第1章函數、極限與連續

本章知識結構導圖

*函數的概念與性質

函數*反函數與復合函數

A常用的經濟函數

一、教學要求

1.在初等數學基礎上，加深對函數概念的理解和對函數幾何特性（單調性、奇偶性、周期性、

有界性）的了解。

2.理解反函數、復合函數的定義，會求函數的反函數，會進行函數的復合與分解；了解基本

初等函數的定義域、圖形與性質。

3.掌握常用經濟函數的含義、數學表達，會建立簡單經濟問題的數學模型。

4.理解數列極限、函數極限的描述性定義和性質。

5.理解無窮小的概念和基本性質，會利用無窮小的性質計算極限；理解高階無窮小、等價無

窮小的概念，會比較無窮小。

6.掌握極限的四則運算法則；了解復合函數極限運算法則；熟練掌握極限計算。

7.了解極限存在的兩個準則；熟練掌握利用兩個重要極限及無窮小等價替換定理計算極限。

8.理解函數連續與間斷的概念，會判斷函數間斷點的類型；理解函數的連續性；了解閉區間

上連續函數的性質（最值定理、介值定理、零點定理）。

二、教學重難點

1.教學重點：常用的經濟函數、無窮小的比較、極限運算法則、兩個重要極限、函數連續與

間斷的概念、函數的連續性

2.教學難點：反函數與復合函數、數列與函數的極限、極限的存在準則、閉區間上連續函數

的性質

三、教學內容及課時劃分

1.1函數的概念和性質2課時

1.2反函數與復合函數2課時

1.3常用經濟函數介紹2課時

1.4數列、函數的極限2課時

1.5無窮小與無窮大1課時

1.6極限運算法則2課時

1.7極限存在準則與兩個重要極限3課時

1.8函數的連續性2課時

習題課2課時

計18課時

1.1函數的概念和性質

教學目的：理解函數的概念、函數的基本性質

教學重難點：

1、教學重點：鄰域的概念、函數的基本性質

2.教學難點：函數的有界性

教學課時：2

教學過程：

函數表示了變量之間的相依關系，是微積分的研究對象。本章從討論函數的概念開始,

通過對一般函數特性的概括，引出初等函數，為學習“經濟數學”打下基礎.

一'區間與鄰域

區間分為有限區間與無窮區間.

有限區間有四個：

開區間(a,8)={x[a<x<。};

閉區間=;

半開半閉區間[a,8)={x[a<x<Z?};

(a,8]={x|aC};

無窮區間有五個：[。,+0。)={%卜2°}；

(a,+oo)={x|x>a}；

(-oo,a]=1x|x<?};

(-oo,a)={x|x<a}；

(-00,400)=/?.

鄰域是一種特殊的區間，是后續學習函數極限、微分、積分等知識時常用一個重要概念。

定義1.1設aeH,SeH且b>0,則集合<k―a|<s}稱為點a的鄰域,

記作。(a@),也即U(a?)=(a—5,a+S),這是以點。為中心，區間長度為2^的開區

間，正數3叫做鄰域的半徑.在數軸上，U(a,5)表示到點。的距離小于3的所有點的集合。

集合0<|x—稱為點a的去心5鄰域，記作6(a?),也即

0

U(a,b)=(a-5,a)3M+3).

另外，點。的左5鄰域定義為LT(。,5)=(。一5,。],點。的右5鄰域定義為

U+(a?)=[〃M+b).

當不必指明鄰域半徑時，上述記號中的正數b可省略，即鄰域、空心鄰域、左鄰域和右

o

鄰域可簡記為U(a),u(a),。-(。)和。+(。).

【例1】利用區間表示不等式/+%-2>0的全部解.

【解】先對不等式左端分解因式，原不等式為

(x+2)(x-l)>0,

則x>1或x<-2.故

卜尸+x-2>。｝=(-8,-2)(l,+oo).

二、函數的概念

1.函數的定義

定義1.2設x,y是兩個變量，。是非空實數集，如果對于任意的xe。，按照某個對

應法則了,都有唯一的一個實數y與之對應，則稱這個對應法則/是定義在。上的函數。

其中x叫做自變量，y叫做因變量，x的取值范圍。叫做這個函數的定義域，通常將

定義域記為。廣當x的取遍。/內的所有實數時，對應的函數值y的全體

嗎=｛y|y=/(*)，xe。｝

叫做這個函數的值域.

