高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第二冊(cè)第五章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則（）A.3 B. C.6 D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，所以，所以．故選：B.2.已知函數(shù)，則的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕瑒t，故選：D.3.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∵點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，∴．∵，∴．故選：C．4.已知函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，根據(jù)題意得，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D．5.已知函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，其中，令，解得，令，解得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕驗(yàn)樵谏虾愠闪ⅲ裕獾?故選：B6.若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，令，則，當(dāng)?shù)茫瑔握{(diào)遞增，當(dāng)?shù)茫瑔握{(diào)遞減，所以，，當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，也趨向于正無窮大，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，則.故選：D.7.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，、關(guān)于軸對(duì)稱，∴與在上有交點(diǎn)，則在有解，令，則，，∴在上遞增，而，∴在上，遞減；在上，遞增；∴，故只需即可，得.故選：B8.已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，所以在R上單調(diào)遞增，由，得，即，又在R上單調(diào)遞增，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值【答案】ACD【解析】對(duì)于A．因?yàn)樵趨^(qū)間上成立，所以區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間，故A正確；對(duì)于B．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處取得極大值，故C正確；對(duì)于D．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處取得極小值，故D正確.故選：ACD．10.已知函數(shù)圖象上的一條切線與的圖象交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)N，則下列結(jié)論不正確的有（）A.函數(shù)的最小值為B.函數(shù)的值域?yàn)镃.的最小值為D.函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的切線傾斜角的所在范圍為【答案】ABD【解析】已知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A、B不正確；設(shè)直線l與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則直線l的方程為，即，直線l與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確;，可知切線斜率可為負(fù)值，即傾斜角可以為鈍角，故選項(xiàng)D不正確．故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形C.若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為D.若過原點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【答案】AB【解析】由，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，又由，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得或，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，必有，可得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)為（其中），由切線過原點(diǎn)，有，整理為，令，有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又由時(shí)，；時(shí)，；及，可知當(dāng)時(shí)，關(guān)于m的方程有且僅有3個(gè)根，可得過原點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式，則_________．【答案】【解析】由，函數(shù)兩邊求導(dǎo)得：，令，則，所以代入函數(shù)得：．故答案為：13.已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為______________.【答案】【解析】由，可知，所以.故答案為：.14.若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是_____________．【答案】【解析】由，可得，，可得，令，可得，令，有，令，可得；令，可得；可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，故，即a的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且在處取得極值．（1）求函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．解：（1）因?yàn)椋裕深}意可知，，，，所以，解得，，，所以函數(shù)的解析式為，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以；（2）由（1）知，令，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取的極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，又，，所以，．16.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求曲線在點(diǎn)A處的切線方程；（2）求曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程．解：（1）依題意可得，則，∴，∵，∴，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）設(shè)過原點(diǎn)的切線方程為，則切點(diǎn)為，則消去k，整理得，解得或，有或．故所求方程為和．17.如圖，在半徑為4m的四分之一圓（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長(zhǎng)，圓柱的體積為V．（1）求出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？解：（1）在中，因?yàn)椋裕O(shè)圓柱的底面半徑為r，則，即，所以，定義域?yàn)椋?）由（1）得，，，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是18.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線為的切線，求a的值.（3）已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）由，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）設(shè)切點(diǎn)為，依題意，，所以，又，代入可得，，設(shè)，則，所在單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕?（3），，所以曲線在處的切線方程為，即，設(shè)，，，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?dāng)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?dāng)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；綜上，a的取值范圍是.19.約瑟夫·路易斯·拉格朗日是聞名世界的數(shù)學(xué)家，拉格朗日中值定理就是他發(fā)現(xiàn)的.定理如下：若函數(shù)滿足如下條件：①函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)（函數(shù)圖象沒有間斷）；②函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（導(dǎo)數(shù)存在）．則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立，其中稱為“拉格朗日中值點(diǎn)”．（1）求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；（2）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，，證明：；（3）已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的兩個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，證明：．解：（1）因?yàn)椋?/p>