高級中學名校試題PAGEPAGE1上海市楊浦區2025屆高三下學期模擬質量調研數學試卷一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）請在答題紙相應編號的空格內直接寫結果.1.已知集合，則__________.【答案】【解析】因為集合中大于1且小于4的數只有2，3，所以.故答案為：.2.不等式解集為______________．【答案】【解析】不等式等價于，解得，因此，不等式的解集為，故答案為.3.函數的最小正周期是___________．【答案】【解析】的最小正周期是，故答案為：4.已知，則__________.【答案】【解析】因為，所以，故答案為：5.已知的最大值為___．【答案】【解析】由基本不等式得.故答案為：16.在的二項展開式中，常數項的值為__________【答案】15【解析】二項展開式通項為：當時，常數項為：本題正確結果：7.已知復數滿足，其中為虛數單位，則的最小值為__________.【答案】【解析】在復平面內，表示復數對應的點與復數對應點的距離為1，因此點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，表示點到原點的距離，所以的最小值為.故答案為：8.不等式對一切實數恒成立，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】表示到的距離，表示到的距離，它們的和為到和到的距離之和，根據三角不等式，當位于和之間時，距離和取得最小值，即兩點之間的距離為，所以不等式對一切實數恒成立等價于若最小值，則原式對所有恒成立，所以或，解得或.故答案為：.9.植物社團的同學觀察一株植物的生長情況，為了解植物高度（單位：厘米）與生長期（單位：天）之間的關系，隨機統計了某4天的植物高度，并制作了如下對照表：生長期391117植物高度2.43.43.85.2由表中數據可得回歸方程中，試預測生長期是30天時，植物高度約為__________厘米.【答案】【解析】由題意可得，，所以，所以回歸方程為，所以預測生長期是30天時，植物高度約為厘米.故答案為：.10.如圖，點分別是直角三角形的邊上的點，斜邊與扇形的弧相切，已知，則陰影部分繞直線旋轉一周所形成的幾何體的體積為__________.【答案】【解析】在中，，則，由斜邊與扇形弧相切，扇形半徑，陰影部分繞直線旋轉一周所形成的幾何體是繞直線旋轉一周所得圓錐，挖去扇形弧繞直線旋轉一周所得半球，所以所求體積為.故答案為：11.如圖，阿基米德橢圓規是由基座?帶孔的橫桿?兩條互相垂直的空槽?兩個可動滑塊組成的一種繪圖工具，橫桿的一端上裝有鉛筆，假設兩條互相垂直的空槽和帶孔的橫桿都足夠長，將滑塊固定在帶孔的橫桿上，令滑塊在中一條空槽上滑動，滑塊在另一條空槽上滑動，鉛筆隨之運動就能畫出橢圓.當之間的距離為厘米時，若需要畫出一個離心率為的橢圓，則之間的距離為__________.厘米.【答案】21【解析】依題意，當滑塊在兩條空槽的交點處時，長為橢圓的短半軸長，當滑塊在兩條空槽的交點處時，長為橢圓的長半軸長，則，由橢圓的離心率為，得，解得，即，解得，所以之間的距離為21厘米.故答案為：2112.由若干個多邊形所覆蓋的區域，稱為這些多邊形的并集，例如圖中，梯形是與矩形的并集.已知是正整數，在平面直角坐標系中，直線的方程為，若直線交軸于點，交軸于點，則的并集，其面積為__________.【答案】【解析】由題意可得，，令，則，當時，；當時，，即，則隨著三角形的個數增加，所有三角形圍成的圖形每次增加一個小三角形，設直線與直線的交點為，聯立，解得，即，則，設前個三角形圍成圖形的面積為，則，且，則，，，，，由累加法可得，，則，而符合上式，則，故，則的并集，其面積為.故答案為：.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，請在答題紙的相應編號上將代表答案的小方格涂黑.13.中，“”是“”的（）條件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分也非必要【答案】C【解析】在中，令內角所對的邊分別為，由正弦定理得，所以”是“”的充要條件.故選：C14.3名同學報名參加社團活動，有4個社團可以報名，這些社團招收人數不限，但每位同學只能報名其中1個社團，則這3位同學可能的報名結果共有（）種.A.6 B.24 C.64 D.81【答案】C【解析】由題意可得每位同學有4種選擇，根據乘法原理，共有種.故選：C15.已知、、是單位圓上的三個點，若，則的最大值為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】因為、、是單位圓上的三個點，如圖建立平面直角坐標系，因為，即，所以，所以，即，不妨設，，設，所以，，所以，所以當，即時取得最大值，且.