習慣上常用y=/(幻表示函數。

2.函數的幾點說明

(1)函數的兩個要素

定義域與對應法則是函數的兩個要素.只有兩個函數具有相同的定義域和相同的對應

法則時，它們才是相同的函數，否則就不是相同函數.

(2)函數的定義域

在求函數的自然定義域時應遵守以下原則：

(1)偶次方根下被開方數非負；

(2)分式中分母不能為零；

(3)對數中的真數大于零；

冗

(4)三角函數》=tan犬中工工人乃+一,y=cotx中xwkr;

2

⑸反三角函數y=arcsinx與y=arccosx中國41;

【例2】求函數y=的定義域.

ln(2-x)

【解】欲使函數有意義，則應有

"x+l>0fx>-l

<2-x>0即<x<2

ln(2-x)w0x1

故所求函數的定義域為力=［一1,1)(1,2).

3.函數的表示方法

函數的表示方法主要有三種：表格法、圖形法和解析法(公式法).

4.幾種特殊的函數

..x,x>0—

(1)絕對值函數y=W={,Df=(-^o,-KO),Wf=[0,+oo),其圖形如圖1.1

—x,x<0

(a)

l,x>0

(2)符號函數丁=58舊=<0,x=0,2=尺叼={1,0,—1},x=sgnx-W，其圖形

—l,x<0

如圖1.1(b).

⑶取整函數y=[x]，表示不大于x的最大整

數.[5.數]=5,[-7.8]=-8,Df=R,Wf=Z.

其圖形如圖1.1(c).

觀察這三個函數，易知在定義域的不同部分，函數分別用不同的算式表示。于是可給出

分段函數的概念。

5.分段函數

把定義域分成若干個區間，在不同的區間內用不同的數學算式表示的函數稱為分段函

數.

三、函數的幾何特性

研究函數的目的就是為了了解它所具有的性質，以便掌握它的變化規律.

1.單調性

定義1.3設函數y=/(x)定義域為O,，區間/U。/.如果對于區間/內的任何兩點

再和々，當當<》2，總有/(%)</(%2)(或/(%)>/(%2))，則稱函數)=/(X)在區

間/內單調遞增(或單調遞減)，/叫做單調增區間(或單調減區間).

［例3］證明/(X)=V在(-00,+8)內是單調遞增的.

［證明］任取X］,工2e(T?,+00)且玉<X2，則有

339(1V37

/(%2)-/(X)=E—X；=(*2—%)(石+*2*1+X；)=(工2—%)1%2+2%|I+；片>0，

即/U2)>/(王)，也就是說/(X)=■?在(-00,4-00)內單調遞增的?

函數的單調性與自變量取值范圍有關.例如函數y=F在區間(-8,())內是單調遞減

的，在(0,+8)內是單調遞增的，但在(-8,+00)內不單調.

2.奇偶性

定義1.4設函數y=/(x)的定義域。/關于原點對稱.如果對于任意xeD/,恒有

f(-x)=-f(x),則稱y=/(x)為奇函數；如果對任意的xe。/,恒有/(—x)=/(x),

則稱y=/(%)為偶函數.

例如y=x?在(—8,+oo)內是偶函數；y=/在(一8,+8)內是奇函數.而y=xW

是非奇非偶函數。

顯然偶函數的圖形關于y軸對稱；奇函數的圖形關于坐標原點對稱(如圖1.2所示).

圖1.2

【例4］判定函數/(x)=巴F與函數g(x)=的奇偶性.

【解】因為/(—幻=色+《=/(幻，所以/(X)在定義域(一00,+8)內是偶函數；

又因為g(-x)=e26_=_三2，_=_gQ),所以g(x)在定義域(-8,+8)內是奇函

數.

思考：任意一個函數都可表示為偶函數與奇函數之和？

3.周期性

定義1.5設y=/(x)的定義域為。廣如果存在非零常數T,使得對任意的

x&Df,x+TeDf,都有

f(x+T)=f(x),

則稱y=/(x)為周期函數，稱T為函數y=f(x)的一個周期.

