高級中學名校試題PAGEPAGE1四川省樂山市2025屆高三第二次診斷性測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，解得，則，因為，所以，故D正確.故選：D2.設i為虛數單位，若，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】，所以.故選：A.3.已知圓錐的母線長是底面半徑的2倍，則該圓錐的側面積與表面積的比值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】設圓錐底面圓的半徑為，則母線長為，，，.故選：B.4.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由，令，得，令，得，.故選：D.5.若是偶函數，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】由題，可得，即，，，即因不恒為0，故.故選：B.6.現有數字1，2，2，3，3，3，若將這六個數字排成一排，則數字2，2恰好相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一：給定的數字是1，2，2，3，3，3，其中有一個1，兩個2，三個3，總共有6個數字，因此總排列數為：.符合條件的排列數（兩個2恰好相鄰的情況）：將兩個2視為一個整體（即“超級元素”），這樣剩下的元素為1，3，3，3和這個“超級元素”，共5個元素.其中三個3是重復的，因此符合條件的排列數為：，所以符合條件的排列數除以總排列數：.方法二：考慮兩個2的位置組合，共有種可能的位置組合，其中相鄰的位置對數為5種，概率為：，因此，數字2，2恰好相鄰的概率為.故選：D.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，又，則，，.故選：D.8.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，則，又，，.故選：C.二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得分，部分選對的得部分分，有選錯的得分.9.已知向量，，則（）A.當時，B.當時，C.當時，在方向上的投影向量為D.當與夾角為銳角時，【答案】AC【解析】對于A，由，則，解得，故A正確；對于B，，，，解得或，故B錯誤；對于C，當時，，則由投影向量公式得在方向上的投影向量為，故C正確；對于D，當與夾角為銳角時，則，且與不同向，∴2+x>02x-1≠0，解得且，故D錯誤.故選：AC.10.設為坐標原點，橢圓：的左右焦點分別為，，點為定點，而點在橢圓上，且位于第一象限，若，則（）A.B.C.當的面積為時，的方程為D.當軸時，的離心率【答案】ACD【解析】對于A，由，則，又，所以，即，，故A正確；對于B，由對稱性可得，所以點在以點為圓心，為半徑的圓上，，故B錯誤；對于C，因為，由橢圓焦點三角形面積公式得，，解得，則，所以橢圓方程為，故C正確；對于D，當軸時，可得，由橢圓焦點三角形面積公式得，即，解得，，則，解得，故D正確.故選：ACD.11.三角形的布洛卡點是法國數學家克洛爾于1816年首次發現，當內一點滿足條件：時，則稱點為的布洛卡點，角為布洛卡角.如圖，在中，角所對的邊分別為，記的面積為，點是的布洛卡點，布洛卡角為，則（）A.當時，B.當且時，C.當時，D.當時，【答案】ABC【解析】A選項，當時，是等腰三角形，，因為，，所以，又因為，所以，所以，即，故A正確；B選項，當時，由A選項知，，因為，所以，設，則，因為，所以，所以又因為，所以，，在中，由正弦定理得，即，即，所以，在中，，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，聯立，解得，故B正確；C選項，當時，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，相加得，即，C正確；D選項，當時，若，此時，在中，由正弦定理得，所以，所以，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量服從正態分布，且，則______.【答案】0.04【解析】因為，所以，所以故答案為：.13.設，分別是雙曲線：的左、右焦點，為坐標原點，點在雙曲線的漸近線上，，則的離心率為______.【答案】【解析】設，由，則，，解得，在中，由余弦定理得，，即，.故答案為：.14.已知實數a，b，c滿足，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，所以，整理得，因為，解得，，設，則，令得或，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，因為，，，，所以，，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共小題，共分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列的前項和，數列是正項等比數列，滿足，.（1）求，的通項公式；（2）設，記數列的前項和為，求.解：（1）因為，所以時.當時，，所以，，滿足，所以，數列是正項等比數列，.所以公比，.（2）由（1）知，，.16.某社區為推行普法宣傳，舉辦社區“普法”知識競賽.有A，B兩類問題.每位參加比賽的選手先在兩類問題中選擇一類并從該類問題中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該選手比賽結束；若回答正確則繼續從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該選手比賽結束.類問題中的每個問題回答正確得40分，否則得0分；類問題中的每個問題回答正確得60分，否則得0分.設選手李華能正確回答類問題的概率為，能正確回答類問題的概率為，參賽選手能正確回答問題的概率與回答順序無關.（1）當時，求李華先回答類問題累計得分為100分的概率；（2）若李華先回答類問題累計得分的期望大于先回答類問題累計得分的期望，求的取值范圍.解：（1）由題知：回答A類問題累計得分為100分概率：.（2）先回答A類問題累計得分記為變量，的值為0，40，100，，，，先回答B類問題累計得分記為變量，的值為0，60，100，，，，由，所以，解得：.17.已知函數，.（1）若存在極小值，且極小值為，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1），，當時，，所以函數無極值，當時，由，得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極小值為，解得.（2）由，得，即，，設，，則，當時，，即單調遞減，當時，，即單調遞增，所以，則，所以的取值范圍為.18.如圖，在平面四邊形中，是等邊三角形，是等腰三角形，且，現將沿翻折至，形成三棱錐，其中為動點.（1）若，求證：平面平面；（2）若，記的重心為，若，求與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角正切的最大值.（1）證明：設等邊三角形的邊長為2，則，連接交于點.因為是等腰三角形，所以，即，因為，，.所以，，，面，所以面，因為面，所以面面.（2）解：在中，，，，由余弦定理得，所以，所以三棱錐為正三棱錐.因為是的重心，所以面，則，連接并延長交于，連接，可得，，所以面，所以面面，過作，因為面面，面，所以面.取的中點為，由題意知是的中點.所以，所以所求線面角.在中，，，所以.（3）解：因為，設，過作.因為，可得平面，所以平面平面，所以平面，可得，，過作，連接，易得，可得為所求夾角.在中，，，所以，，所以，解得，所以平面與平面夾角正切的最大值.19.已知拋物線：，過點作的切線，切點分別為，，且.（1）求的方程；（2）設，為上兩點，為線段的中點（不在軸上），為坐標原點，直線交于點，直線與直線交于點，直線與直線交于點.（ⅰ）設，求的最小值；（ⅱ）求證：.解：（1）由題知，軸，設切點，則，由，則，所以，，可得，所以拋物線的方程為.（2）（ⅰ）設方程為，，，由，整理得，于是，，，.因為