高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省2025屆高三下學期一模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數，，其中為虛數單位，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，則.故選：.2.若直線被圓所截得的弦的長度為，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】由題意得，圓的圓心坐標為，半徑.∵弦長，∴圓心到直線的距離，即點到直線的距離為2，∴，解得或.故選：C.3.方差的單位是原數據單位的平方，為了使其與原數據的單位一致，對方差開方得到標準差.利用方差和標準差可以刻畫數據的離散程度或波動幅度.觀察下面兩組數據：1，2，3，4，51001，1002，1003，1004，1005它們的方差和標準差相等，但兩組數據的數量級不同，兩個個位數相差1與兩個四位數相差1，直觀感覺應該是不同的.那么，最適合刻畫這兩組數據離散程度的統計量是（）A.方差 B.標準差C D.【答案】D【解析】題中已經明確指出，兩組數據的方差和標準差相等，而兩組數據的直觀感覺是不同的，所以排除選項A與B.為了將這種“直觀感覺應該是不同的”用統計量表達出來，需要消除因兩組數據數量級不同造成的影響，根據統計量構造的經驗，應該除以相同單位的數據更合理，即，所以排除C選擇D.故選：D4.是函數為增函數的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由函數是增函數，得，解得，∴是函數為增函數充分不必要條件.故選：A.5.已知向量，，滿足，，且在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，由在上的投影向量為，知，解得.故選：A6.若，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數在上是減函數，，所以，又，所以.故選：.7.已知函數的定義域為，且，，則（）A.0 B.2025 C. D.1013【答案】D【解析】由得，且函數關于點對稱；由得.又由得，所以，得函數是周期為2的函數，當時，，故.故選：D8.設為圓錐底面的一條直徑，為底面圓周上異于的一點，為靠近的一個三等分點，且二面角與二面角的大小相等，則該圓錐的體積與三棱錐的體積之比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在圓所在平面內，過作，垂足為，過作，垂足為，∵，∴，，∴為二面角的平面角，為二面角的平面角，∴.∵在和中，，∴.∵為上靠近的一個三等分點，∴.設，則，底面圓半徑為，圓錐高.∵點在圓錐底面圓上，∴，∵點為中點，，，∴，，∴，即，∴，，∴.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.函數的最小正周期是2B.C.D.函數的圖象向右平移個單位得到一個偶函數的圖象【答案】ACD【解析】A.由圖可知，最小正周期，A正確.B.由，得，故，B錯誤.C.將點代入中，得，∴，即，∵，∴，C正確.D.由題意得，，的圖象向右平移個單位，所得函數解析式為，由函數定義域為，得為偶函數，D正確.故選：ACD.10.已知橢圓，左，右焦點分別為，，點是上的動點，點，則下列結論正確的是（）A.橢圓的離心率為 B.的最大值為10C.的最小值為5 D.被點平分的弦所在直線的斜率為【答案】ABD【解析】A.由題意得，，，故橢圓的離心率，A正確.B.由A得，，∴.由橢圓定義得，，∴，B正確.C.，C錯誤.D.由可知點在橢圓內部，設過點的直線與橢圓相交于點，，∴，兩式相減，得，∵弦被點平分，∴，，∴，即直線的斜率為，D正確.故選：ABD.11.已知函數，過點作平行于軸的直線交曲線于點，曲線在點處的切線交軸于點.則（）A.當時，切線的方程為 B.當時，的面積為C.點的坐標為 D.面積的最小值為【答案】BCD【解析】由已知得，，過點的切線方程為，當時，，則，故正確；當時，，則，以為切點的切線方程為，即，故錯誤；此時，的面積，故正確；因為，，，所以，，所以，令，所以，令，即，解得，當時，，所以函數在內單調遞減，當時，，所以函數在內單調遞增，所以當時，函數有最小值，最小值為，故正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數列的前項積為，若，則__________.【答案】【解析】由題意得，，∵，∴，∴.故答案為：.13已知，則__________.【答案】【解析】因為，所以，化簡得，所以，得.故答案為：.14.