通常所說的周期是指周期函數的最小正周期，同樣記為T.

例如正弦函數y=sinx中，±2肛±4肛±6肛…都是它的周期，其最小正周期

T=24.

4.有界性

引子：丁=5抽》在(一00,+8)上的圖像介于水平線丁=-1與丁=1之間，故其為有界函

數.

定義1.6設函數y=f(x)的定義域為。/，數集Xu.如果存在正數M,使得對

所有的xeX,都有

則稱函數y=f(x)在X上有界或稱y=/(x)是X上的有界函數.否則稱y=f(x)在

X上無界，y=/(x)也就稱為X上的無界函數.

顯然，如果函數y=/(x)在X上有界，則存在無窮多個這樣的使得，(x)區M.

【例5】函數)，=」在(0,田)內無界，而在［l,+oo］內有界.可見函數的有界性同樣與

自變量的取值范圍有關.

又如：

y-e',|eA|<1,有界

四、作業

習題1.12(2)(4)；4(1)(5)(6)；5(2)(3)

1.2反函數與復合函數

教學目的：1.理解反函數、復合函數的定義，會求函數的反函數，會進行函數的復合與分解.

2.了解基本初等函數定義域、圖形與性質

教學重難點：

1、教學重點：復合函數的概念

2、教學難點：復合函數的分解

教學課時：2

教學過程：

一、反函數

定義1.7設函數y=/(x)的定義域為0,值域為嗎.，如果對嗎■中的任何一個實數

y,有唯一的一個xe使/(x)=y成立.那么把y看成自變量，x看成因變量，由

函數的定義，x就成為y的函數，稱這個函數為y=/(x)的反函數，記x=/T(y),其定

義域是W/,值域是。廣

按照習慣，函數y=/(x)的反函數就寫成：

將y=/(X)與其反函數y=/T(x)的圖形畫在同一坐標平面上，如圖1.3所示.

定理L1(反函數存在定理)單調函數y=/(x)必存在單調的反函數，且具有與

y=/(x)相同的單調性.

注：求解y=/(x)的反函數步驟：

(1)求出y=/(x)的值域叼；

(2)用y表示x,即寫出x=/(y)；

(3)對換x與y,得到反函數y=/T(X)以及其定義域叼.

【例1】求y=l+ln(x-l)的反函數.

【解】因為y=l+ln(x-l)的定義域為{x|x>l},值域為R.由y=l+ln(x-l),得

x-1=ey~'

即x=\+ey~'

因此，所求的反函數為y=l+/T,xeR

二、三角函數與反三角函數

1.三角函數

中學階段，同學們已經學習過了=411乂丁=(：05%y=1211%這三種三角函數，熟悉它

們的定義域、圖形和性質。下面再介紹幾種三家函數.

(1)余切函數y=cotx

y=cotx=—!—的定義域為女￡wz},以乃為周期，為奇函數，且在其

tanx

一個周期內是單調遞減的.(如圖1.4)

(2)正割函數y=secx

y=secx=—!—的定義域為+工，％ez|,以2萬為周期，且為偶函數

cosx［2J

（3）余割函數y=csc尤

）=csc冗=----的定義域為{x|xwZ},以2T為周期，且為奇函數.

sinx

2.反三角函數

（1）反正弦函數y=arcsinx

TTTT

正弦函數^=5皿尤在區間-'，不上單調增加，它的反函數稱為反正弦函數，記為

y=arcsinx,其定義域為［-1,1］,值域為-g%，在其定義域上單調增加.（如圖1.5）

（2）反余弦函數y=arccosx

余弦函數丁=（:。$%在［0,乃］上單調增加，它的反函數稱為反余弦函數，記為

y=arccosx,其定義域為［一1」］,值域為［0,乃］（如圖1.6）.

（3）反正切函數y=arctanx

正切函數丁=1211*在（-上單調增加，它的反函數稱為反正切函數，記為

y=arctanx,其定義域為（一8,+8）,值域為（一^,^）（如圖1.7）.

（4）反余切函數y=arccotx

余切函數y=cotx在（0,4）上單調遞增，它的反函數稱為反余切函數，記為

y=arccotx,其定義域為（一8,+8）,值域為（0,乃）（如圖1.8）.

