高級中學名校試題PAGEPAGE1四川省大數據學考大聯盟2023-2024學年高一下學期期末模擬質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題意得，所以，所以復數對應的點的坐標為，位于第四象限．故選：D．2.已知，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，，所以向量在向量上的投影向量的坐標為.故選：C.3.已知平面α，直線m，n滿足mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，，所以當時，成立，即充分性成立；當時，不一定成立，可能是異面直線，故必要性不成立；所以是的充分不必要條件.故選：A.4.點滿足向量，則點與的位置關系是（）A.點為線段的中點 B.點在線段延長線上C.點在線段的延長線上 D.點不在直線上【答案】C【解析】因為，即，可得，所以點在線段的延長線上.故選：C.5.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】因為，，所以將向右平移個單位長度得到，故D正確；若將向左平移個單位長度得到，故A錯誤；若將向右平移個單位長度得到，故B錯誤；若將向左平移個單位長度得到，故C錯誤.故選：D.6.柳編技藝在我國已有上千年的歷史，如今柳編產品已經選入國家非物質文化遺產名錄．如圖，若柳條編織的米斗可近似看作上底面圓半徑為2，下底面圓半徑為1，體積為的圓臺，則該圓臺的側面積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設圓臺的高為，又圓臺的上底面圓半徑，下底面圓半徑，則圓臺的體積，解得，所以圓臺的母線，所以圓臺的側面積.故選：A7.已知，則（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】因為，即，即，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，即，所以.故選：B.8.中，，點為平面內一點，且分別為的外心和內心，當的值最大時，的長度為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由，所以，所以在的垂直平分線上，設為的中點，可得，，所以，從而，由正弦定理可得，所以，當，，又要使的值最大時，則為銳角，所以，從而為等腰直角三角形，所以，所以均在斜邊的垂直平分線上，即為內切圓的半徑，設內切圓半徑為，所以，所以，解得，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在中，的對邊分別是，，，若有兩個解，則的值可以為（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】BD【解析】法一：因為，，當時有兩個解，即，解得，故符合題意的有B、D.法二：由正弦定理，所以且，所以，即，作出正弦函數圖象如圖，因為該三角形有兩個解，所以，即，故符合題意的有B、D．故選：BD.10.已知是復數，則下列說法正確的是（）A.若，則或B.若，則C.若，則D.若，則的最大值為【答案】AD【解析】對于選項A，若，則，可得或，所以或，故A正確；對于選項B：例如，則，符合題意，但為虛數，不能比較大小，故B錯誤；對于選項C：例如，，則，符合題意，但均不為0，故C錯誤；對于選項D：因為，則復數在復平面內所對應的點為，可知點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，又因為表示點與點之間的距離，即，且，由圓的性質可得，所以的最大值為，故D正確.故選；AD．11.如圖，正方體的棱長為1，下列說法正確的是（）A.直線與平面所成角的正切值為B.若點在正方體表面上運動且滿足，則點的軌跡的長度為C.四棱錐與四棱錐公共部分的體積為D.設直線與平面交于點，則三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD【解析】對于A，連接，如圖①所示，因為平面，所以直線與平面所成角即為直線與直線所成角，設直線與直線所成角為，所以，故A正確；對于B，在線段取點，在線段取點，連接，使得，即，因為點在正方體表面上運動，且，所以點在平面上運動時，則弧長即為點在平面的運動軌跡，同理弧長為點在平面的運動軌跡，如圖①所示，所以點在正方體表面的運動弧長為，其中弧長分別以為圓心，半徑為的圓弧，弧長都是以為圓心，半徑為的圓弧，又因為，所以，故B錯誤；對于C，如圖②所示，設直線與交于點，直線與交于點，分別取中點，連接，四棱錐與四棱錐的公共部分為多邊形，且多邊形可分為三棱柱與四棱錐，故，，所以公共部分的體積為，故C正確；對于D，如圖③所示，直線與平面的交點為的三等分點（靠近點），過作平面，則點為的三等分點（靠近點），直線與直線相交于點，所以與相似，即，即，因為為等腰直角三角形，所以點為的外心，過點作平面，則，設三棱錐的外接球球心為，半徑為，，如圖④所示，且，所以在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，解得，所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．12.按斜二測畫法得到，如圖所示，其中，那么的面積為______．【答案】【解析】由直觀圖可得平面圖形如下所示：則，，，所以.故答案為：.13.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到達處時測得公路右側一山底在西偏北的方向上；行駛后到達處，測得此山底在西偏北的方向上，山頂的仰角為，則此山的高度______．【答案】【解析】由題意得，故，故中，由正弦定理得，即，解得，又在點測得山頂的仰角為，故，故故答案為：.14.若存在實數，使得對于任意的，不等式恒成立，則的最大值為______．【答案】【解析】因為，即，若存在實數使得上式成立，則，且，即，可得，則，解得，由題意可知：，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5個小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由題意可得：，解得或，且，則，可得，則，所以.（2）由題意可得，解得或，且，則，可得，所以.16.如圖，在三棱錐中，．（1）求證：平面平面；（2）當時，求二面角的正弦值．解：（1）在中，，由余弦定理，即，解得，所以，即，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因為平面，又平面，所以，又，所以為二面角的平面角，取的中點，連接，因為，所以，又，所以，所以，所以二面角的正弦值為.17.在中，角的對邊分別是，且．（1）求角的大小；（2）若的周長為8，外接圓的面積為，求的面積．解：（1）因為，可得，由正弦定理可得，且，則，可得，且，則，可得，即，所以.（2）設外接圓的半徑為，因為的外接圓的面積為，則，由正弦定理可得，又因為的周長為，則，由余弦定理可得，即，可得，所以的面積.18.如圖，在銳角中，，.（1）用表示；（2）若，求的長度；（3）當取最小值時，求．解：（1），所以，所以，所以.（2）又，所以，所以，，所以，又三點共線，所以，若，可得，所以，又，所以，又因為，所以，所以，因為是銳角三角形，所以，在中，由余弦定理可得，所以.（3）由（2）可知，則，當且僅當，即取最小值時，所以，所以，所以.19.在三角函數領域，為了三角計算的簡便并且追求計算的精確性，曾經出現過以下兩種少見的三角函數：定義為角的正矢（或），記作；定義為角的余矢（Coversed或coversedsine），記作．（1）設函數，求函數的單調遞減區間；（2）當時，設函數，若關于的方程的有三個實根，則：①求實數取值范圍；②求的取值范圍．解：（1）因為，令，解得，