2023—2024學年度高二6月聯考數學試題1．答卷前，考生務必將自己的姓名?考場號?座位號?準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間為120分鐘，滿分150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，若，則實數（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根據可得直線l的方向向量與平面的法向量平行，然后根據空間向量的平行關系可求的值.【詳解】因為，所以直線l的方向向量與平面的法向量平行，所以，解得；故選：C.2.某學校4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只能去1個小區，且每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法種數為（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據分步乘法計數原理，先從4人中選出2人作為一組，有種方法，再與另外2人一起進行排列，有種方法，相乘即可得到答案.【詳解】4名學生分到3個小區，每名同學只能去1個小區，且每個小區至少安排1名同學，∴4名同學不同的分組方法只能為2，1，1，∴不同的安排方法有(種).故選：D.3.已知等比數列，公比，則（）A81B.27C.32D.16【答案】A【解析】【分析】根據等比數列基本量的計算即可求解.【詳解】根據可得，所以或，若，則不符合要求，若，則符合要求，故，故選：A4.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為，則密碼被破譯的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】密碼被破譯分三種情況：甲破譯出密碼乙未破譯，乙破譯出密碼甲未破譯，甲乙都破譯出密碼，根據相互獨立事件的概率和公式可求解出答案.【詳解】設“甲獨立地破譯一份密碼”事件A，“乙獨立地破譯一份密碼”為事件B，則，，，，設“密碼被破譯”為事件C，則，故選：B.【點睛】本題以實際問題為背景考查相互獨立事件的概念及其發生的概率的計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.5.如圖，是雙曲線與橢圓的公共焦點，點是在第一象限的公共點，若，則的離心率是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據橢圓和雙曲線的定義和離心率公式即可得到答案.【詳解】由題意知，，∵，∴，∴，∵，∴的離心率是，故選：C.6.哈雷彗星大約每76年環繞太陽一周，因英國天文學家哈雷首先測定其軌道數據并成功預言回歸時間而得名.已知哈雷是1682年觀測到這顆彗星，則人們最有可能觀測到這顆彗星的時間為（）A.2041年～2042年B.2061年～2062年C.2081年～2082年D.2101年～2102年【答案】B【解析】【分析】構造等差數列求出其通項公式，給賦值即可．【詳解】由題意，可將哈雷彗星的回歸時間構造成一個首項是1682，公差為76的等差數列，則等差數列的通項公式為，，，可預測哈雷彗星在本世紀回歸的年份為2062年．故選：B．7.已知正方體的棱長為3，分別在上，且，則（）A.3B.C.D.4【答案】A【解析】【分析】根據題意，建立空間直角坐標系，結合條件求得的坐標，再利用空間向量的模的坐標表示即可得解.【詳解】依題意，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，則，因為，所以，所以，故.故選：A..8.若則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先化簡，構造函數，求導、研究單調性、極值、最值比較大小即可.【詳解】由題意知：，令，，由，解得，在，在，所以在上單調遞增；在上單調遞減.因為，所以，即，也就是，又，因為在上僅有一個極大值，所以，即最大，所以.故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列結論正確的是（）A.若隨機變量服從二項分布，則B.若隨機變量服從正態分布，則C.若隨機變量服從兩點分布，，則D.若隨機變量的方差，則【答案】AB【解析】【分析】根據二項分布的概率，正態曲線的對稱性，兩點分布的期望，方差的性質，即可分別求解.【詳解】對于A，若隨機變量服從二項分布，則，故選項A正確.對于B，若隨機變量服從正態分布，則，故，故選項B正確.對于C，若，，，故選項C錯誤.對于D，根據方差的計算公式，，則，故選項D錯誤.故選：AB.10.已知點在圓上，點，，則（）A.存在點，使得B.C.存在點，使得D.【答案】ABD【解析】【分析】將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，從而判斷A、B，設，若，推出恒成立，即可判斷C、D.【詳解】圓即，圓心，半徑，又，所以，因為點在圓上，所以，所以存在點，使得，故A對．因為，所以點在圓外，又，點在圓內，所以當與圓相切時，取最大值，此時，所以，故B對．對于D，設，若，又點在圓上，一定成立，故D對，C錯.故選：ABD．11.已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列，以下說法正確的是（）A.B.當時，C.當時，不是數列中的項D.若是數列中的項，則的值可能為7【答案】ABD【解析】【分析】求出通項判斷A；求出公差、通項判斷BC；探討數列與的下標關系判斷D.【詳解】對于A，由題意得，A正確；對于B，新數列的首項為2，公差為2，故，B正確；對于C，由B選項知，令，則，即是數列的第8項，C錯誤；對于D，插入個數，則，則等差數列中的項在新的等差數列中對應的下標是以1為首項，為公差的等差數列，于是，而是數列的項，令，當時，，D正確.故選：ABD12.設是三次函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為三次函數的“拐點”．經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”且“拐點”就是三次函數圖象的對稱中心．設函數，則以下說法正確的是（）A.的拐點為B.有極值點，則C.過的拐點有三條切線D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】A選項，二次求導，解方程，求出拐點為；B選項，有變號零點，由根的判別式得到不等式，得到B正確；C選項，舉出反例，求出過的拐點只有1條切線；D選項，二次求導得到函數的拐點，從而得到對稱中心，，得到D正確.