TTJT

注：正弦函數丁=4皿在除-'，萬外其他單調區間上也具有反函數，只是此時

的反函數不稱為反正弦函數.顯然，余弦函數、正切函數、余切函數也如此.

圖1.8

【例2】求下列各式的值

(3)cos(arcsing)

(1)arcsin1(2)arccos(-1)

7C

【解】(1)arcsin1=—

2

(2)arccos(-1)=%

小/-1、兀節>

(3)cos(arcsin—)=cos—=——

262

三'復合函數

【定義1.8］設函數y=/(“)，定義域為。/；“=g(x),定義域為2,值域為此.

如果D產0,那么稱函數

y=/［g(x)］，xe{x|g(x)w。/

為由函數y=/Q)和“=g(x)構成的復合函數，其中x為自變量，y為因變量，〃稱為中

間變量.{x|g(x)w￡>/}就是復合函數的定義域.習慣上稱函數"=g(x)為內函數，函數

y=/(“)為外函數.

【例3】設y=ln“，u-Vl+v,v=sinx,構造復合函數并求其定義域.

【解】因y=ln”的定義域為(0,+8),〃=，芮的定義域為［—1,+8),值域為

［0,+co］,丫=5皿%的定義域為(-00,+8),值域為［-11］.由于［0,+8|0(0,+8)。0，

+故復合函數為y=荷7,定義域為{x|xw2版■一券入2}.

【例4】分析下列函數由哪些簡單函數復合而成，并求復合函數的定義域.

(1)y=sin(2+?y(2)>；=sin2(2+77)(3)y=earctan(l^2)

【解】(1)y=sin(2+6了由函數y=sin〃,〃=u2,y=2+J嚏復合而成，定義域為

{x|x>0}；

(2)y=sin2(2+J1)由函數y="2,〃=sinv,u=2+五復合而成，定義域為

{%|x>0}；

(3)卜=6^。+凸由函數丁="，，"=2"12儂/=1+%2復合而成，定義域為

(-00,+00).

四、基本初等函數與初等函數

1.基本初等函數

我們接觸到的函數大部分都是由幾種最常見、最基本的函數經過一定的運算而得到，這

幾種函數就是我們已經很熟悉的函數，它們是

常值函數y=C(。為常數)

幕函數y=x"(〃為常數)

指數函數丁=優(。為常數，。＞0且

對數函數y=log“x(。為常數，。＞0且awl)

三角函數y=sinx＞y--cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y-escx

反三角函數y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx

這六種函數統稱為基本初等函數.

作業：請將基本初等函數的名稱、表達式、定義域、圖形及性質列表表示出來.

2.初等函數

初等函數是由基本初等函數經過有限次的四則運算及有限次復合運算所得到的，并可以

用一個式子表示的函數.

注：一般來說，分段函數不是初等函數.但絕對值函數例外，因為y=|x|又可表示為y=

所以絕對值函數是初等函數.

函數y=x'的一般形式為稱形如［/1(切冢”的函數為幕指函數，其中/(無)，

g(x)均為初等函數，且/(x)＞0,由恒等式

"(可⑺

因此，基指函數是初等函數.例如卜皿力8"。＞0),(1+16)*。＞0毗＜—1).等都是初等函

數.

五、作業

習題1.21(4)；2(1)(5)(6)；3(2)；4(1)(4).

1.3常用的經濟函數

教學目的：掌握常用經濟函數的含義、數學表達，會建立簡單實際問題的數學模型

教學重難點：

1、教學重點：常用的經濟函數

2、教學難點：建立簡單實際問題的數學模型

教學課時：2

教學過程：

在經濟問題中，首先分析出問題的變量，然后建立變量之間的函數關系，即建立數學模

型，最后進行求解，達到對實際問題解決的目的.下面介紹幾個常用的經濟函數.

一、單利與復利公式

1.單利公式

單利是指僅對本金計息，利息不計息的增值方式.

