過的外心，所以③正確；

對于④，

由，，三點共線，設，由，，所以，又，所以，所以，所以，即，所以④正確.故答案為：①③④.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，，，得，所以；（2），所以.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖：連接交于點，連接，在正方體中，底面為正方形，所以為的中點，又因為是的中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）正方體的棱長為，則，三棱錐的體積即為三棱錐的體積，底面，平面，所以，由正方體的對稱性易知是的中點，則，因為在正方體中，，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為點到平面的距離，在正方形中，，平面，平面，所以，，所以平面，所以點到平面的距離為，即三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為：.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得，即，整理得，由余弦定理得，又，所以；（2）因為，，，所以，因為，所以，，所以的周長為.18．【答案】（1）米秒；（2）海里【詳解】（1）在中，，，，由正弦定理，得；在中，（米）．所以升旗速度（米秒），所以升旗手應以約米秒的速度勻速升旗；（2）在中