故選：D16.設是由個二次函數組成的集合，對于連續的正整數，存在二次函數可重復，使得是等差數列，則的最小可能值是（）.A.507 B.1013 C.1519 D.2025【答案】B【解析】設等差數列首項為，公差為，則第項滿足，每個二次函數滿足，變形為，對于固定的，這是一個關于的二次方程，最多有兩個整數解，因此，每個二次函數最多能覆蓋兩個不同的值.所以總共2025個值需要覆蓋，因此需要個，但為整數，所以需要1013個.故選：B三?解答題（本大題共有5題，本大題滿分78分）請在答題紙相應的編號規定區域內寫出必要的步驟.17.已知函數是定義在上的偶函數.（1）當時，，求時，的表達式；（2）當時，，若實數滿足，求的取值范圍.解：（1）因為函數是定義在上的偶函數，即當時，，所以，所以.（2）當時，，由冪函數和指數函數的單調性可得為遞增函數.又函數為偶函數，所以，兩邊平方后展開可得，即，解得.18.座落于楊浦濱江世界技能博物館由百年歷史文化保護建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考慮了結構力學優勢，又體現了對歷史建筑的尊重和傳承.如圖，分別為正八棱柱的上下兩個底面的中心，已知.（1）求證：；（2）求點到平面的距離.（1）證明：連接，因為底面為正八邊形，所以，又正八棱柱側棱底面，底面，所以，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：連接，因為，由正八邊形的性質可得，，為到底面的距離，，所以，由勾股定理可得，，又，所以，又，所以，因為，所以，即，設點到平面的距離為，則，即，即，解得，所以點到平面的距離為.19.為弘揚中華民族傳統文化、增強民族自豪感，某學校開展中華古詩詞背誦比賽，分為初賽和復賽.全校同學都參加了初賽，并隨機抽取一個班級進行初賽成績統計，已知該班級共有40位學生，他們的初賽分數的頻率分布直方圖如圖所示：（1）計算的值，并估計該校這次初賽的平均分數.（2）初賽分數達到80及以上的同學，稱為優秀參賽選手，現從班級中隨機選出2位同學，用代表其中的優秀參賽選手人數，求的分布；（3）為增加比賽的趣味性，復賽規則如下：復賽試題將從題庫中隨機抽取，每位參賽選手將有機會回答填空、選擇和簡答各1題；每答對1題得1分，答錯或不答得0分，每位選手可以自行選擇回答問題的順序，若答對一題可繼續答下一題，直到3題全部答完；若答錯或不答則比賽結束.例如：選手甲可自行按“簡答—填空—選擇”順序答題，甲答對第一題得1分，并繼續回答第二題且答錯得0分，結束比賽，總分為1分.小楊作為優秀參賽選手，代表班級參加復賽.根據他初賽的答題正確頻率，可估計他填空、選擇和簡答的答題正確概率分別為：題型填空選擇簡答答題正確概率若小楊每次答題的結果都相互獨立，那么為盡量在比賽中獲得較高分數，小楊應該采用怎樣的答題順序？請說明理由.解：（1）由頻率分步直方圖中小矩形的面積和為1可得：，解得；該校這次初賽的平均分數為.（2）初賽分數達到80及以上的同學為人，非優秀為28人，由題意可得的可能取值為，，，，所以的分布列為：012（3）按照不同題目順序分類討論：填空，選擇，簡答：得零分的概率：，得一分的概率：，得兩分的概率：，得三分的概率：，期望為分；因為填空和簡答的正確率相同，所以“簡答，選擇，填空”的期望與之相同；填空，簡答，選擇：得零分的概率：，得一分的概率：，得兩分的概率：，得三分的概率：，期望為分；因為填空和簡答的正確率相同，所以“簡答，填空，選擇”的期望與之相同；選擇，填空，簡答：得零分的概率：，得一分的概率：，得兩分的概率：，得三分的概率：，期望為分；因為填空和簡答的正確率相同，所以“選擇，簡答，填空”的期望與之相同；所以，小楊應采用“選擇，填空，簡答”或“選擇，簡答，填空”的順序.20.已知雙曲線的標準方程為，點是雙曲線右支上的一個動點.（1）求雙曲線的焦點坐標和漸近線方程；（2）過點分別向兩條漸近線作垂線，垂足為點，求的值；（3）若，如圖，過作圓的切線，切點為，交雙曲線的左支于點，分別交兩條漸近線于點.設，求實數的取值范圍.解：（1）雙曲線的標準方程為，則，所以雙曲線的焦點坐標為，漸近線方程為；（2）設，則，由，解得，所以，由，解得，所以，所以，，所以，即．（3）設切點，則切線的方程為，且，由，解得，所以，設，，，，由，消去得，所以；由，消去得，所以；所以，，所以，又，所以，因為，所以，所以，所以，即.21.已知函數的導函數為，若函數的定義域為，且不等式對任意成立，則稱函數是“超導函數”.（1）判斷是否為“超導函數”，并說明理由；（2）若函數與都是“超導函數”，且對任意，都有，，記，求證：函數是“超導函數”；（3）已知函數是“超導函數”且，若有且僅有一個實數滿足，求的取值范圍.（1）解：函數，求導得，則，所以是“超導函數”.（2）