設現有本金，每期利率為「，期數為〃，則

第一期末的本利和為

A—+A^)r=4(1+r)

第二期末的本利和為

A2=4(1+廠)+A)r=&(1+2廠)

第〃期末的本利和為

A=A()(l+nr)

2.復利公式

設現有本金4。，每期利率為r,期數為九若每期結算一次，則第一期末的本利和為：

A=4+4r=4(i+「)，

將本利和A再存入銀行，第二期末的本利和為：

4=4+4r=A(I+4，

再把本利和存入銀行，如此反復，第1期末的本利和為：

A=4(1+〃)'，

例如設A0為本金，按年為期，年利率為R,則第〃年末的本利和為：

4=4(1+&".

二、需求函數與供給函數

1.需求函數

商品的需求量是該商品價格的函數，稱為需求函數.用Q〃表示對商品的需求量，P

表示商品的價格，則需示函數為：

QD=QD(P)＞

鑒于實際情況，自變量P,因變量Q。都取非負值.

一般地，需求函數是價格的遞減函數.在直角坐標系中作出它的圖形稱為需求曲線.

實際中，常用以下函數來近似表示需求函數：

線性需求函數：QD=b—aP,其中。＞0,。＞0

基函數需求函數：Q0=ZP-“，其中k＞0,。＞0

指數需求函數：QD=ae-如，其中。＞0,力＞0

需求函數Qo=Q0(P)的反函數，稱為價格函數，記作：

P=P(QD)，

也反映商品的需求量與價格的關系，有時也稱為需求函數.

2.供給函數

商品的供給量是該商品價格的函數，稱為供給函數.用表示對商品的需求量，P

表示商品的價格，則需示函數為：

QS=QS(P)，

鑒于實際情況，自變量P,因變量都取非負值.

一般地,商品供給函數是價格的遞增函數.在直角坐標系中作出它的圖形稱為供給曲線.

實際中，常用以下函數來近似表示供給函數：

線性函數Qs=aP—b，其中。＞0*＞0

基函數。5=人尸，其中k＞°，。＞0

指數函數。5=屐"，其中。＞0力＞0

將需求曲線和供給曲線畫在同一坐標系中(如圖1.9).由于需求函數是遞減函數，供

給函數是遞增函數，它們的圖形必相交于一點E(Q*,P"),該點叫做均衡點，該點對應的

價格P*就是供、需平衡的價格，也叫均衡價格；這一點所對應的需求量或供給量Q*就叫做

均衡需求量或均衡供給量.QD=以稱為均衡條件.

［例1］某商品每天的需求函數與供給函數分別為

Qo=128/2,Qs=；p2

試求市場達到供需平衡時的均衡價格和均衡需求量.

【解】由均衡條件QD=2,得128P2=(產

解得p=p*=4

從而Q=Q*=8.

故市場供需均衡時的均衡價格為4單位，均衡需求量為8個單位.

三、成本函數與平均成本函數

1.成本函數

成本是指生產某種一定數量產品需要的費用，它包括固定成本和可變成本.

如果記總成本為TC,固定成本為FC,可變成本為VC,設。為產品數量，那么總成

本函數

TC(0=FC+VC(0

其中尸c?o.顯然成本函數是單調增加函數，它隨產量的增加而增加.

2.平均成本函數

平均成本是指生產單位產品所花費的成本，記為AC,設。為產品數量，則平均成本

函數

=續L二+還

QQQ

其中土稱為平均不變成本，記為AFC；匕稱為平均可變成本，記為AVC.因此，有

QQ

AC^AFC+AVC

四'收益函數與利潤函數

1.收益函數

生產者銷售一定數量的產品或勞務所獲得的全部收入，稱為總收益，記為77?.生產者

出售一定數量的產品時,單位產品的平均收入，即單位產品的平均售價，稱為平均收益,記為

AR.

如果記TR為總收益，AR為平均收益，Q為銷售量,則TR,AR都是。的函數

TR=TR(Q),=

其中TR,。取正值.

如果產品的銷售價格P保持不變，銷售量為0,則

TR(Q)=PQ,A/?=P

2.利潤函數

利潤是指收益與成本之差，記為萬，乃是銷售量。的函數，則有

乃(0)=77?(0)—TC(0)

利潤函數萬(Q)可能會出現下列三種情形：

(1)〃(Q)=77?(Q)—TC(Q)>(),表示有盈余；

(2)%(Q)=T7?(Q)-TC(Q)<0,表示出現虧損；

(3)4(Q)=77?(Q)—TC(Q)=O,表示盈虧平衡.

