高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東名校考試聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期3月高考模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】因?yàn)椋裕?故選：B.2.若集合，，則（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】因?yàn)椋裕獾茫夯颍曰颍蔬x：D.3.已知圓，直線，若圓C上有且僅有一點(diǎn)到直線l的距離為1，則（）A.6 B.10 C. D.【答案】D【解析】由題可知圓的圓心為，半徑，因?yàn)閳AC上有且僅有一點(diǎn)到直線l的距離為1，則圓心到直線的距離為，又圓心到直線的距離，解得.故選：D.4.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若，，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列是公差為，由，得，整理得，因?yàn)椋缘茫桑茫獾茫?故選：A.5.已知，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】.故選：C6.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)滿足，且，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，，故(為常數(shù))，又，故，所以，定義域?yàn)椋栽趨^(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕钟桑?故選：A.7.設(shè)為單位向量，且，若向量滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可設(shè)：，，，，，，即，可令，，，.故選：C.8.在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球上，過(guò)作球的截面，則所得截面圓面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：因?yàn)椋渣c(diǎn)在的外接圓上，所以三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球上，即球?yàn)樗睦忮F外接球，故球心在正方形的中心，則球的半徑為．過(guò)作球的截面，當(dāng)所得截面圓面積最小時(shí)，則截面圓圓心為中點(diǎn)（即過(guò)作截面垂線，垂足為中點(diǎn)），所以截面圓半徑為1，所以面積最小值為．方法二：因?yàn)椋渣c(diǎn)在的外接圓上，所以三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球上，即球?yàn)樗睦忮F的外接球，故兩點(diǎn)在球上，所以最小截面圓為以為直徑的圓．則截面圓圓心為中點(diǎn)（即過(guò)作截面垂線，垂足為中點(diǎn)），所以截面圓半徑為1，所以面積最小值為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若正數(shù)a，b滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.ab有最大值 B.有最小值4C.有最小值 D.有最小值【答案】ABD【解析】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，取得最大值，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，取得最小值4，故B正確；對(duì)于C，由A知有最大值，則有最大值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，取得最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，取得最小值，故D正確.故選：ABD.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)5，8，10，12，13的第40百分位數(shù)是9B.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則C.20張彩票中有2張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)從中一次性抽取n張，若其中至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于0.5，則n的最小值為5D.已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為6，方差為10，現(xiàn)加入5和7兩個(gè)數(shù)，則這8個(gè)數(shù)的方差【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由，知數(shù)據(jù)5，8，10，12，13得第40百分位數(shù)是，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性，知，所以，故B正確；對(duì)于C，由題意得，，又為正整數(shù)，得n的最小值為6，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知加入5和7兩個(gè)數(shù)后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)仍為6，由方差公式，得，解得，則新數(shù)據(jù)得方差，故D正確.故選：ABD.11.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過(guò)點(diǎn)的直線族（不包括y軸）．直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線．已知直線族，下列說(shuō)法正確的是（）A.若該直線族包絡(luò)曲線為圓，則B.若直線族的包絡(luò)曲線為拋物線，則直線族中過(guò)點(diǎn)的直線方程為C.若，（，），則該直線族的包絡(luò)曲線為橢圓D.當(dāng)，時(shí)，若點(diǎn)不在直線族的任意一條直線上，則該直線族的包絡(luò)曲線方程為【答案】BCD【解析】對(duì)于A：若圓是直線族的包絡(luò)線，可得，可得，故A錯(cuò)；對(duì)于B：直線族中的每條直線都與拋物線相切，顯然過(guò)點(diǎn)的直線所在的直線斜率存在，設(shè)方程為，由消去y并整理得：，則，解得，所以所求直線方程為，故B對(duì)；對(duì)于C：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線l，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立得：，所以，．