投擲兩枚質地均勻的骰子，正面朝上的點數分別記為m、n，則能使成立的數對共有__________對.【答案】12【解析】由題意知m，n的取值依次為1，2，3，4，5，6，因此可得的取值如下表.經檢驗，符合題中不等式的在下表中用下劃線標注，相應的數對共有12對.故答案為：12四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.（1）求證：；（2）若.（i）求；（ii）若，且的面積為，求的周長.（1）證明：因為，所以.又因為，所以原式左邊右邊，得證.（2）解：（i）由（1）可得.又由正弦定理得，即.由余弦定理得.因為，得.（ii）由題知，由，得.又由余弦定理，可得，即，所以.所以，故的周長為16.16.已知函數.（1）判斷函數的單調性；（2）若存在，使得，求的取值范圍.解：（1）由題意得，的定義域為，∵，∴.由得或.當時，恒成立；當時，由得，或，由得；當時，由得，或，由得.綜上可得：當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.（2）由（1）得時，在上單調遞增，在上最大值為，故不存在，使得.當時，若，即，則在上單調遞減，在上的最大值為.若存在，使得，只需，解得，故.若，即，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上最大值為，若存在，使得，只需，解得.綜上可得，的取值范圍為.17.在三棱柱中，點在上，且，為線段上的動點.（1）若為的中點，（i）在圖中畫出的重心，并說明點與線段BE的位置關系；（ii）求證：平面.（2）若三棱柱是棱長均為2的正三棱柱，當二面角為時，求到平面的距離.解：（1）（i）連結，交于點，連結交BE于點.因為為的中點，為的中點，所以為的重心，所以.又因為為的中線，所以點也為的重心，所以點在線段BE上.（ii）連結，并延長交AC于點，連結DG.因為為的重心，所以.又因為，所以，即.又因為平面，平面，所以平面.（2）取AB的中點.因為為棱長相等的正三棱柱，所以為正三角形，所以.又因為在正三棱柱中平面，所以，.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，，設，可知，所以，所以，.設平面的法向量為，則所以令，則可得.易知平面的一個法向量為，所以，即，解得（舍），或.所以，.又，則到平面的距離.18.2025年冰雪節來臨之際，搭建冰雕主題樂園需要大量的冰塊，A，B，C三個工程隊負責從冰凍的江中采出尺寸相同的冰塊.在雕刻的過程中，有時會導致冰塊碎裂，且一旦有裂痕冰塊就不能使用了.A，B，C三個工程隊所采冰塊總數之比為6：7：5，冰塊利用率即所使用冰塊數占所采冰塊總數的比例分別為0.8，0.6，0.6.在計算以上數值的過程中忽略了少量冰塊對計算結果的影響，這種思路可用于整個問題求解的過程中.現在從三個工程隊采出的所有冰塊中隨機抽取冰塊，用頻率估計概率.（1）若只取1塊，求它是由B隊所采的概率；（2）若抽取2塊，其中由A隊采出的冰塊數記為，求的分布列和數學期望；（3）假設每年使用的冰塊數一樣多，已知往年任意一塊冰被利用的概率為0.65，那么能否判斷今年冰塊的利用率有顯著提升？你有什么好的建議？解：（1）由題意知，冰塊之間是沒有差異的，所以，從三個工程隊采出的所有冰塊中隨機抽取一塊抽到每一塊冰的可能性可以看作是相等的.因為A，B，C三個工程隊所采冰塊總量之比為6：7：5，所以若只取1塊，它是B隊所采的概率為.（2）據題意知在計算過程中可以忽略少量冰塊對計算結果影響，即可以將“從三個工程隊采出的所有冰塊中隨機抽取”看作是有放回的抽取.設事件A，B，C分別表示隨機抽取的一塊冰是由A，B，C二個隊分別采回的，與（1）同理可求得若只取1塊，則，由B，C兩隊所采的概率為.依題意可知的取值為0，1，2，且.所以，，，所以的分布列為：012P數學期望.（3）設事件表示冰塊被利用，由（2）知，.所以，，.又，即今年冰塊的利用率約為0.67.可見，今年冰塊的利用率比往年提升了約.但依據該數據還不能判斷今年冰塊的利用率有顯著提升.若要判斷提升是否顯著，可以進一步查閱數據，構造相關統計量再進行判斷.19.定義：任取數列中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為常數，則稱數列具有“性質”.已知項數為的數列的所有項之和為，且數列具有“性質”.（1）若，數列具有“性質2”，且，，寫出的所有可能值；（2）若數列具有“性質2”，且，，證明：“”是“（）”的充要條件；（3）若數列具有“性質”，其中為奇數，，，，證明：或.（1）解：根據定義，有，所以或3.由得或5.因此有如下三種情況：若為，此時，若為，此時，若為，此時.綜上,的所有可能值為.（2）證明：必要性：因為，，所以，故數列是首項為，公差為2的等差數列，所以，必要