我們把盈虧平衡時的產量(銷量)&稱為盈虧平衡點(又稱為保本點).盈虧平衡點

在分析企業經營管理、產品定價和生產決策時具有重要意義.

【例2】設每月生產某種商品Q件時的總成本為：TC(Q)=20+2Q+0.5Q2(萬元)，

每售出一件該商品時的收入是20萬元.

(1)求總利潤函數和平均利潤函數.

(2)求每月生產20件(并售出)的總利潤和平均利潤.

【解】(1)由題意銷售價格尸為2(),故總收益函數77?(。)=200,

又總成本函數TC(Q)=20+2Q+0.5Q2,

故總利潤函數萬(Q)=77?(Q)-7r(Q)=202—(20+2Q+0.5Q?)

=?0.502+182-20

平均利潤函數3(Q)=2詈=—0.5。一號+18

(2)由(1)當。=20件時，該商品的總利潤》(20)=-0.5x2()2+18x20-20=140(萬元)

平均利潤為：3(20)=變迎=—=7(萬元).

2020

［例3］某廠生產一種產品，據調查其需求函數為x=-9()0P+45000,生產該產品

的固定成本是270000元，而單位產品的變動成本為10元，為獲得最大利潤，出廠價格應

為多少？

【解】成本函數TC(Q)=27000()+10。，需求函數為Q=-90()P+45000

于是TC(P)=-9000P+720000

收益函數77?(P)=PQ=-900P2+45000P

利潤函數萬(P)=77?(P)—TC(P)=-900(02—60P+800)

=-900(P-30)2+90000

當P=30時，取得最大利潤90000元

所以該產品的出廠價應定為30元.

五、作業

習題1.31；3；4；5；6

1.4數列、函數的極限

教學目的：了解中國古代的極限思想；理解數列極限、函數極限的描述性定義和性質

教學重難點：

1、教學重點：數列極限、函數極限的描述性定義

2、教學難點：數列極限的性質解釋

教學課時：2

教學過程：

一、中國古代數學家的極限思想

1.劉徽的割圓術

“割圓術”就是用圓的內接正六邊形、正十二邊形、…、正3?2”邊形去逼近圓，即用

正多邊形的面積（周長）代替圓面積（周長）（如圖1.10）.

隨著正多邊形邊數的增加，正多邊形的面積（周長）越來越接近于圓面積（周長）.如

果設正六邊形、正十二邊形、……、正邊形的面積分別為號，如此下

3-2”S2>S3,…，S“，

去，就構成一個無窮數列

S1,S3,…，S“，…

S2,

n2

其中Sn=3-2-'Rsin-^—.隨著內接正多邊形的邊數的增加，正多邊形面積

SSNiRZsindi也越來越趨向于一個穩定的值，這個穩定值就是圓的面積

"3.2'1

S=TTR2.

同樣若設正六邊形，正十二邊形，…，正3.2"邊形的周長分別為G，。2,G，…，C"，

于是得另一數列

C｝,C2,C3,…,Cn)…

其中G=3x2/ixRxsin—隨著內接正多邊形的邊數(這里為32")的增加，正多

3x2"

邊形周長G=3xxRxsin——,也越來越趨向于一個穩定的值，這個穩定值就是圓

3x2"

的周長C=2%R.

2.截杖問題

一尺之梗，日取其半，萬世不竭.

1111

一，一，—，，~~,

2482"

這是一個無窮數列，通項為工，當〃無限增大時，工會無限地變小，并且無限地接近常

2"2"

數0.“萬世不竭”表示的意思是，雖然每次取下的長度越來越小，但永遠不等于0.

二'數列的極限

1.數列極限的定義

在“割圓術”和“截杖問題”中，均涉及到對于一個無窮數列，當項數〃無限增大時，

通項的變化情況.

當〃無限增大時，

數列加，S2>S3,…，S“，…的通項5“=321/?25皿_三7無限趨近于5=4尺2；

I%。""Qn-1

數列G,C2,G,…，C?，…的通項C“=3x2"QRxsin——-無限趨近于

3x2

C=2JIR；

數列,的通項為無限趨近于0.