【詳解】A選項，，，令，解得，故的拐點為，A正確；B選項，有極值點，則有變號零點，故，故，B正確；C選項，不妨設，此時，拐點為，，切點為，，故切線方程為，將代入得，，故過的拐點有1條切線，C錯誤；D選項，，時，，，，令得，，則，故拐點為，則關于點對稱，所以，D正確故選：ABD【點睛】方法點睛：三次函數是近兩年高考常考考點，需要對三次函數圖象理解到位，由于三次函數的導函數為二次函數，故常常利用二次函數的性質來研究三次函數的性質比如三次函數零點問題，極值點情況等.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在的展開式中，的系數為_________.【答案】【解析】【分析】根據題意結合二項式定理分析可得，進而可得結果.【詳解】因為的展開式的通項為，令，解得，所以的系數為.故答案為：.14.若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】函數在區間上單調遞增，則在上恒成立，然后利用分離參數法即可得出答案.【詳解】解：，因為函數在區間上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又在上遞減，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.15.已知數列為正項等比數列，且，則的最小值為______.【答案】12【解析】【分析】利用等比數列性質得，結合已知得，利用基本不等式求解即可.【詳解】由于數列為正項等比數列，所以，因此，當且僅當即時，等號成立，故的最小值為12.故答案為：1216.已知點在拋物線上，過作的準線的垂線，垂足為，點為的焦點．若，點的橫坐標為1，則_____．【答案】【解析】【分析】根據題意，聯立方程組求得，得到直線的傾斜角為，結合斜率公式，列出方程，即可求解.【詳解】如圖所示，不妨設點在第一象限，因為點的橫坐標為，聯立方程組，解得，即，又由，可得軸，因為，可得，所以直線的傾斜角為，因為拋物線的焦點為，則，整理得且，解得，即，解得或（舍去）.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的零點個數．【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）先求切點，再利用導數求切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程.（2）求導，分析函數的單調性，根據函數的極值判斷函數零點的個數.【小問1詳解】函數，可得，所以且，即切線的斜率為且切點坐標為，所以切線方程為，即．【小問2詳解】由（1）知，，當時，單調遞減當時，單調遞增，所以當時，函數取得極小值，也為最小值，，所以，所以函數沒有零點，即函數的零點個數為0．18.2024年1月4日，教育部在京召開全國“雙減”工作視頻調度會，會議要求進一步提高雙減政治站位，將“雙減”工作作為重中之重，堅定不移推進，成為受老師和家長關注的重要話題．某學校為了解家長對雙減工作的滿意程度進行問卷調查（評價結果僅有“滿意”、“不滿意”），從所有參與評價的對象中隨機抽取120人進行調查，部分數據如表所示（單位：人）：滿意不滿意合計男性1050女性60合計120（1）請將列聯表補充完整，試根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“對雙減工作滿意程度的評價與性別有關”？（2）若將頻率視為概率，從所有給出“滿意”的家長中隨機抽取3人，用隨機變量表示被抽到的男性家長的人數，求的分布列；（3）在抽出的120人中，從給出“滿意”的家長中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“不滿意”的對象中抽取人．現從這人中，隨機抽出2人，用隨機變量表示被抽到的給出“滿意”的女性家長的人數．若隨機變量的數學期望不小于1，求的最大值．參考公式：，其中．參考數據：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯表見解析，無關（2）分布列見解析；（3）2【解析】【分析】（1）先完善列聯表，計算出，結合臨界值表即可求解；（2）先求出抽到男性家長的概率，判斷出隨機變量服從二項分布，再由二項分布的概率公式列出分布列即可；（3）先由分層抽樣求出滿意的家長中男性家長和女性家長的人數，得出的取值為0，1，2，分別求出對應概率，求出期望，解不等式即可求解.【小問1詳解】解：根據題意，得到列聯表如下：滿意不滿意合計男性401050女性601070合計10020120零假設：“對雙減工作滿意程度的評價與性別無關”，所以沒有充分證據證明零假設不成立，所以沒有90%的把握認為“對雙減工作滿意程度的評價與性別有關”.【小問2詳解】解：從所有給出“滿意”的家長中隨機抽取1人為男性的概率為，且各次抽取之間相互獨立，所以隨機變量，所以，，故隨機變量的分布列為：0123【小問3詳解】解：從給出“滿意”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，其中男性有人，女性有人，所以隨機變量的取值為，可得，則隨機變量的數學期望，則，解得，又因為，故的最大值為2.19.已知等差數列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根據等差數列通項公式及求和公式列式計算可得結果；（2）根據分組求和法、等差數列求和公式及等比數列求和公式可得結果.【小問1詳解】設等差數列的公差為，由題意，，解得，所以，故數列的通項公式【小問2詳解】由（1）知，，所以.故數列的前項和.20.如圖，在四面體中，平面，點為棱的中點，，．（1）證明：；（2）求平面和平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證平面，再根據線面垂直證明線線垂直.（2）根據（1）的結論，建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦.【小問1詳解】平面，又平面，．，．又平面，平面．又平面，．【小問2詳解】由題及（1）可知兩兩相互垂直，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則根據題意可得：，，設平面和平面的法向量分別為，則，.取，平面和平面夾角的余弦值為：．21.已知橢圓方程為，離心率為且過點．（1）求橢圓方程；（2）過左焦點的直線交橢圓于兩點，是否存在實數，使恒成立？若存在，求此時的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，3【解析】【分析】（1）根據離心率和頂點坐標直接求的值，得橢圓方程；（2）分直線斜率為零和不是零討論，當直線斜率不為零時，設直線方程為，聯立方程組，借助韋達定理，進行向量運算求解.【小問1詳解】由題，，，所以，橢圓的標準方程為．【小問2詳解】由（1）知，．當直線斜率為零時，不妨設，則，此時存在，使成立，當直線斜率不為零時，設直線方程為，聯立方程組消去得，