作商：，得，所以切線l的方程為，即；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，或，則切線方程和亦滿足，故C對(duì)；對(duì)于D：將點(diǎn)代入，可得關(guān)于t的方程，因?yàn)辄c(diǎn)不在直線族上，故方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以，那么，故，因?yàn)閰^(qū)域的邊界為拋物線，下證：是的包絡(luò)曲線．聯(lián)立直線與，可得，所以，故直線族為拋物線的切線．因此直線族的包絡(luò)曲線為，故D對(duì)．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________．【答案】【解析】由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得，，所以展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：．13.已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，請(qǐng)寫(xiě)出與的一條公切線方程__________．【答案】或（寫(xiě)出其中一個(gè)即可）；【解析】設(shè)切線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，，所以切線方程為，即設(shè)切線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，，則切線方程為，即，若兩條切線是一條直線，則，得，得，解得：或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為，故答案為：或（寫(xiě)出其中一個(gè)即可）；14.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作其中一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是___________.【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，則，中，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，將代入整理后得，同理，因?yàn)椋裕孰x心率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在平面四邊形中，已知，，為等邊三角形，記．（1）若，求的面積；（2）若，求四邊形面積的取值范圍．解：（1）在中，由余弦定理：，所以，則，所以，又因?yàn)闉榈冗吶切危裕遥裕瑒t的面積為．（2）在中，由余弦定理：，所以，，所以四邊形的面積，又因?yàn)椋裕裕此倪呅蔚拿娣e的取值范圍為．16.如圖，在四棱錐中，，，，，E是棱上的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：取中點(diǎn)為O，連接，，如圖，因?yàn)椋裕忠颍裕驗(yàn)椋裕矗驗(yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖坐標(biāo)系．因?yàn)椋裕瑒t，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知橢圓，直線經(jīng)過(guò)的兩個(gè)頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線分別交于兩點(diǎn)，證明：直線過(guò)原點(diǎn)．解：（1）直線過(guò)的上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)，橢圓的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，即，，的方程為：.（2）當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，不妨令，則，直線方程為，，直線恒過(guò)．下證：當(dāng)直線和斜率存在時(shí)，直線過(guò)．設(shè)，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，，，；在上，，．方法一：將過(guò)點(diǎn)的切線與聯(lián)立得：，，則，同理可得：；，，則，將代入得：由橢圓對(duì)稱性得直線過(guò)．綜上所述：直線過(guò)原點(diǎn)．方法二：當(dāng)直線過(guò)時(shí)，由橢圓對(duì)稱性可設(shè)，則，，，，，，滿足題意．當(dāng)直線和斜率存在時(shí)，直線過(guò)．綜上所述：直線過(guò)原點(diǎn)．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋谑牵试谏蠁握{(diào)遞減．又，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．（3）因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，由于，則當(dāng)時(shí)，或，由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，即．若，則當(dāng)時(shí)，，符合題意．因?yàn)椋睿瑒t．令，則．若，則，故在上單調(diào)遞增，于是．故在上單調(diào)遞增，于是．則在上單調(diào)遞增，此時(shí)，符合題意．若，記且，則當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，于是．故在上單調(diào)遞減，于是．則在上單調(diào)遞減，此時(shí)．又，故在上存在零點(diǎn)，矛盾．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．19.兩個(gè)盒子里分別放著寫(xiě)有A，B，C三種字母，大小相同的卡片各一張．每一次隨機(jī)地從兩個(gè)盒子中取出一張卡片交換位置．記n次交換后兩個(gè)盒子中仍然是A，B，C三種字母的卡片各一張的概率為．（1）求和；（2）證明：；（3）證明：．（1）解：對(duì)兩個(gè)盒子中相同字母的卡片進(jìn)行交換，則．若第1次交換的是相同字母的卡片，則第二次仍需將兩個(gè)盒子中相同字母的卡片進(jìn)行交換，此時(shí)概率為．若第1次交換的是不同字母的卡片，有種情況，不妨設(shè)將第一個(gè)盒子中的A和第二個(gè)盒子中的B進(jìn)行交換，則第二次需要將第一個(gè)盒子中的B和第二個(gè)盒子中的A進(jìn)行交換，此時(shí)概率為．于是．（2）證明：用表示n次交換后兩個(gè)盒子中仍然是A，B，C三種字母的卡片各一張的事件，則有．對(duì)