2482"2"

下面再看幾個數列｛X?｝的通項X,,在〃無限增大時的變化趨勢：

(1)數列1」,—其通項.,隨〃的增大而逐漸減小，越來越趨近于0；

234nn

1934nn

(2)數列一,一二,一,…,」一八??，其通項x.=——隨〃的增大而增大，越來越趨近

2345n+\n+1

于1；

(3)數列1,2,3,4,…,“，…，其通項七=〃隨〃的增大而增大,且無限增大；

(4)數列L—…，aL,…，其通項x“=°2Y_隨著〃的變化在o的兩側

234nn

跳動，并隨著〃的增大而趨近于0；

(5)數列1,—1,1,—1,???,(-1嚴，…,其通項&=(-1),,+1隨著〃的增大始終交替取值1和

-1,而不趨向于某一個確定的常數；

(6)數列a,a,a,a,…,a,…的各項都是同一個數a,故當〃越來越大時，該數列的項也

總是確定的常數a.

定義1.9當〃無限增大時，如果數列｛4｝的通項x“無限趨近于某個常數a,那么就

稱數列｛%｝收斂,常數a稱為數列"“｝的極限，記為

limx=a或x—>a(n—>oo)

n—yx>nn

否則稱數列｛x“｝發散.

根據定義,數列(1),(2),(4),(6)為收斂的數列，它們的極限分別是0,1,0,a.

也即lim’=0,lim/一=1,limfD—=0,lima=a.而數列(3),(5)為發散的數列.

71->00幾"f00幾+1"TOO幾/?—>00

下面給出以后常用的一些數列極限:

(1)Y\ma=a(。為常數)(2)lim—=0(a為常數且。>0)

〃一>8

(3)lim^=0(4為常數且|同＜1)(4)lim折=1(a為常數且a>0)

?—>00

(5)limVH=1

H—>00

2.收斂數列的重要性質

x?=/(〃)，neN*.因此數列的圖形就是一個點列.

數列是一個收斂數列，從圖1.11中可以看出，0<4=441,由函數的有界性可

[nJn

知，數列是有界的.同時，當〃無限增大時，1無限趨近于唯一確定的常數0?

[〃Jn

一般地，收斂數列具有如下性質.

性質1收斂數列是有界的.

性質2收斂數列的極限是唯一的.

三、函數的極限

1.自變量趨于無窮時的極限(即當X-8時，函數/"(x)f?)

自變量X趨于無窮(記X-8)可分為兩種情況：自變量X趨于正無窮(記Xf4W)

和自變量X趨于負無窮(記X—>T?).

【例1】考察下列函數，當X-8時，函數/(X)f?

(1)/'(%)=—(2)/(x)=ex(3)f(x)=sinx

x

【解】如圖可看出，

(1)當時有0,當時也有LfO,所以當xf8時有0.

XXX

(2)當xf+oo時有e"—>+8,當xfyq時有e*—?0,所以當xfoo時e*不能趨向

于一個確定的常數.

(3)無論是X—48還是xf—8時，sinx都不能趨向于一個確定的常數，所以當

X—>8時sin%也不能趨向于一個確定的常數.

定義1.10設函數y=/(x)在自變量x充分大時總有定義，如果當自變量x無限增大時,

函數值/(x)無限趨近某個確定的常數a,那么稱a為函數v=f(x)當x->48時的極限，

記作

limf(x)=a或/(x)-。(Xf4-00)

.r—>+oo

否則，稱函數f(x)當x―用時的極限不存在.

定義1.11設函數J=/(X)在自變量X充分小時總有定義，如果當自變量X無限減小時,

函數值/(X)無限趨近某個確定的常數a,那么稱a為函數v=/(x)當X—時的極限，

記為

lim/(x)=a或/(x)-oo)

否則，稱函數，(x)當8時的極限不存在.

例如，lim—=0,lim—=0,limer=0.

Jt—>4-00xXf-00Xx-

【定義】設函數y=/(x)在自變量國充分大時總有定義，如果自變量W無限增大時，

函數值/(x)無限接近一個確定的常數則稱a為函數y=f(x)當x趨于無窮(x-8)

時的極限，記為

lim/(x)=a或/(x)->a(x->oo)

X—>oc

由于X—>8包含了X—>+8和%—^-8兩種情況，因此可以得到：

定理1.2函數y=/(x)當工-8時極限存在的充分必要條件是函數y=/(x)當

%fy時和Xf-OO時極限都存在且相等.即

limf(x)=aolimf(x)=lim/(x)=a

x-?oox—>+ooX—>-00

2.自變量趨于有限值與時的極限(即當xf/時，函數/(x)f?)

【例2】討論當x逐漸靠近1時，函數值y=f—3x+3的變化情況.

【解】我們列出自變量x-1時的某些值，考察對應函數值的變化趨勢

X0.90.990.999???1???1.0011.011.10

y1.111.01011.00100…1???0.999000.99010.91

11

從表中可看出，當x越靠近1,對應函數值越靠近常數1,即x-?l

時，y=x2—3x+3—1.

X-1

【例3】討論當x趨于1時，函數值/(x)=----的變化趨勢.

X-1

【解】列出自變量Xf1時的某些值，考察對應函數值的變化趨勢

X0.750.90.990.999911.0000011.011.251.5

1.75L91.991.9999……2.0000012.012.252.5

2

x-l

當xfl時，/(%)=------->2(XW1)

X-1

【例4】討論當X趨于0時，函數/(x)=L的變化趨勢.

X

觀察函數/(幻的圖形(如圖1.13)

由圖1.13容易看出，當x趨于0時，［J無限地增大，不趨近于某個確定的常數.

【例5】討論當x趨于。時，函數/■(x)=sin,的變化趨勢.

X

將函數/(x)=sin-的值列表如下

X

2121221212

——'.-----------------???----■—

X式713兀245〃???57C273萬71不

/(X)-1010-1…10-101

從圖1.14可以看出，當x無限趨近于0時，函數/(x)=sin，的圖形在—1與1之間無

x

限次地擺動，即/(X)不趨近于某個確定的常數.

定義1.12設函數/(x)在/的某去心鄰域U(x0)內有定義，如果當x無限趨向于飛

時，函數值/(x)無限趨近某個確定的常數a,那么稱a為函數/(x)當xf與時的極限,

記為

limf(x)=a或/(x)fa(x—>x())

—%

否則，稱函數/(x)當XfXo時的極限不存在.

2

Y_111

例如，lim(x2-3x+3)=1,lim-------=2,lim—不存在，limsin—不存在.

e—x-\aox“f°x

【例6】求limsinx.

2

【解】從正弦函數y=sinx的圖形(圖1.15)中可看出，

當xf—時，sinx->1,即limsin%=1

2可

定義1.13設函數/(X)在/的左鄰域。-(毛)(/可除外)內有定義，如果當自變量

x從與的左側趨于記作X-石)時，函數值/意)趨于一個確定的常數a,那么稱a為

函數/(幻當xf七時的左極限，記為lim/(幻=。或/(昌一0)=。.

設函數/(X)在X。的右鄰域U+(x0)(小可除外)內有定義，如果當自變量X從X。的右

側趨于與(記作Xfe)時，函數值/(%)趨于一個確定的常數。，那么稱a為函數/(x)

當X—>玉)時的右極限，記為lim/(X)=a或/(Xo+O)=a.

XT君

左極限和右極限統稱為單側極限.

由定義1.12和定義1.13,可以得出：

定理1.3函數y=f(x)當xf玉)時的極限存在的充分必要條件是函數>=f(x)當

xf七時的左極限、右極限都存在且相等.即

lim/(x)=ao/(xo-O)=f(x0+0)=a

..fx,x>0

【例7】設函數y=x=1,求

[-X,X<0D

【解】函數y=|x|的圖像如圖1.16所示.

當xf0時，lim/(x)=lim(-x)=0;

.v->0-Xf(T

當x—>01時，limf(x)=limx=0;

x->0+x-^0+

根據定理L3有lim/(x)=0.

A->0

l,x>0

【例8】試討論函數/(x)=sgnx=<0,x=0,在x=0處的左、右極限.

—1,x<0

【解】函數)(x)=sgnx的圖形如圖1.17所示,

當了一>0一時，limf(x)—lim(-l)=-1;

當x—>0+時，lim